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1、3-1 直線的投影直線的投影第三章第三章 直線的投影直線的投影3-2 特殊位置直線特殊位置直線3-5 直角投影定理直角投影定理3-3 一般位置直線的實長與傾角一般位置直線的實長與傾角3-4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置3-1 直線的投影直線的投影(一一)投影的特性投影的特性直線的投影仍為直線直線的投影仍為直線(類似性類似性)，特殊，特殊情況下為一點情況下為一點(積聚性積聚性)。特殊情況下。特殊情況下為等長（全等性）為等長（全等性）HabDCc(d)ABaa aXZYWYHOb bb 直線的投影等于直線兩端端點的同面投影連線直線的投影等于直線兩端端點的同面投影連線(二二)屬于直線的點屬于直線
2、的點ABbb aa XOcc Cc屬于直線的點的投影特性：屬于直線的點的投影特性： 1 1 從屬性從屬性 若點屬于直線，則點的各個投影必屬于該直線的各同若點屬于直線，則點的各個投影必屬于該直線的各同面投影。面投影。 2 2 定比性定比性 屬于直線段的點分割直線段之長度比等于其投影長度屬于直線段的點分割直線段之長度比等于其投影長度比。即比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 根據(jù)這兩個特性根據(jù)這兩個特性, ,我們可以判斷一個點是否屬于直線我們可以判斷一個點是否屬于直線, ,也可以求也可以求屬于直線的點的投影。屬于直線的點的投影。bXaabcc
3、 例題例題1 已知線段已知線段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成1：2兩段，求分點兩段，求分點C的的投影投影。例題例題2 已知點已知點C在線段在線段AB上，求點上，求點C的正面投影的正面投影。bXabaccaccbXOABbb aa c CcHVABbb aa XOmnm(M)n(N)概念：概念：直線與投影面的交點稱為直線的跡點規(guī)定規(guī)定: :與H面的交點稱直線的水平跡點,用M表示; 與V面的交點稱直線的正面跡點,用N表示; 與W面的交點稱直線的側面跡點,用S表示;跡點的投影特征：跡點跡點的投影特征：跡點是是投影面與直線的共有點，故跡點的投影具有兩重性，跡點屬于投影面，它在該面上的投影
4、與自身重合，其余投影在投影軸上。跡點屬于直線，則跡點的各投影應屬于直線的各同面投影。跡點的求法跡點的求法：(三）三） 直線的跡點直線的跡點mm(M)ababnn(N)跡點的求法跡點的求法 求作直線AB的水平跡點M及正面跡點N。 求作水平跡點求作水平跡點M M： 延長直線的正面投影與OX軸相交于m； 過交點m作垂直于OX軸的投影連線與直線水平投影的延長線交于m，即直線的水平跡點M。求作正面跡點求作正面跡點N： 延長直線的水平投影與OX軸相交于n ； 過交點n作垂直于OX軸的投影連線與直線正面投影的延長線交于n ，即直線的正面跡點N。bXaabb m a b mm(M)b aa nn (N)nab
5、ababnn(N)nmm(M)m直線在投影體系中的位置直線在投影體系中的位置 直線在三投影面體系中與投影面的位置有直線在三投影面體系中與投影面的位置有三種：三種： 投影面的平行線水平線、正平線、側平線 投影面的垂直線鉛垂線、正垂線、側垂線 傾斜于三個投影面的線 我們把前兩種稱為特殊位置直線，后一種稱為一般位置直線直線與投影面的傾角直線與投影面的傾角 把直線延長到與投影面相交，與投把直線延長到與投影面相交，與投影面產(chǎn)生的夾角稱為直線與投影面的傾影面產(chǎn)生的夾角稱為直線與投影面的傾角，分別為角，分別為 與H面的夾角為 與V面的夾角為 與W面的夾角為3-2 特殊位置直線特殊位置直線1 1、直線只平行于
6、一個投影面、直線只平行于一個投影面-即線上每個點的某一個坐標相等即線上每個點的某一個坐標相等 (1) (1) 水平線水平線 (2) (2) 正平線正平線 (3) (3) 側平線側平線2 2、直線垂直于一個投影面、直線垂直于一個投影面- - 即平行于兩個投影面即平行于兩個投影面, ,線上的點有兩個線上的點有兩個 坐標相等坐標相等 (1) (1) 鉛垂線鉛垂線 (2) (2) 正垂線正垂線 (3) (3) 側垂線側垂線1、投影面平行線 直線只平行于一個投影面直線只平行于一個投影面-即線上每個點的即線上每個點的某一個坐標相等某一個坐標相等 (1) (1) 水平線水平線- - 平行于平行于H H面的線
7、面的線, ,即即Z Z坐標相等坐標相等 (2) (2) 正平線正平線- - 平行于平行于V V面的線面的線, ,即即Y Y坐標相等坐標相等 (3) (3) 側平線側平線- - 平行于平行于W W面的線面的線, ,即即X X坐標相等坐標相等(1) 水平線水平線 平行于水平投影面平行于水平投影面H的直線的直線XZYOaababb Xab abbaOzYHYWAB投影特性：投影特性：1、a b OX ; a b OYW 2、ab =AB 3、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小XZYO（2）正平線）正平線 平行于正面投影面平行于正面投影面V的直線的直線aababbXabab baOZYHYWAB
8、 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小XZYO（3）側平線）側平線 平行于平行于側側面投影面面投影面W的直線的直線XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小2、投影面垂直線 直線垂直于一個投影面直線垂直于一個投影面- - 即平行于兩個投即平行于兩個投影面影面, ,線上的每個點有兩個坐標相等線上的每個點有兩個坐標相等 (1) (1) 鉛垂線鉛垂線- - 垂直于垂直于H H面面,X,
9、X、Y Y坐標相等坐標相等 (2) (2) 正垂線正垂線- - 垂直于垂直于V V面面,X,X、Z Z坐標相等坐標相等 (3) (3) 側垂線側垂線- - 垂直于垂直于W W面面,Y,Y、Z Z坐標相等坐標相等OXZYb a(b)a abZb Xa babOYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB（1）鉛垂線 垂直于水平投影面H的直線AB（2）正垂線正垂線 垂直于垂直于正面正面投影面投影面V的直線的直線OXZYbababa投影特性：投影特性： 1、 a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OX
10、 ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWab（3）側垂線）側垂線 垂直于垂直于側面?zhèn)让嫱队懊嫱队懊鎃的直線的直線OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWab3、屬于投影面的線 從屬于投影面的直線從屬于投影面的直線- - 可以理解為一些坐可以理解為一些坐標等于零的特殊位置直線標等于零的特殊位置直線 （1 1）從屬于投影面的直線從屬于投影面的直線 （2 2）從屬于投影面的鉛垂線從屬于投影面的鉛垂線 （3 3）屬于投影軸的直線
11、屬于投影軸的直線（1）從屬于）從屬于V 面的直線面的直線ZXaaaOYHYWbbbOXZYABbbabaa相當于相當于Y坐標等于零的正平線坐標等于零的正平線（2）從屬于）從屬于V 投影面的鉛垂線投影面的鉛垂線OXZYABba(b)aabZYWbXababOYHa相當于相當于X、Y坐標等于零的鉛垂線坐標等于零的鉛垂線(3) 從屬于從屬于OX軸的直線軸的直線ZXabaOYHYWabbOOXZYABbbabaa相當于相當于Y、Z坐標等于零的側垂線坐標等于零的側垂線有關知識的回顧有關知識的回顧Xab abbaOzYHYWzXab baOYHYWab 由前面講述所知，特殊位置直線，總是可以在相應的投影圖
12、由前面講述所知，特殊位置直線，總是可以在相應的投影圖上反映直線的真實長度和傾角。上反映直線的真實長度和傾角。OXZYABbababaZXaaaOYYbbb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均小于實長均小于實長 2 、a b、a b 、a b 均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸 3 、 不反映不反映 、 、 的真實大小的真實大小3-3 一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性|zA-zB |SCABABbbaaB0XO線段的實長和傾角線段的實長和傾角(直角三角形法直角三角形法)|zA-zB|XaabbSCABab|zA-zB|SCAB|zA-zB|abABbbaaB0XO|YA-
13、YB|aXab ba bAB AB a b|YA-YB|YA-YB|AB |YA-YB| A0XZYO ABbbabaaZXa a aOYHYWbbb |XA-XB|XA-XB|A0例題例題1 已知已知 線段的實長線段的實長AB和和正面投影及正面投影及B點的水平投影，點的水平投影，求它的水平投影。求它的水平投影。a|zA-zB| ab |yA-yB|b Xa bABabab|yA-yB|直角三角形法小結：直角三角形法小結： 直角三角形法是用來解決一些空間問題的一種方法，如求空間直線的直角三角形法是用來解決一些空間問題的一種方法，如求空間直線的實長、傾角、以及通過求坐標差來求空間直線的投影等等。
14、實長、傾角、以及通過求坐標差來求空間直線的投影等等。 在我們所討論的直角三角形中，有在我們所討論的直角三角形中，有四個要素四個要素：實長、傾角、投影、：實長、傾角、投影、坐標差。四個要素中任意知道兩個要素，都可以求到另兩個要素。但必須坐標差。四個要素中任意知道兩個要素，都可以求到另兩個要素。但必須弄清楚這些要素的關系。在解題的時候搞清楚每一個三角形的含義及目的。弄清楚這些要素的關系。在解題的時候搞清楚每一個三角形的含義及目的。 坐標差坐標差 X Y Z實長實長投影投影 W面投影面投影 a b V面投影面投影 a b H面投影面投影 ab傾角傾角 bbXaaBC(L)例題例題 已知線段已知線段A
15、B的投影，的投影，試定出屬于線段試定出屬于線段AB的點的點C的投的投影，影， 使使BC 的實長等于已知長的實長等于已知長度度L。cLABzA-zBc ab已知：AB直線通過原點O，且與V面的夾角等于30，求AB的另兩個投影。abo30abab3-4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 平行平行：兩直線相交在無限遠處：兩直線相交在無限遠處 相交相交：兩直線有共有點：兩直線有共有點 相叉相叉（即異面（即異面 ）：兩直線既不平行也不）：兩直線既不平行也不相交相交一、平行二直線一、平行二直線1、兩平行直線的各同面投影都平行。反之，若兩直線的各同面投影都平行，則、兩平行直線的各同面投影都平行。反之，若兩直
16、線的各同面投影都平行，則該兩直線平行。該兩直線平行。2、平行兩直線段的真長比等于其同面投影長度比。、平行兩直線段的真長比等于其同面投影長度比。3 、垂直于某一投影面的平行二直線，則二直線、垂直于某一投影面的平行二直線，則二直線 在該投影面上的投影反映二直線在該投影面上的投影反映二直線的真實距離。的真實距離。Xb aa d bbcc Xb a abdc d cABCD 對于兩條一般直線，只要任意兩組同面投對于兩條一般直線，只要任意兩組同面投影相互平行，則空間兩條線亦平行影相互平行，則空間兩條線亦平行 對于兩投影面的平行線，則需要根據(jù)第三對于兩投影面的平行線，則需要根據(jù)第三個投影或者比例法、指向法
17、來判別個投影或者比例法、指向法來判別平行線的判別平行線的判別a b aba b c cc d dd 不作出不作出W面投影，面投影，可以根據(jù)可以根據(jù)ab:cd=ab:cd是否是否成立來判斷平行性。成立來判斷平行性?；蛘吲袛嗷蛘吲袛郃B、CD的兩面投影指向不的兩面投影指向不同來判斷不平行性，同來判斷不平行性，如果指向相同，則如果指向相同，則用其他方法判斷用其他方法判斷二、相交二直線二、相交二直線 相交的實質就是共有。相交的實質就是共有。相交二直線各同面投影都相交，且交點相交二直線各同面投影都相交，且交點的投影是二直線投影的交點的投影是二直線投影的交點, ,交點的三個投影應符合點的投影規(guī)律。交點的三
18、個投影應符合點的投影規(guī)律。反之，若兩直線的各同面投影都相交，且交點的三個投影也符合點反之，若兩直線的各同面投影都相交，且交點的三個投影也符合點的投影規(guī)律，則該兩直線相交。的投影規(guī)律，則該兩直線相交。XBDACKbb aa c cdd k kb Xa abkc d dck三、三、 相叉兩直線相叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為相叉兩直線。 bXaabcddc11 (2 )2XOBDACbbaaccdd211 (2 )21四、判斷兩直線重影點的可見性四、判斷兩直線重影點的可見性XOBDACbb aac cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判斷重影點的可判斷重影點的可見性時，需要
19、看重影見性時，需要看重影點在另一投影面上的點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影，坐標值大的點投影可見，反之不可投影可見，反之不可見，不可見點的投影見，不可見點的投影加括號表示。加括號表示。例題例題 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置dacboYWYHzXaacddcbb例題例題 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置badcabXcd11d1c1兩直線交叉兩直線交叉例題例題 判斷兩交叉直線重影點的可見性判斷兩交叉直線重影點的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2)oYWYHz例題 判斷兩直線AB和CD是否平行。Xaacddcbbabcd主要方法補W投影定比利用相交、平行直線
20、均共面 首先觀看兩側平線各投影字母順序是否一致，不一致者肯定是交叉二線，一致者再作圖判斷。不平行( ) 4zoYWYHXaacddcbb( )( ) 1 例題例題 判斷兩直線的相對位置并判別重影點的可判斷兩直線的相對位置并判別重影點的可見性。見性。dacb補補W W 投影投影判斷二線判斷二線交叉交叉31 2 V V 投影重影投影重影處一般位置處一般位置線在前，線在前，H H 投影投影重影處重影處側平線在上側平線在上 255 43 2 （ ）（ ）例題 判斷兩直線的相對位置。 定比判別重影點的可見性同前。 V面投影重影處一般位置直線在前，側平線在后。 H面投影重影處一般位置直線在下，側平線在上。
21、點、屬于側平線，點屬于一般位置直線判別重影點的可見性。定比判斷兩直線交叉baacddcbXO131223判別前后判別上下XZOYHYWacbabc例題例題 過點過點A A作直線與直線作直線與直線BCBC及及OZOZ軸相交。軸相交。ff還可換成（與OX或OY軸相交） 因OZ是鉛垂線,水平投影積聚成點, 位置在O處,所以應先過a作水平投影.分析：ee3-5 直角投影定理直角投影定理定理：定理： 若直角有一條邊平行于某一投影面時，則該直角在該投若直角有一條邊平行于某一投影面時，則該直角在該投影面上的投影反映直角。影面上的投影反映直角。ABCPabc已知：已知：ABBC，ABP面面求證：求證：cba9
22、0證明：證明：ABBC 又又 ABBb ABCBbc 平面平面 ABab ab CBbc 平面平面 故故 abbc abc90cXcbabaAB垂直于垂直于AC,且且AB平行于平行于H面面,則有則有ab ac反定理仍然成立：反定理仍然成立：ABH面，面，ab ac，則：，則：AB ACAB AB 垂直于垂直于MN,MN,且且AB AB 平行于平行于H H 面面, ,則有則有abab mn mnXb a bamnn mO例題例題 過點過點A A 作正平線作正平線ABAB垂直于垂直于EFEF。bbaaOfeefXf例題例題 過點過點E E 作線段作線段ABAB、CD CD 的垂線的垂線EFEF。f
23、OcbaabXcddeeb例題例題 作三角形作三角形ABCABC， ABCABC為直角，使為直角，使BCBC在在MNMN上，且上，且BCBC AB AB =2=2 3 3。bcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnststnmmn例題 作兩條線的公垂線并求實長abcdabcdefklefklscsc直角定理小結 存在一個直角(可以以很多方式已知這個直角) 有一條平行于投影面的線(可以是投影面的平行線,也可以是投影面的垂直線) 反映直角(在平行的投影面上)綜合練習1：已知AB=BC，完成BC投影。b a c abscscc分析：分析：從已知條件從已知條件可以知道，可以知道，AB、BC均
24、為一般位置直均為一般位置直線，在投影中均不線，在投影中均不能反映真實的長度。能反映真實的長度。由于由于AB的兩面投影的兩面投影都知道，可以利用都知道，可以利用直角三角形法求出直角三角形法求出AB、BC的實長，的實長，又知道又知道BC的一個投的一個投影，再次利用直角影，再次利用直角三角形法求出三角形法求出BC的的另一個投影。另一個投影。投影作圖投影作圖：根據(jù) ZABabSC求出AB實長根據(jù) YBCbcSC求出 YBCabcab。SCAB分析分析 依據(jù)等邊三角形的邊長及坐標差可求未知邊的投影長，C點在H面上，即C點的Z坐標等于0，就知道了ZAC， ZBC 。投影作圖投影作圖求SCAB。用SCAB
25、和ZA、ZB求得ac、bc投影長。分別以a、b為圓心，相應的投影長為半徑畫圓弧相交于點c。由c求得c，完成全圖。綜合練習2：以AB為邊作等邊ABC，使頂點C在H面上ac本題有兩解本題有兩解YABZBCbcZACacbccSCABSCBCSCAC本章要點 熟練掌握直線的七種空間位置以及分類 熟練掌握求一般位置直線的實長、傾角的原理、方法。（直角三角形法） 熟練掌握點與直線的關系，直線與直線的關系。 充分理解空間相互垂直的兩直線的投影特征，熟練掌握直角投影定理。 已知等邊三角形ABC，邊BC屬于MN，完成此三角形的V、H投影。 習題習題 評講評講nmaamnddADsc30bcbcDB或或DC的實
26、長的實長30ADBC24補畫W投影，并判別各重影點的可見性。dcbaabcd abcd1 23 4561( )56( )3( )作業(yè)評講例例 已知已知BCBC與與ABAB垂直，垂直，BCBC等于定長等于定長L L，點，點C C屬于屬于H H面，面，aboxbox，求作求作BCBC的的V V、H H投影。投影。ababLLZB - ZCcccc分析 由已知條件可知： ABH面，H投影中反映直角。又點C屬于H面，即ZC =0，則ZB- ZC能確定，以實長L作直角三角形求得BC的H投影長。投影作圖 過b作ab的垂線以定長L為斜邊，以ZB- ZC為直角邊作直角三角形，求出bc長度完成BC的V、H投影 。兩解bc
第三章直線的投影數(shù)學教學課件PPT
