《找次品問題》方法(共2頁)

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1、精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上 《找次品問題》的求解方法 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?還是從比爾·蓋茨與81個玻璃球的問題說開來吧。 ???(1)?小比爾·蓋茨的問題:這兒有81個玻璃球,其中有一個球比其他的球稍重,如果只能用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出來呢? ???(2)?如果不知道次品玻璃球與標準球的輕重,同樣只用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來? 怎樣用天平來測量次品?就是要用天平稱量時的“平衡”與“不平衡”來判斷研究對象的情況?!捌胶狻迸忻鳑]次品;“不平衡”判明次品就在這里。本題要求最少的稱量次數(shù),顯然還要找出一個解

2、決問題的最優(yōu)策略,也就是要讓天平每稱量一次能判斷的研究對象個數(shù)最多,最終達到稱量次數(shù)最少的目的。實際操作起來就是把研究對象怎樣分組,分成多少組的問題。 怎樣分組?有平均分(對于不能平均分的數(shù)量,讓數(shù)量多的組多1個,少的組少1個),任意分兩種分法。比較起來只有平均分才能讓“平衡”與“不平衡”說明研究對象的情況(任意分時,天平兩邊數(shù)量不等,“平衡”已不可能,“不平衡”也不能判斷出問題),所以選擇平均分法。 ????分成多少組?有分成2組、3組、4組、5組等多種分法。因為天平有兩個托盤,每稱量一次能放上兩組研究對象,最多能判斷出3組的情況(既能判斷出天平上兩組的情況,還能判斷出天平外一組的情況。

3、若平衡,次品就在盤外那組中;若不平衡,盤外那組中就無次品),所以只有分成2組或3組才能使天平每稱量一次包括研究對象的全部,其他組數(shù)達不到這個要求——舍棄。再比較2組分法、3組分法的優(yōu)劣:把2組分法、3組分法上次稱量判斷出的問題組對象再分別2等分之、3等分之??梢缘贸鱿麓畏Q量時天平每邊的對象數(shù)量,3組分法的遠比2組分法的少。繼續(xù)稱量下去,顯然,3組分法的稱量次數(shù)要少,更符合最優(yōu)策略。 綜合起來,就是選擇平均分成3組的分法。 用天平稱量的方法找次品有什么規(guī)律? 因為采用的是三等分法,則每次稱量都是把上次找出的問題組對象三等分之進行研究,且最后一次找出次品時,天平兩邊各只有1個研究對象,所以從

4、天平兩邊各放1個研究對象開始逆推找規(guī)律。 ??????天平稱量法找次品統(tǒng)計表 次數(shù) 最多判斷出研究對象的個數(shù) 1 3=31?????????????????(1,1,1) 2 3×3=9=32????????(3,3,3)(1,1,1) 3 9×3=27=33??????(9,9,9)(3,3,3)(1,1,1) 4 27×3=81=34????(27,27,27)(9,9,9) ???????????????(3,3,?3)(1,1,1) 一般地,用天平稱量n次,能判斷出研究對象的最多個數(shù)Y=3n。 上面研究的都是“最多”數(shù)量的情況,不滿足“最多”條件的數(shù)

5、量情況如何呢?比如4、12情況怎樣? 先研究4:因為天平稱量1次最多只能判斷出3個,所以要再稱量1?次,一共2次才能有保證。[平衡2次:(2,1,1)→(1,1)。不平衡1次:(2,1,1)。] 再研究12:天平稱量2次最多能判斷出9個,所以也要再稱1次,一共是3次才能有保證。[平衡3次:(4,4,4)→(2,1,1)→(1,1)。不平衡2次:(4,4,4)→(2,1,1)] 一般地,用天平稱量法找次品,當研究對象的個數(shù)?Y滿足關系式3n-1<Y≤3n時,最少要稱量n次才能保證找出次品。 現(xiàn)在回頭解答比爾·蓋茨與81個玻璃球的問題。 ????問題(1)小比爾·蓋茨的問題:這兒有81個

6、玻璃球,其中有一個球比其他的球稍重,如果只能用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出來呢? 因為81=34,所以最少要稱4次才能保證找出次品。 ????問題(2)如果不知道次品玻璃球與標準球的輕重,同樣只用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來? 先測出次品玻璃球是重了還是輕了: 分組??81÷3=27??????(27,27,27) 1次——任取兩組過天平,有“平衡”與“不平衡”兩種情況。 研究“平衡”情況?????既是“平衡”,就判斷出次品在天平外那組中。 2次——任取已過天平一組與天平外那組同稱,肯定不平衡。若原天平外那組重些,就判斷出次品比標準球重,否則,次品

7、就是比標準球輕。 研究“不平衡”情況?????既是“不平衡”,就判斷出次品已在天平中,天平外那組是標準球。 2次——取較重的一組與天平外那組同稱,有“平衡”、“不平衡”兩種可能。若“平衡”就判斷出次品球比標準球輕;若“不平衡”就判斷出次品球比標準球重。 綜合以上研究得出:最少稱2次才能知道次品球在那組中,也才能知道次品球比標準球是重些還是輕些。此時,次品所在組有球27個。因為,27=33,所以最少再稱3次才能保證找出次品球來。 一共是???2+3=5(次) 例:若73個零件,其中有一個比其他的零件稍重,如果只能用天平來測量,至少要稱多少次才能保證找出來呢? 解:因為33<73≤34,所以最少要稱4次才能保證找出次品。 [平衡4次:(25,24,24)(9,8,8)(3,3,3)(1,1,1)。不平衡4次:(25,24,24)(8,8,8)(3,3,2)(1,1,1)] 專心---專注---專業(yè)

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