步步高廣東專用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練七排列組合與二項(xiàng)式定理 理
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1、第1講 排列、組合與二項(xiàng)式定理 考情解讀 1.高考中對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”問題、相鄰問題、相間問題)為主,主要涉及數(shù)字問題、樣品問題、幾何問題、涂色問題、選取問題等;對(duì)二項(xiàng)式定理的考查,主要是利用通項(xiàng)求展開式的特定項(xiàng),利用二項(xiàng)式定理展開式的性質(zhì)求有關(guān)系數(shù)問題.主要考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、補(bǔ)集思想和邏輯思維能力.2.排列、組合、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理往往通過實(shí)際問題進(jìn)行綜合考查,一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn),難度中等,還經(jīng)常與概率問題相結(jié)合,出現(xiàn)在解答題的第一或第二個(gè)小題中,難度也為中等;對(duì)于二項(xiàng)式定理的考查,主要出現(xiàn)在選擇題或填空題中,難度為
2、易或中等. 1.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成,則要用分類加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加;如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成,則要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘. 2.排列與組合 (1)排列:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)公式是A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)或?qū)懗葾=. (2)組合:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素組成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)公
3、式是 C=或?qū)懗蒀=. (3)組合數(shù)的性質(zhì) ①C=C; ②C=C+C. 3.二項(xiàng)式定理 (1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=Canb0+Can-1b+Can-2b2+…+Can-rbr+…+Ca0bn(r=0,1,2,…,n). (2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) Tr+1=Can-rbr,r=0,1,2,…,n,其中C叫做二項(xiàng)式系數(shù). (3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ①對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等, 即C=C,C=C,…,C=C,…. ②最大值:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),相等,且同時(shí)取得最大值. ③各二項(xiàng)式系數(shù)
4、的和
a.C+C+C+…+C+…+C=2n;
b.C+C+…+C+…=C+C+…+C+…=·2n=2n-1.
熱點(diǎn)一 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
例1 (1)將1,2,3,…,9這9個(gè)數(shù)字填在如圖的9個(gè)空格中,要求每一行從左到右,每一列從上到下分別依次增大.當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí),填寫空格的方法為( )
A.6種 B.12種
C.18種 D.24種
(2)如果一個(gè)三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1 5、數(shù)字1,2,9的位置,再分步填寫空格;(2)按中間數(shù)進(jìn)行分類.
答案 (1)A (2)A
解析 (1)∵每一行從左到右,每一列從上到下分別依次增大,1,2,9只有一種填法,5只能填在右上角或左下角,5填后與之相鄰的空格可填6,7,8任一個(gè);
余下兩個(gè)數(shù)字按從小到大只有一種方法.
共有2×3=6種結(jié)果,故選A.
(2)分8類,當(dāng)中間數(shù)為2時(shí),有1×2=2種;
當(dāng)中間數(shù)為3時(shí),有2×3=6種;
當(dāng)中間數(shù)為4時(shí),有3×4=12種;
當(dāng)中間數(shù)為5時(shí),有4×5=20種;
當(dāng)中間數(shù)為6時(shí),有5×6=30種;
當(dāng)中間數(shù)為7時(shí),有6×7=42種;
當(dāng)中間數(shù)為8時(shí),有7×8=56種;
當(dāng) 6、中間數(shù)為9時(shí),有8×9=72種.
故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240種.
思維升華 (1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí),一般先分類再分步,每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理.
(2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問題,可恰當(dāng)列出示意圖或表格,使問題形象化、直觀化.
(1)(2014·大綱全國)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的選法共有( )
A.60種 B.70種
C.75種 D.150種
(2)已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的值域?yàn)閧0,1,2},則滿足這樣條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) 7、
A.8 B.9 C.26 D.27
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由題意知,選2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生的方法有CC=75(種).
(2)因?yàn)橹涤驗(yàn)閧0,1,2}即ln(x2+1)=0?x=0,
ln(x2+1)=1?x=±,
ln(x2+1)=2?x=±,所以定義域取值即在這5個(gè)元素中選取,①當(dāng)定義域中有3個(gè)元素時(shí),CCC=4,②當(dāng)定義域中有4個(gè)元素時(shí),CC=4,③當(dāng)定義域中有5個(gè)元素時(shí),有一種情況.所以共有4+4+1=9(個(gè))這樣的函數(shù).
熱點(diǎn)二 排列與組合
例2 (1)(2014·重慶)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目,2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序, 8、則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )
A.72 B.120
C.144 D.168
(2)數(shù)列{an}共有12項(xiàng),其中a1=0,a5=2,a12=5,且|ak+1-ak|=1,k=1,2,3,…,11,則滿足這種條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為( )
A.84 B.168
C.76 D.152
思維啟迪 (1)將不能相鄰的節(jié)目插空安排;(2)考慮數(shù)列中項(xiàng)的增減變化次數(shù).
答案 (1)B (2)A
解析 (1)先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目,然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種:“小品1,小品2,相聲”“小品1,相聲,小品2”和“相聲,小品1,小品2”.對(duì)于第一種情 9、況,形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”,有ACA=36(種)安排方法;同理,第三種情況也有36種安排方法,對(duì)于第二種情況,三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空,其形式為“□小品1□相聲□小品2□”,有AA=48(種)安排方法,故共有36+36+48=120(種)安排方法.
(2)∵|ak+1-ak|=1,k=1,2,3,…,11,∴前一項(xiàng)總比后一項(xiàng)大1或小1,a1到a5中4個(gè)變化必然有3升1減,a5到a12中必然有5升2減,是組合的問題,∴C×C=84.
思維升華 解排列、組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑:
(1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.
(2)以位置為主體,即先滿足特殊位 10、置的要求,再考慮其他位置.
(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù).
(1)在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中,先后要實(shí)施6個(gè)程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰,則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有( )
A.24種 B.48種
C.96種 D.144種
(2)從0,1,2,3,4中任取四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是________(用數(shù)字作答).
答案 (1)C (2)60
解析 (1)首先安排A有2種方法;第二步在剩余的5個(gè)位置選取相鄰的兩個(gè)排B,C,有4種排法,而B,C位置互換有2種方法;第三步安 11、排剩余的3個(gè)程序,有A種排法,共有2×4×2×A=96(種).
(2)0,1,2,3,4中任取四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),且為偶數(shù),有兩種情況:
一是當(dāng)0在個(gè)位的四位偶數(shù)有A=24(個(gè));
二是當(dāng)0不在個(gè)位時(shí),先從2,4中選一個(gè)放在個(gè)位,再從余下的三個(gè)數(shù)選一個(gè)放在首位,應(yīng)有AAA=36(個(gè)),
故共有四位偶數(shù)60個(gè).
熱點(diǎn)三 二項(xiàng)式定理
例3 (1)在(a+x)7展開式中x4的系數(shù)為35,則實(shí)數(shù)a的值為________.
(2)如果(1+x+x2)(x-a)5(a為實(shí)常數(shù))的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,則展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為________.
思維啟迪 (1)利用通項(xiàng)公 12、式求常數(shù)項(xiàng);(2)可用賦值法求二項(xiàng)展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和.
答案 (1)1 (2)-5
解析 (1)通項(xiàng)公式:Tr+1=Ca7-rxr,所以展開式中x4的系數(shù)為Ca3=35,解得a=1.
(2)∵令x=1得(1+x+x2)(x-a)5的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1+1+12)(1-a)5=0,∴a=1,∴(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,
其展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為
C(-1)3-C(-1)0=-5.
思維升華 (1)在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí),要注意以下幾點(diǎn):
①它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng),只要n與r確定,該 13、項(xiàng)就隨之確定;
②Tr+1是展開式中的第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng);
③公式中,a,b的指數(shù)和為n且a,b不能隨便顛倒位置;
④對(duì)二項(xiàng)式(a-b)n展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問題.
(2)在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中,“賦值思想”是一種重要方法,是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法.
(1)(2014·湖北)若二項(xiàng)式(2x+)7的展開式中的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a等于( )
A.2 B.
C.1 D.
(2)(2014·浙江)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于( )
A.45 B 14、.60
C.120 D.210
答案 (1)C (2)C
解析 (1)二項(xiàng)式(2x+)7的展開式的通項(xiàng)公式為
Tr+1=C(2x)7-r·()r=C27-rarx7-2r,
令7-2r=-3,得r=5.
故展開式中的系數(shù)是C22a5=84,解得a=1.
(2)因?yàn)閒(m,n)=CC,
所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)
=CC+CC+CC+CC=120.
1.排列、組合應(yīng)用題的解題策略
(1)在解決具體問題時(shí),首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”,接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.
(2)區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題 15、,關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān).若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列問題;若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響,則是組合問題.也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān),組合問題與選取元素的順序無關(guān).
(3)排列、組合綜合應(yīng)用問題的常見解法:①特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法;②合理分類與準(zhǔn)確分步;③排列、組合混合問題先選后排法;④相鄰問題捆綁法;⑤不相鄰問題插空法;⑥定序問題倍縮法;⑦多排問題一排法;⑧“小集團(tuán)”問題先整體后局部法;⑨構(gòu)造模型法;⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化法.
2.二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式,對(duì)待恒等式通常有兩種思路
一是利用恒等定理(兩個(gè)多項(xiàng)式恒等,則對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等);二 16、是賦值.這兩種思路相結(jié)合可以使得二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題迎刃而解.
另外,通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù),求滿足條件的項(xiàng)或系數(shù),求展開式的某一項(xiàng)或系數(shù),在運(yùn)用公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn):
(1)Can-rbr是第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng).
(2)運(yùn)用通項(xiàng)公式Tr+1=Can-rbr解題,一般都需先轉(zhuǎn)化為方程(組)求出n、r,然后代入通項(xiàng)公式求解.
(3)求展開式的特殊項(xiàng),通常都是由題意列方程求出r,再求出所需的某項(xiàng);有時(shí)需先求n,計(jì)算時(shí)要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.
真題感悟
1.(2014·浙江)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張,其余5張無獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人,每 17、人2張,不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答).
答案 60
解析 把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法,一種是分(一等獎(jiǎng),無獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng),無獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng),無獎(jiǎng))、(無獎(jiǎng),無獎(jiǎng))四組,分給4人有A種分法;另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng),一組只有一個(gè)獎(jiǎng),另兩組無獎(jiǎng),共有C種分法,再分給4人有A種分法,所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為A+CA=24+36=60.
2.(2014·山東)若(ax2+)6的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則a2+b2的最小值為________.
答案 2
解析 (ax2+)6的展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=C(ax2)6-r·()r=Ca6-rbrx12-3r,
令12-3r=3 18、,得r=3,由Ca6-3b3=20得ab=1,
所以a2+b2≥2=2,故a2+b2的最小值為2.
押題精練
1.給一個(gè)正方體的六個(gè)面涂上4種不同的顏色(紅、黃、綠、藍(lán)),要求相鄰2個(gè)面涂不同的顏色,則所有涂色方法的種數(shù)為( )
A.6 B.12 C.24 D.48
答案 A
解析 由于涂色過程中,要使用4種顏色,且相鄰的面不同色,對(duì)于正方體的3組對(duì)面來說,必然有2組對(duì)面同色,1組對(duì)面不同色,而且3組對(duì)面具有“地位對(duì)等性”,因此,只需從4種顏色中選擇2種涂在其中2組對(duì)面上,剩下的2種顏色分別涂在另外2個(gè)面上即可.因此共有C=6(種)不同的涂法,故選A.
2.某電視臺(tái)一節(jié)目 19、收視率很高,現(xiàn)要連續(xù)插播4個(gè)廣告,其中2個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告,要求最后播放的必須是商業(yè)廣告,且2個(gè)商業(yè)廣告不能連續(xù)播放,則不同的播放方式有( )
A.8種 B.16種 C.18種 D.24種
答案 A
解析 可分三步:第一步,最后一個(gè)排商業(yè)廣告有A種;第二步,在前兩個(gè)位置選一個(gè)排第二個(gè)商業(yè)廣告有A種;第三步,余下的兩個(gè)排公益宣傳廣告有A種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的播放方式共有AAA=8(種).故選A.
3.(+)2n的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則其常數(shù)項(xiàng)為( )
A.120 B.252 C.210 D.45
答案 C
解析 根據(jù)二 20、項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),得2n=10,故二項(xiàng)式(+)2n的展開式的通項(xiàng)公式是Tr+1=C()10-r·()r=C.根據(jù)題意令5--=0,解得r=6,故所求的常數(shù)項(xiàng)等于C=210.
4.設(shè)f(x)是(x2+)6展開式的中間項(xiàng),若f(x)≤mx在區(qū)間[,]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案 [5,+∞)
解析 (x2+)6展開共七項(xiàng),中間項(xiàng)為C(x2)3()3=20·x6·=x3,所以f(x)=x3.
f(x)≤mx在區(qū)間[,]上恒成立,即x3-mx≤0在區(qū)間[,]上恒成立.
x3-mx=x(x2-m),因?yàn)閤∈[,],所以x>0,即x2-m≤0在區(qū)間[,]上恒成立,所以m≥ 21、(·x2)max,在區(qū)間[,]上,易知當(dāng)x=時(shí),x2有最大值,最大值為5,所以m≥5.
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[5,+∞).
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一、選擇題
1.(2014·安徽)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60°的共有( )
A.24對(duì) B.30對(duì) C.48對(duì) D.60對(duì)
答案 C
解析 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與面對(duì)角線AC成60°角的面對(duì)角線有B1C,BC1,A1D,AD1,AB1,A1B,D1C,DC1,共8條,同理與DB成60°角的面對(duì)角線也有8條.因此一個(gè)面上的2條面對(duì)角線與其相鄰的4個(gè)面上的8條對(duì)角線共組 22、成16對(duì).又正方體共有6個(gè)面,所以共有16×6=96(對(duì)).又因?yàn)槊繉?duì)被計(jì)算了2次,因此成60°角的面對(duì)角線有×96=48(對(duì)).
2.在(x-)5的二項(xiàng)展開式中,x2的系數(shù)為( )
A.40 B.-40
C.80 D.-80
答案 A
解析 (x-)5的展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=Cx5-r(-)r=(-2)rC,
令5-=2,得r=2,故展開式中x2的系數(shù)是(-2)2C=40,故選A.
3.從8名女生和4名男生中,抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目,如果按性別比例分層抽樣,則不同的抽取方法數(shù)為( )
A.224 B.112
C.56 D.28
答案 B
解析 根 23、據(jù)分層抽樣,從8個(gè)人中抽取男生1人,女生2人;所以取2個(gè)女生1個(gè)男生的方法:CC=112.
4.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a0+a1+a3+a5的值為( )
A.122 B.123 C.243 D.244
答案 B
解析 在已知等式中分別取x=0、x=1與x=-1,得a0=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=35,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,因此有2(a1+a3+a5)=35+1=244,a1+a3+a5=122,a0+a1+a3+a5=123,
故選B.
5.(2014·四川)在x(1+x)6的展開式中,含 24、x3項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.30 B.20
C.15 D.10
答案 C
解析 因?yàn)?1+x)6的展開式的第r+1項(xiàng)為Tr+1=Cxr,x(1+x)6的展開式中含x3的項(xiàng)為Cx3=15x3,所以系數(shù)為15.
6.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫,排成一列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的排列方式的種數(shù)有( )
A.AAB.AAA
C.CAAD.AAA
答案 D
解析 先把3種品種的畫看成整體,而水彩畫受限制應(yīng)優(yōu)先考慮,不能放在頭尾,故只能放在中間,又油畫與國畫有A種放法,再考慮國畫與油畫本身又可以全排列,故排列的方 25、法有AAA種.
7.二項(xiàng)式(-)n的展開式中第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則常數(shù)項(xiàng)為( )
A.10 B.-10
C.20 D.-20
答案 B
解析 由題意可知二項(xiàng)式(-)n的展開式的常數(shù)項(xiàng)為T4=C()n-3(-)3=(-1)3C,
令3n-15=0,可得n=5.
故所求常數(shù)項(xiàng)為T4=(-1)3C=-10,故選B.
8.有A、B、C、D、E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計(jì)比賽,決出了第一到第五的名次.A、B兩位學(xué)生去問成績,老師對(duì)A說:你的名次不知道,但肯定沒得第一名;又對(duì)B說:你是第三名.請(qǐng)你分析一下,這五位學(xué)生的名次排列的種數(shù)為( )
A.6 B.18
C.20 D.24
答案 26、 B
解析 由題意知,名次排列的種數(shù)為CA=18.
9.在二項(xiàng)式(x2-)n的展開式中,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為( )
A.32 B.-32
C.0 D.1
答案 C
解析 依題意得所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n=32,解得n=5.
因此,令x=1,則該二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于(12-)5=0,故選C.
10.用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,則所有涂色方法的種數(shù)為( )
A.60 B.80
C.120 D.260
答案 D
解析 如圖所示,將4個(gè)小 27、方格依次編號(hào)為1,2,3,4.如果使用2種顏色,則只能是第1,4個(gè)小方格涂一種,第2,3個(gè)小方格涂一種,方法種數(shù)是CA=20;如果使用3種顏色,若第1,2,3個(gè)小方格不同色,第4個(gè)小方格只能和第1個(gè)小方格相同,方法種數(shù)是CA=60,若第1,2,3個(gè)小方格只用2種顏色,則第4個(gè)方格只能用第3種顏色,方法種數(shù)是C×3×2=60;如果使用4種顏色,方法種數(shù)是CA=120.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,知總的涂法種數(shù)是20+60+60+120=260,故選D.
二、填空題
11.“霧霾治理”“光盤行動(dòng)”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費(fèi)”成為2013年社會(huì)關(guān)注的五個(gè)焦點(diǎn).小王想利用2014“五一”假期 28、的時(shí)間調(diào)查一下社會(huì)對(duì)這些熱點(diǎn)的關(guān)注度.若小王準(zhǔn)備按照順序分別調(diào)查其中的4個(gè)熱點(diǎn),則“霧霾治理”作為其中的一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn),但不作為第一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)的調(diào)查順序總數(shù)為________.
答案 72
解析 先從“光盤行動(dòng)”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費(fèi)”這4個(gè)熱點(diǎn)選出3個(gè),有C種不同的選法;在調(diào)查時(shí),“霧霾治理”安排的調(diào)查順序有A種可能情況,其余三個(gè)熱點(diǎn)調(diào)查順序有A種,故不同調(diào)查順序的總數(shù)為CAA=72.
12.(x-1)(4x2+-4)3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.
答案 160
解析 (x-1)(4x2+-4)3=(x-1)(2x-)6,其中(2x-)6展開式的第r+1項(xiàng)為 29、Tr+1=C(2x)6-r·(-)r=(-1)r·C·26-r·x6-2r,
令r=3,可得T4=(-1)3C·23=-160,
所以二項(xiàng)式(x-1)(4x2+-4)3的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(-1)×(-160)=160.
13.(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有________種.
答案 36
解析 將產(chǎn)品A與B捆綁在一起,然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列,共有AA種方法,將產(chǎn)品A,B,C捆綁在一起,且A在中間,然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列,共有AA種方法.于是符合題意的排法共有AA-AA=36(種).
14.(2014 30、·課標(biāo)全國Ⅱ)(x+a)10的展開式中,x7的系數(shù)為15,則a=________.(用數(shù)字填寫答案)
答案
解析 設(shè)通項(xiàng)為Tr+1=Cx10-rar,令10-r=7,
∴r=3,∴x7的系數(shù)為Ca3=15,∴a3=,∴a=.
15.某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個(gè)不同的車間,每個(gè)車間至少分配一名員工,且甲、乙兩名員工必須分到同一個(gè)車間,則不同分法的種數(shù)為________.
答案 36
解析 若甲、乙分到的車間不再分人,則分法有C×A×C=18種;若甲、乙分到的車間再分一人,則分法有3×C×A=18種.所以滿足題意的分法共有18+18=36種.
16.已知(x+)6(a> 31、0)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為240,則(x+a)(x-2a)2的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為________.
答案?。?
解析 (x+)6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=Cx6-r()r=Ca,令6-=0,得r=4,則其常數(shù)項(xiàng)為Ca4=15a4=240,則a4=16,由a>0,故a=2.又(x+a)(x-2a)2的展開式中,x2項(xiàng)為-3ax2.故x2項(xiàng)的系數(shù)為(-3)×2=-6.
內(nèi)容總結(jié)
(1)第1講 排列、組合與二項(xiàng)式定理
考情解讀 1.高考中對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”問題、相鄰問題、相間問題)為主,主要涉及數(shù)字問題、樣品問題、幾何問題、涂色問題、選取問題等
(2)②Tr+1是展開式中的第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng)
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