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1、第3講 直線與圓錐曲線
(推薦時間:60分鐘)
一、填空題
1.若拋物線y2=2x上有兩點A,B,且AB垂直于x軸,若AB=2,則拋物線的焦點到直線AB的距離為________.
2.若直線y=x+t與橢圓+y2=1相交于A,B兩點,當t變化時,AB的最大值是________.
3.(2011·天津改編)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左頂點與拋物線y2=2px(p>0)的焦點的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(-2,-1),則雙曲線的焦距為________.
4.過雙曲線-=1右焦點的直線交雙曲線所得的弦長為2a,若這樣的直線有且僅有兩條,則離心率為_
2、_____.
5.(2011·山東改編)設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點,F(xiàn)為拋物線C的焦點,以F為圓心,F(xiàn)M為半徑的圓和拋物線C的準線相交,則y0的取值范圍是________.
6.設(shè)O為坐標原點,F(xiàn)1、F2是-=1(a>0,b>0)的焦點,若在雙曲線上存在點P,滿足∠F1PF2=60°,OP=a,則該雙曲線的漸近線方程為____________.
7.過橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B,且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F,若0
3、,b>0)和橢圓+=1有相同的焦點,且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為________.
9.橢圓C:+=1及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R)的位置關(guān)系是________.
10.拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,l與x軸相交于點E,過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AB⊥l,垂足為B,則四邊形ABEF的面積為________.
11.如圖,過拋物線y=x2的焦點的直線交拋物線與圓x2+(y-1)2=1于A、B、C、D四點,則AB·CD=______.
12.連結(jié)雙曲線-=1和-=1(其中a>b>0)的四
4、個頂點的四邊形面積為S1,連結(jié)四個焦點的四邊形的面積為S2,則當?shù)闹禐樽畲髸r,雙曲線-=1的離心率為________.
二、解答題
13.已知實數(shù)m>1,定點A(-m,0),B(m,0),S為一動點,點S與A,B兩點連線斜率之積為-.
(1)求動點S的軌跡C的方程,并指出它是哪一種曲線;
(2)當m=時,問t取何值時,直線l:2x-y+t=0(t>0)與曲線C有且只有一個交點?
14.已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率等于.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點,交y軸于M點,若=λ1,
5、=λ2,求證λ1+λ2為定值.
15.已知橢圓C:+=1 (a>b>0)的離心率為,橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和為6.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx-2與橢圓C交于A,B兩點,點P(0,1),且PA=PB,求直線l的方程.
答 案
1. 2. 3.24.
5.(2,+∞)6.x±y=0
7.(,)8.-=1
9.相交10.611.112.
13.解 (1)設(shè)S(x,y),
則kSA=,kSB=.
由題意得=-,
即+y2=1(x≠±m(xù)).
∵m>1,∴軌跡C是中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點),其中長軸長為2m,短
6、軸長為2.
(2)當m=時,曲線C的方程為+y2=1(x≠±).
由消去y得9x2+8tx+2t2-2=0.
①令Δ=64t2-36×2(t2-1)=0,得t=±3,∵t>0,∴t=3.
此時直線l與曲線C有且只有一個公共點.
②令Δ>0且直線2x-y+t=0恰好過點(-,0)時,t=2.
此時直線與曲線C有且只有一個公共點.
綜上所述,當t=3或2時,直線l與曲線C有且只有一個公共點.
14.(1)解 設(shè)橢圓C的方程為+=1 (a>b>0),
則由題意知b=1,∴=.
即=.∴a2=5.
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)方法一 設(shè)A、B、M點的坐標分別為A(x1,
7、y1),B(x2,y2),M(0,y0).
易知F點的坐標為(2,0).
∵=λ1,
∴(x1,y1-y0)=λ1(2-x1,-y1),
∴x1=,y1=.
將A點坐標代入到橢圓方程中,得
2+2=1.
去分母整理得λ+10λ1+5-5y=0.
同理,由=λ2可得λ+10λ2+5-5y=0,
∴λ1,λ2是方程x2+10x+5-5y=0的兩個根,∴λ1+λ2=-10.
故λ1+λ2為定值.
方法二 設(shè)A、B、M點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).
又易知F點的坐標為(2,0).
顯然直線l存在斜率,設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程是y=
8、k(x-2).
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中,消去y并整理得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
又∵=λ1,=λ2,
將各點坐標代入得λ1=,λ2=.
∴λ1+λ2=+
==…=-10.
故λ1+λ2為定值.
15.解 (1)由已知2a=6,=,
解得a=3,c=,所以b2=a2-c2=3,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則AB的中點為E.
由得(1+3k2)x2-12kx+3=0,
則x1+x2=,x1x2=.
∵直線與橢圓有兩個不同的交點,
∴Δ=144k2-12(1+3k2)>0,
解得k2>.
而y1+y2=k(x1+x2)-4=k·-4=-,
∴E點坐標為.
∵PA=PB,∴PE⊥AB,kPE·kAB=-1.
∴·k=-1.解得k=±1,滿足k2>,
∴直線l的方程為x-y-2=0或x+y+2=0.
內(nèi)容總結(jié)