《正余弦定理的應(yīng)用》培輔講義解析版

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1、榕城中學(xué)高三數(shù)學(xué)輔導(dǎo)課講義一正、余弦定理的應(yīng)用(14) 【思維導(dǎo)圖】 公式 呻為心K的外瞄的銅) 正弦定理 ??in A = — 2R 2日(角化邊) 變形一 ②a = 2R?$in A , b = 2R?零in B , c = 2R?$in C(邊化角) 么式.③ a ：b ： c = sin A sin B : sin C a + b a+b+c 已知兩角和一邊 使用迎E已知兩邊一對(duì)應(yīng)角 a?=b?+c:—2bc*cosA b2=a: I c2—2ac?cosB 兩邊一角求邊 c2=a"+b*—2ab*cosC 正余弦定理 余弦定理

2、公式J b+c-a* cos A= 2bc It_a2+c2-b2 cos B= Zac 廠 a2+b2-c2 cos C= 2ab 三邊求角 已知三角求邊 使用氾國(guó) 已知兩邊一角求邊 三角形面積 ① SAABT=^ah.(h.^a 邊上的高) ② Sz勺bsinC=；bcsinA=；ginB 0)SMnt = ； r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓的半徑) zA+zB+zC=n 在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊 常見(jiàn)結(jié)論 任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊 sin(A I B)=sin(： cos(A 4 B)?一cosC tan(A

3、+B)=—canC sin(B + (：)=5inA co^A+C)-* —cosB t?n(B+C)=—tan A sin(A I (?)=sinB cos(C + B)" — cos A tan(A+C)= —tan B 考法一：正余弦定理選擇 1. 在△ABC中，c = —，A = 75。，3 = 45。，則八ABC的外接圓面積為— 2 【答案】v 4 【詳解】解：因?yàn)樵凇?ABC中，A = 75。，B = 45。，所以C = 60°, 又＜ =亟，設(shè)三角形外接圓半徑為/?，則2尸=一；=豐=1,因此△A8C的外接圓面 2 sin C J3 T 積為S

4、= 7rr2 =一仃. 4 2. 在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c.若b=l,c =后,江=氣,則。 【答案】1 【詳解】因?yàn)閎=l,c=0,0鄉(xiāng)，那么根據(jù)正弦定理可知= —，可知sinB二」，因 3 sin C sin B 2 為b〈c,那么角B二￡, A二￡然后利用余弦定理可知a2=c2+b2-2cbcosA=l,故a=l. 6 6 考法二：邊角互換 3. 已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a,b,c ,若 血8-血七姬土,則角￡的大小為 sinC a + b 【答案】蘭 6 【詳解】在AABC中，滿足蜒二迥=亞土 sinC a + b 由正弦定理

5、，可得站￡ = 匝三，化簡(jiǎn)得 疽+/-屏=一屈- 2ac 山余弦定理，可得- = —￡ = _平，因?yàn)閶D0,1),所以眼普 4. 在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為b、c，已知a2-c2=2br且 sin A cosC = 3 cos A sin C,則 Z?= . 【答案】4 【詳解】L sin AcosC = 3cos Asin C . 0 0 . 0 0 ?.?根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：。「.+歹_二=3x歹+C~-"-xc,即 2ab 2bc 2c2 = 2a2 -b2 V a2 -c2 = 2b :?/=4b ,/ b^=0 :. b = 4故答案為 4

6、 5. 在AA8C中，”,b,c分別是角A,8,C的對(duì)邊，若Osin A-J鋁cos g = 0 ,且 b2=ac,則半的值為— b 【答案】2 【詳解】在 AABC中，因?yàn)镺sin 4->/5<7CosB = 0，且b 血么^90°, DZBAC = 150°. 考點(diǎn)四：取值范圍 S在八ABC中，角A^,C所對(duì)的邊分別為。,b,c, ZABC = 120°, ZABC的平分 線交AC于點(diǎn)。，且位) = 1,則4o + c?的最小值為 . =ac 由正弦定理，可■得sinBsinA — J^sinAcosB = 0, 因?yàn)槿?e（

7、0,勿），貝 iJsinA>0,所以 sinB — J5cosB = 0,即 tan B = >/3 , 因?yàn)?日0,勿），解得B =三, 乂由余弦定理得 b~ = a2 -\-(r - 2occos B = a2 +C1 -ac = (a + c)2 - 3ac = (a + c)2 - 3b2, 即4屏=（“ + c）2,所以半=2. b 考法三：三角形面積 6. 在C中，角A, B, C的對(duì)邊分別是①b, c,已知羅2, c=2后且C= r則"此的面積為 【答案】右+i 【詳解】因?yàn)榱?2, c=2近，且C=?,由正弦定理得，—D .八 4 sin d sin C 2

8、_ 2V2 o 9 V2 所E磚'所5=蕓=海彳 TT 因?yàn)閎/2(—x —+ -x—)=后 + 1. 3 4 3 4 2 2 2 2 2 -2 2 7. 內(nèi)角的對(duì)邊分別為。,b,c,若△必C的面積為‘廠+歹成、-,則 4 C = 【答案】? 4 【

9、詳解】山余弦定理可得cosC=d~ ,所以aI 【答案】9 詳解：由題意可知，Samc = S/w〃 + Smc/),由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得 +b2-c2=2abcosC 2ab _4八八心^.*土仁 1 ，.八 cr +b~ -c~ 2abcosC △ABC 的面積為 S = — absin C = = 2 4 4 所以sinC = cosC,即tanC = l,由0

10、解】 試題分析：S=-\AB\\AC\sin ZBAC = -x2x3xsin ZBAC = -, —acsinl20° =—仁x 1 xsin 60° + —ex 1 xsin 60°,化簡(jiǎn)得 ac = a + c,- + - = 1 ,因此 2 2 2 a c 4a + c = (4a + c)(— + —) = 5 + — >5 + 2 J =9, a c a c V a c 當(dāng)且僅當(dāng)c = 2a = 3時(shí)取等號(hào)，則4o + c的最小值為9. ^0. A48C中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為。，b, c.已知 ? = /?cosC+csinB , K/? = >/2 ?

11、 則 AABC 面積的最大值是 . 【答案】蟲(chóng)1 2 【詳解】由a = bcosC-^-cs\nB及正弦定理得， sinA = sinBtosC+sinCsinB,即 sin (3 + C) = sinBcosC + sinCsinB, 又 sin (^ + C) = sin^cosC + cos^sinC,于是可得 sinB = cosB , HP tanB = 1, B = 45 ? 在 AABC中，由余弦定理得a2+c2-2accos4^=2,即 a2 + c2-y/lac = 2 又因?yàn)?+(? 22〃c，.?.2 = c/+c2-0cN(2-扼)oc, 由此可得mV

12、云& = 2 + 〃，當(dāng)且僅當(dāng)o = c時(shí)等號(hào)成立， ^ABC面積 S = — 6/csinB = °Z(2 += , 2 4 ' ' 2 故&招C面積S最大值為寸. 2 考法五：解析幾何中運(yùn)用 21.如圖&WC中，己知點(diǎn)。在邊上，AD±ACf sin ABAC =—, 3 AB = 3& AO = 3,則 8。的長(zhǎng)為 【答案】后 【詳解】解：-AD1AC, .-.ZD4C = 90°, sin ZBAC = sin(ZBAD + 90°) = cos ZBAD =半 又?.?AB = 3ji, AD = 3t BD2 = AB2 + AD2 -2AB.A￡>cosZBAO = 18 + 9-2x3V2x3x — 3 BD = @ 故答案為：也. 12.如圖，在中，點(diǎn)。在AC上, AB 1 BD, BC = 3>/3, BD = 5,sin ZABC =—,則 CD 的長(zhǎng)為_(kāi) 5 【答案】4 【詳解】在A4HC中，因?yàn)锳BLBD. 2伺 可得 sin /ABC = sin（ZDBC + 號(hào)）=cos /DBC = , 在 AD3C 中，由余弦定理，可得 CD2 = BD2 + BC2 - 2BD- BCcos ZDBC 解得CD = 4. 25 + 27-2x5x375x^ = 16 , 5