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1、難點24 直線與圓錐曲線
直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高,起到了拉開考生“檔次”,有利于選拔的功能.
●難點磁場
(★★★★★)已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與橢圓交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求橢圓方程.
●案例探究
[例1]如圖所示,拋物線y2=4x的頂點為O,點A的坐標為(5,0),傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)
2、且交拋物線于M、N兩點,求△AMN面積最大時直線l的方程,并求△AMN的最大面積.
命題意圖:直線與圓錐曲線相交,一個重要的問題就是有關(guān)弦長的問題.本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法——“韋達定理法”.屬★★★★★級題目.
知識依托:弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想.
錯解分析:將直線方程代入拋物線方程后,沒有確定m的取值范圍.不等式法求最值忽略了適用的條件.
技巧與方法:涉及弦長問題,應(yīng)熟練地利用韋達定理設(shè)而不求計算弦長,涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達定理,設(shè)而不求簡化運算.
解:由題意,可設(shè)l的方程為y=x+m,-5<m<0.
由方程組,消
3、去y,得x2+(2m-4)x+m2=0 ①
∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,
∴方程①的判別式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,
解得m<1,又-5<m<0,∴m的范圍為(-5,0)
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
點A到直線l的距離為d=.
∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1-m)(5+m)2
=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,當且僅當2-2m=5+m,即m=-1時取等號.
故直線l的方程為y=x-1,△
4、AMN的最大面積為8.
[例2]已知雙曲線C:2x2-y2=2與點P(1,2)
(1)求過P(1,2)點的直線l的斜率取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點.
(2)若Q(1,1),試判斷以Q為中點的弦是否存在.
命題意圖:第一問考查直線與雙曲線交點個數(shù)問題,歸結(jié)為方程組解的問題.第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法——“差分法”,屬★★★★★級題目.
知識依托:二次方程根的個數(shù)的判定、兩點連線的斜率公式、中點坐標公式.
錯解分析:第一問,求二次方程根的個數(shù),忽略了二次項系數(shù)的討論.第二問,算得以Q為中點弦的斜率為2,就認為所求直線存在了.
技巧與方法:涉及
5、弦長的中點問題,常用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率,弦的中點坐標聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.
解:(1)當直線l的斜率不存在時,l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*)
(ⅰ)當2-k2=0,即k=±時,方程(*)有一個根,l與C有一個交點
(ⅱ)當2-k2≠0,即k≠±時
Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)
①當Δ=0,即3-2k=0,k=時,方程(*)有一個實根,l與C有一個交點.
②當Δ>
6、0,即k<,又k≠±,故當k<-或-<k<或<k<時,方程(*)有兩不等實根,l與C有兩個交點.
③當Δ<0,即k>時,方程(*)無解,l與C無交點.
綜上知:當k=±,或k=,或k不存在時,l與C只有一個交點;
當<k<,或-<k<,或k<-時,l與C有兩個交點;
當k>時,l與C沒有交點.
(2)假設(shè)以Q為中點的弦存在,設(shè)為AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),則2x12-y12=2,2x22-y22=2兩式相減得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1-x2)=y1-y1
即kAB==2
但漸近
7、線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點,所以假設(shè)不正確,即以Q為中點的弦不存在.
[例3]如圖,已知某橢圓的焦點是F1(-4,0)、F2(4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.
(1)求該弦橢圓的方程;
(2)求弦AC中點的橫坐標;
(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.
命題意圖:本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識,一、二問較簡單,第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍,設(shè)計新穎,綜合性,靈活
8、性強,屬★★★★★級題目.
知識依托:橢圓的定義、等差數(shù)列的定義,處理直線與圓錐曲線的方法.
錯解分析:第三問在表達出“k=y0”時,忽略了“k=0”時的情況,理不清題目中變量間的關(guān)系.
技巧與方法:第一問利用橢圓的第一定義寫方程;第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解,第三問利用m表示出弦AC的中點P的縱坐標y0,利用y0的范圍求m的范圍.
解:(1)由橢圓定義及條件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故橢圓方程為=1.
(2)由點B(4,yB)在橢圓上,得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為,根據(jù)橢圓定義,有|
9、F2A|=(-x1),|F2C|=(-x2),
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列,得
(-x1)+(-x2)=2×,由此得出:x1+x2=8.
設(shè)弦AC的中點為P(x0,y0),則x0==4.
(3)解法一:由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.
①
②
得
①-②得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
將 (k≠0)代入上式,得9×4+25y0(-)=0
(k≠0)
即k=y0(當k=0時也成立).
由點P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上,得y0=4k+m,所以m=y0-4k=y0-y0=-y0.
由
10、點P(4,y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部,得-<y0<,所以-<m<.
解法二:因為弦AC的中點為P(4,y0),所以直線AC的方程為
y-y0=-(x-4)(k≠0)③
將③代入橢圓方程=1,得
(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0
所以x1+x2==8,解得k=y0.(當k=0時也成立)
(以下同解法一).
●錦囊妙計
1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題,實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題,此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.
2.當直線與圓錐曲線相交時:涉及
11、弦長問題,常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式);涉及弦長的中點問題,常用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點,則|AB|的最大值為( )
A.2B.C.D.
2.(★★★★)拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點,且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )
A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x
12、3+x2x3
C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0
二、填空題
3.(★★★★)已知兩點M(1,)、N(-4,-),給出下列曲線方程:①4x+2y-1=0,
②x2+y2=3,③+y2=1,④-y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.
4.(★★★★★)正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上,C、D兩點在拋物線y2=x上,則正方形ABCD的面積為_________.
5.(★★★★★)在拋物線y2=16x內(nèi),通過點(2,1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.
三、解答題
6.(★★★★★)
13、已知拋物線y2=2px(p>0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范圍.
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值.
7.(★★★★★)已知中心在原點,頂點A1、A2在x軸上,離心率e=的雙曲線過點P(6,6).
(1)求雙曲線方程.
(2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N,問:是否存在直線l,使G平分線段MN,證明你的結(jié)論.
8.(★★★★★)已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點,且都以點A(,0)為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)
14、于直線y=x對稱.
(1)求雙曲線C的方程.
(2)設(shè)直線l過點A,斜率為k,當0<k<1時,雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為,試求k的值及此時B點的坐標.
參考答案
難點磁場
解:設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),
P(x1,y1),Q(x2,y2)
由 得(m+n)x2+2nx+n-1=0,
Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mn>0,
由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴+1=0,∴m+n=2 ①
又22,
將m+n=2,代入得m·n=②
由①、
15、②式得m=,n=或m=,n=
故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.
殲滅難點訓練
一、1.解析:弦長|AB|=≤.
答案:C
2.解析:解方程組,得ax2-kx-b=0,可知x1+x2=,x1x2=-,x3=-,代入驗證即可.
答案:B
二、3.解析:點P在線段MN的垂直平分線上,判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.
答案:②③④
4.解析:設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長,利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離,求出b的值,再代入求出|CD|的長.
答案:18或50
5.解析:設(shè)所求直線與y
16、2=16x相交于點A、B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2).
即kAB=8.
故所求直線方程為y=8x-15.
答案:8x-y-15=0
三、6.解:(1)設(shè)直線l的方程為:y=x-a,代入拋物線方程得(x-a)2=2px,即x2-2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2
又∵p>0,∴a≤-.
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點 C(x,y),
由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+
17、x2=2a+2p,
則有x==p.
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-p=-(x-a-p),從而N點坐標為(a+2p,0)
點N到AB的距離為
從而S△NAB=
當a有最大值-時,S有最大值為p2.
7.解:(1)如圖,設(shè)雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.
所以所求雙曲線方程為=1.
(2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3,0)、(-3,0),
∴其重心G的坐標為(2,2)
假設(shè)存在直線l,使G(2,2)平分線段MN,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).則有
,∴kl=
∴l(xiāng)的方程為y= (x-2)+2,
由,消去y,整理得x2-
18、4x+28=0.
∵Δ=16-4×28<0,∴所求直線l不存在.
8.解:(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.
即漸近線為y=±x,又點A關(guān)于y=x對稱點的坐標為(0,).
∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2-y2=2.
(2)設(shè)直線l:y=k(x-)(0<k<1,依題意B點在平行的直線l′上,且l與l′間的距離為.
設(shè)直線l′:y=kx+m,應(yīng)有,化簡得m2+2km=2. ②
把l′代入雙曲線方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0,
由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0.可得m2+2k2=2 ③
②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設(shè)m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).
內(nèi)容總結(jié)