數(shù)學第四章 幾何初步與三角形 第七節(jié) 相似三角形

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1、第七節(jié)相似三角形考點一考點一 比例的有關概念與性質比例的有關概念與性質 (5(5年年1 1考考) )例例1 1(2018(2018嘉興中考嘉興中考) )如圖，直線如圖，直線l l1 1ll2 2ll3 3，直線，直線ACAC交交l l1 1，l l2 2，l l3 3于點于點A A，B B，C C；直線；直線DFDF交交l l1 1，l l2 2，l l3 3于點于點D D，E E，F(xiàn) F，已，已知知 ，則，則 ABAC13EFDE【分析分析】 根據(jù)題意求出根據(jù)題意求出 ，根據(jù)平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理解答解答【自主解答自主解答】 ， 2.2.ll1 1ll2 2ll3

2、 3， 2.2.故答案為故答案為2.2. BCABABAC13BCABEFDEBCAB利用平行線分線段成比例解題的易錯點利用平行線分線段成比例解題的易錯點利用平行線分線段成比例解題時，關鍵是準確找出圖形中利用平行線分線段成比例解題時，關鍵是準確找出圖形中的對應線段，正確列出比例式求解、計算容易觸雷的地的對應線段，正確列出比例式求解、計算容易觸雷的地方有：方有：(1)(1)比例的對應線段找不準；比例的對應線段找不準；(2)(2)比例的性質掌握不比例的性質掌握不牢，無法進行轉化牢，無法進行轉化1 1(2015(2015東營中考東營中考) )若若 ，則，則 的值為的值為( )( )yx34x yxD

3、 D2 2(2017(2017臨沂中考臨沂中考) )如圖，已知如圖，已知ABCDABCD，ADAD與與BCBC相交于相交于點點O.O.若若 ，ADAD1010，則，則AOAO BOOC234 4 考點二考點二 相似三角形的性質與判定相似三角形的性質與判定 (5(5年年5 5考考) )命題角度命題角度與四邊形有關的綜合性選擇題與四邊形有關的綜合性選擇題例例2 2 (2017(2017東營中考東營中考) )如圖，在正方形如圖，在正方形ABCDABCD中，中，BPCBPC是等是等邊三角形，邊三角形，BPBP，CPCP的延長線分別交的延長線分別交ADAD于點于點E E，F(xiàn) F，連接，連接BDBD，DP

4、DP，BDBD與與CFCF相交于點相交于點H.H.給出下列結論：給出下列結論：BEBE2AE2AE；DFPDFPBPHBPH；PFDPFDPDBPDB；DPDP2 2PHPHPC.PC.其中正確的是其中正確的是( )( )A A B B C C D D【分析分析】 由正方形的性質和相似三角形的性質與判定，逐由正方形的性質和相似三角形的性質與判定，逐一判定每個結論一判定每個結論【自主解答自主解答】 BPCBPC是等邊三角形，是等邊三角形，BPBPPCPCBCBC，PBCPBCPCBPCBBPCBPC6060. .在正方形在正方形ABCDABCD中，中，ABABBCBCCDCD，A AADCADC

5、BCDBCD9090，ABEABEDCFDCF3030，BEBE2AE2AE，故正確；，故正確；PCPCCDCD，PCDPCD3030，PDCPDC7575，F(xiàn)DPFDP1515. .DBADBA4545，PBDPBD1515，F(xiàn)DPFDPPBD.PBD.DFPDFPBPCBPC6060，DFPDFPBPHBPH，故正確；，故正確；FDPFDPPBDPBD1515，ADBADB4545，PDBPDB3030，而，而DFPDFP6060，PFDPDBPFDPDB，PFDPFD與與PDBPDB不相似，故錯誤；不相似，故錯誤；PDHPDHPCDPCD3030，DPHDPHDPCDPC，DPHDPHC

6、PDCPD， ，DPDP2 2PHPHPCPC，故正確故選，故正確故選C.C.DPPCPHDP3 3(2016(2016東營中考東營中考) )如圖，在矩形如圖，在矩形ABCDABCD中，中，E E是是ADAD邊的中邊的中點，點，BEACBEAC，垂足為點，垂足為點F F，連接，連接DFDF，分析下列四個結論：，分析下列四個結論：AEFAEFCABCAB；CFCF2AF2AF；DFDFDCDC；tanCADtanCAD . .其中正確的結論有其中正確的結論有( )( )A A4 4個個 B B3 3個個C C2 2個個 D D1 1個個2B B4 4(2014(2014東營中考東營中考) )如圖

7、，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為菱形，為菱形，ABABBDBD，點點B B，C C，D D，G G四個點在同一個圓四個點在同一個圓O O上，連接上，連接BGBG并延長交并延長交ADAD于點于點F F，連接，連接DGDG并延長交并延長交ABAB于點于點E E，BDBD與與CGCG交于點交于點H H，連，連接接FHFH，下列結論：，下列結論：AEAEDFDF；FHABFHAB；DGHDGHBGEBGE；當當CGCG為為O O的直徑時，的直徑時，DFDFAF.AF.其中正確結論的個數(shù)是其中正確結論的個數(shù)是( )( )A A1 B1 B2 C2 C3 D3 D4 4D D命題角度命題角度相似三角

8、形的綜合相似三角形的綜合例例3 3 (2017(2017東營中考東營中考) )如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形ABCABC中，中，BACBAC120120，ABABACAC2 2，點，點D D是是BCBC邊上的一個動點邊上的一個動點( (不與不與B B，C C重重合合) )，在，在ACAC上取一點上取一點E E，使，使ADEADE3030. .(1)(1)求證：求證：ABDABDDCEDCE；(2)(2)設設BDBDx x，AEAEy y，求，求y y關于關于x x的函的函數(shù)關系式并寫出自變量數(shù)關系式并寫出自變量x x的取值范圍；的取值范圍；(3)(3)當當ADEADE是等腰三角形時，求是

9、等腰三角形時，求AEAE的長的長【分析分析】 (1) (1)根據(jù)兩角相等證明三角形相似；根據(jù)兩角相等證明三角形相似；(2)(2)容易求得容易求得BCBC的長，根據(jù)的長，根據(jù)(1)(1)中的相似列比例式可得函數(shù)關系式，并確中的相似列比例式可得函數(shù)關系式，并確定取值范圍；定取值范圍；(3)(3)分三種情況進行討論分三種情況進行討論【自主解答自主解答】 (1)(1)在等腰在等腰ABCABC中，中，BACBAC120120，ABDABDACBACB3030，ABDABDADE.ADE.ADCADCADEADEEDCEDCABDABDDABDAB，EDCEDCDABDAB，ABDABDDCE.DCE.(

10、2)AB(2)ABACAC2 2，BACBAC120120，BCBC2 2 ，則，則DCDC2 2 x x，ECEC2 2y.y.ABDABDDCEDCE，化簡得化簡得y y33(3)(3)當當ADADDEDE時，時，由由(1)(1)可知，此時可知，此時ABDABDDCEDCE，則則ABABCDCD，即，即2 22 2 x x，x x2 2 2 2，代入，代入y y x x2 2 x x2 2，解得解得y y4 42 2 ，即，即AEAE4 42 .2 .3123333當當AEAEEDED時，時，EADEADEDAEDA3030，AEDAED120120，DECDEC6060，EDCEDC90

11、90，則則EDED ECEC，即，即y y (2(2y)y)，解得解得y y ，即，即AEAE . .12122323當當ADADAEAE時，時，AEDAEDEDAEDA3030，EADEAD120120，此時點此時點D D與點與點B B重合，與題目不符，此情況不存在重合，與題目不符，此情況不存在綜上，當綜上，當ADEADE是等腰三角形時，是等腰三角形時，AEAE4 42 2 或或 . .3235 5(2015(2015東營中考東營中考) )如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，ABCABC9090，ABABBC.BC.點點D D是線段是線段ABAB上的一點，連接上的一點，連接CD.CD

12、.過點過點B B作作BGCDBGCD，分別交分別交CDCD，CACA于點于點E E，F(xiàn) F，與過點，與過點A A且垂直于且垂直于ABAB的直線相交于的直線相交于點點G G，連接，連接DF.DF.給出以下四個結論：給出以下四個結論： ；若點；若點D D是是ABAB的中點，則的中點，則AFAF ABAB；當；當B B，C C，F(xiàn) F，D D四點在同一個圓四點在同一個圓上時，上時，DFDFDBDB；若；若 ，則，則S SABCABC9S9SBDFBDF，其中正確，其中正確的結論序號是的結論序號是( )( )AGABAFFC23DBAD12A A B B C C D D6 6(2018(2018東營中

13、考東營中考)(1)(1)某學校某學?！爸腔鄯綀@智慧方園”數(shù)學社團遇到這樣數(shù)學社團遇到這樣一個題目：一個題目：如圖如圖1 1，在，在ABCABC中，點中，點O O在線段在線段BCBC上，上，BAOBAO3030，OACOAC7575，AOAO3 3 ，BOCOBOCO1313，求，求ABAB的長的長經過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點經過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B B作作BDACBDAC，交，交AOAO的延長線于的延長線于點點D D，通過構造，通過構造ABDABD就可以解決問題就可以解決問題( (如圖如圖2)2)請回答：請回答：ADBADB ，ABAB 3(2)(2)請參考以上解題思路，解決問題：請參考以上

14、解題思路，解決問題：如圖如圖3 3，在四邊形，在四邊形ABCDABCD中，對角線中，對角線ACAC與與BDBD相交于點相交于點O O，ACACADAD，AOAO3 3 ，ABCABCACBACB7575，BOODBOOD1313，求，求DCDC的長的長3解：解：(1)75(1)754 4提示：提示：BDACBDAC，ADBADBOACOAC7575，BODBODCOACOA，DOAODOAOBOCOBOCO，DO3 DO3 1313，DODO ，ADAD4 .4 .ABDABD180180BACBAC180180303075757575，ADBADBABDABD，ABABADAD4 .4 .3

15、3333(2)(2)如圖，過點如圖，過點B B作作BEADBEAD，交，交ACAC于點于點E E，作，作BCFBCFCBFCBF，CFCF交交BEBE于點于點F.F.類比類比(1)(1)小題，由小題，由BOEBOEDOADOA，可得，可得OEOE ，AEAE4 .4 .ABCABCACBACB7575，BAEBAE3030，BEBEAEAEtanBAEtanBAE4 4 tan 30tan 304.4.BOEBOEDOADOA，BEADBEADBODOBODO，3334AD4AD1313，ADAD12.12.CBFCBFABCABCABEABE757560601515，BCFBCFCBFCBF

16、1515，CFECFEBCFBCFCBFCBF3030，CECE CFCF BF.BF.1212設設CECEx x，在，在RtRtCEFCEF中，由勾股定理得中，由勾股定理得x x2 2(4(42x)2x)2 2(2x)(2x)2 2，解得解得x x1 18 84 (4 (舍去舍去) )，x x2 28 84 4 ，ACACAEAECECE4 4 8 84 4 8 8，DCDC3333考點三考點三 相似三角形的應用相似三角形的應用 (5(5年年0 0考考) )例例4 4(2018(2018臨沂中考臨沂中考) )如圖，利用標桿如圖，利用標桿BEBE測量建筑物的高測量建筑物的高度已知標桿度已知標桿

17、BEBE高高1.2 m1.2 m，測得，測得ABAB1.6 m1.6 m，BCBC12.4 m12.4 m則建筑物則建筑物CDCD的高是的高是( )( )A A9.3 m B9.3 m B10.5 m10.5 mC C12.4 m D12.4 m D14 m14 m【分析分析】 先證明先證明ABEABEACDACD，再利用相似三角形的性質，再利用相似三角形的性質及比例性質求出及比例性質求出CDCD即可即可【自主解答自主解答】由題意知由題意知BECDBECD，ABEABEACDACD，解得解得CDCD10.5m.10.5m.故選故選B.B.7 7如圖，網(wǎng)高為如圖，網(wǎng)高為0.80.8米，擊球點到網(wǎng)

18、的水平距離為米，擊球點到網(wǎng)的水平距離為3 3米，小米，小明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點恰好在離網(wǎng)明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點恰好在離網(wǎng)4 4米的位置上，則球拍擊球的高度米的位置上，則球拍擊球的高度h h為為_米米 1.4 1.4 8 8(2018(2018泰安中考泰安中考) )九章算術九章算術是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，在的著作，在“勾股勾股”章中有這樣一個問題：章中有這樣一個問題：“今有邑方二今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？見木？”用今天的話說，大意是：如圖，用今天的話說，大意是：如圖，DEFGDEFG是一座邊長為是一座邊長為200200步步(“(“步步”是古代的長度單位是古代的長度單位) )的正方形小城，東門的正方形小城，東門H H位于位于GDGD的中點，南門的中點，南門K K位于位于EDED的中點，出東門的中點，出東門1515步步的的A A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于位于A A處的樹木處的樹木( (即點即點D D在直線在直線ACAC上上) )？請你？請你計算計算KCKC的長為的長為 步步20003