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1、三角換元法
摘要:本文歸納總結(jié)了三角換元法的基本用法,以常見例題的形式講述了三角換元法在解題過程中的具體應(yīng)用。
大家知道,換元法的實(shí)質(zhì)是通過換元將原來比較復(fù)雜的、非標(biāo)準(zhǔn)的形式轉(zhuǎn)化為簡單的、標(biāo)準(zhǔn)的形式,以利于揭示問題的本質(zhì)、題目的分析和解決。三角換元法是眾多換元法中的一種,它以三角函數(shù)為“元”,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為易于應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)求解的問題,三角換元法在求解方程、不等式、解析幾何和函數(shù)最值等方面都有著廣泛的應(yīng)用。一般情況下,在運(yùn)用三角換元的題目中,往往在表達(dá)式的形式或字母的取值范圍等方面明顯反映出三角函數(shù)式的特征,這一點(diǎn)給三角換元法的應(yīng)用提供了線索。具體表現(xiàn)在該方法對于含有被開方式為二次式的
2、二次根式問題能起到除去二次根式的作用,因?yàn)槎胃娇偸强梢赞D(zhuǎn)化為、或的形式,其中t為變量,k為非負(fù)常量?,F(xiàn)對于此類問題歸納如下:
1.形如的形式,其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時,或令
同理,
2.形如的形式,其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時,或令
。
3.形如的形式,其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時,或令
其中。
注:上面替換中應(yīng)注意,t的范圍應(yīng)滿足:
1°根式中變量的取值要求。
2°二次根式的化簡唯一。
以上是常見的用法,其具體應(yīng)用現(xiàn)分類介紹如下:
一、 三角換元法在解方程及解不等式中的應(yīng)用。
例1. 解方程:
解:該方程的根必然為正(否則左負(fù)右正),所以設(shè),則方程變?yōu)?/p>
3、
變形整理得:
∴或
∵
∴
故應(yīng)舍去,由得
當(dāng)時,得,∴
當(dāng)時,得,∴
故原方程的根為 或
說明:此題關(guān)鍵是去掉根式,易聯(lián)想到的形式,換元也就水到渠成了。
例2. 解方程組。
解:由題意知則設(shè)其中那么
此時
即
∴ 從而
所以方程組的解為
說明:題目的實(shí)質(zhì)是在圓上找一點(diǎn),使其縱坐標(biāo)之和為定值,注意到半徑與定值的大小關(guān)系,設(shè)參數(shù)時角的范圍可適當(dāng)縮小。
例3. 實(shí)數(shù)滿足,且
當(dāng)時,求的取值范圍。
解:此題直接求解較難,若令由可得,于是問題轉(zhuǎn)化為:“已知,且求的取值范圍”,
4、再做三角變換,令,
則
由得
∴
∴當(dāng)時,
當(dāng)或時,
∴
故 的取值范圍是。
說明:本題條件較為復(fù)雜,解題方向不明確,所以通過有理代換,三角代換揭示了問題的幾何意義。
二、 三角換元法在證明中的應(yīng)用
例4. 若則。
證明:設(shè)
∵
∴
∴
故
說明:題目綜合難度較大,但通過換元后利用單調(diào)性巧證,題目的關(guān)鍵在于放縮之后利用
,為解題帶來了便利。
例5. 已知,求證:。
證明:由于,可設(shè)
則
其中等號在 時成立。
故 。
說明:含有條件不等式的證明因題而異,此題換元思想
5、的來源在于和
的類比聯(lián)想。當(dāng)然此題也可以采用整體換元。
例6. 設(shè),求證:
。
證明: ∵,
故可設(shè)
∵
∴
即
兩邊同乘以就得所證之式。
說明:此題換元思想在于:在非直角三角形中,其中三個內(nèi)角的正切之間有關(guān)系式,它雖然沒有正式提出來,但相當(dāng)重要。
三.三角換元法在解析幾何中的應(yīng)用。
例7.一條直線過點(diǎn)P(3,2)與 軸的正半軸交于A 、B兩點(diǎn),若的面積最?。∣為原點(diǎn)),求此時直線的方程。
P(3,2)
X
O
Y
解:設(shè),則
,那么
當(dāng)且僅當(dāng)時,即取最小值12。
∴
故 直線方程為。
6、
說明:此題已知直線上的點(diǎn)坐標(biāo),求其方程,在于求出其斜率,即。因此三角思想由此而生,換元也順理成章。
例7. 在橢圓上求點(diǎn)使取最小。
解:設(shè)則
當(dāng)時,,點(diǎn)P坐標(biāo)為或時,。
當(dāng)時,點(diǎn)P坐標(biāo)為時,。
說明:此題若直接求解顯得生硬,而且很繁,聯(lián)想橢圓的參數(shù)方程,運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)來解就簡單了許多。
例8。已知點(diǎn)P在圓A:上運(yùn)動,Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動,求 的最大值及此時P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)。
解:在橢圓上任取一點(diǎn)記為Q,連接QA(A為圓心)并延長交圓于P ,在圓A上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P,易知
于是問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到橢圓上動點(diǎn)Q的最大值問題,設(shè)則
,
7、當(dāng)時,最大。此時,,
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(。
下面求此時P點(diǎn)的坐標(biāo)
∵
∴直線AQ方程為與已知圓A方程聯(lián)立易求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為
。
說明:此題同例8一樣,運(yùn)用參數(shù)方程回避了大量復(fù)雜運(yùn)算。
四.三角換元法在求函數(shù)最值中的應(yīng)用
例10.求函數(shù)的值域。
解:所給函數(shù)可化為
令 ,則
其中,所以,因此,
即,故值域?yàn)椤?
說明:此題目有兩個根式,平方去根號需兩次,很繁,而采用換元法去根號使得題目變得簡單易做。
例11.已知,求的最大值。
解:設(shè),則
∵
∴
故
說明:題目中與去根號暗示了三角換元法和利用來解題。
例12.求函數(shù)在上的最小
8、值。
解:令,則
此時的最小值即歸結(jié)為求在上的最小值,易知在此區(qū)間上為減函數(shù),而為增函數(shù)。故在時,取最小值。
∴。
說明:去根號采用三角換元。
例13.求函數(shù)在上的最大值。
解:令,則
∵且
∴
∴
說明:此題同樣式為去根號而換元,但在題目的處理中則顯示了對三角知識的靈活運(yùn)用,不僅有萬能公式,而且用到二倍角公式,三角函數(shù)有界性等知識,因此需仔細(xì)觀察然后用代換。
例14.設(shè),求函數(shù)的最大值。
解: ∵
∴ 以為邊可作成直角三角形,因此可設(shè)
所以
當(dāng)時,等號成立,此時(即)有
說明:此題抓住題目結(jié)構(gòu)的內(nèi)在特點(diǎn),
9、構(gòu)造直角三角形,設(shè)元代換。
通過上面的例題可以看出,三角換元法的使用是有一定范圍的,它只適用于具有某些特點(diǎn)的式子,如前文所提及的式子時,可以考慮使用此法,但應(yīng)用此法是否能夠解決問題,還必須進(jìn)一步考慮能否引進(jìn)三角函數(shù),例如要設(shè)時,必須滿足,否則就不能引進(jìn)。進(jìn)行三角換元以后,如果能利用三角知識解決問題,此法可行,否則還得另覓新路。
參考資料:
1.?數(shù)學(xué)問題化歸理論與方法? 喻平 廣西師范大學(xué)出版社 1999。8
2.?解題與證題指導(dǎo)? 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)文摘 浙江人民出版社 1982。5
3.“函數(shù)值域又一求法” 盧劍春
?數(shù)學(xué)教學(xué)通訊? 2000。1
內(nèi)容總結(jié)
(1)三角換元法
摘要:本文歸納總結(jié)了三角換元法的基本用法,以常見例題的形式講述了三角換元法在解題過程中的具體應(yīng)用
(2)令此時,或令
同理,
2.形如的形式,其中f是x和的代數(shù)函數(shù)
(3)說明:此題已知直線上的點(diǎn)坐標(biāo),求其方程,在于求出其斜率,即
(4)解:所給函數(shù)可化為
令 ,則
其中,所以,因此,
即,故值域?yàn)?(5)進(jìn)行三角換元以后,如果能利用三角知識解決問題,此法可行,否則還得另覓新路