《橢圓、雙曲線、拋物線教學(xué)設(shè)計》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《橢圓、雙曲線、拋物線教學(xué)設(shè)計(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、橢圓、雙曲線及拋物線
一、教學(xué)目標(biāo):
1.知識目標(biāo):
(1)了解橢圓、雙曲線及拋物線的定義,理解它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)已知條件寫出它們的方程;
(2)由橢圓、雙曲線及拋物線的方程知道它們的焦點(diǎn)坐標(biāo),了解圖形的類型.
2.能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和邏輯思維能力.
3.思想品質(zhì)目標(biāo):對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育,并培養(yǎng)學(xué)生對新問題勇于探索的精神.
二、教學(xué)重點(diǎn):對橢圓、雙曲線及拋物線方程的討論.
三、教學(xué)難點(diǎn):對橢圓、雙曲線及拋物線方程的討論.搞清標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)的幾何意義,是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵.
四、教學(xué)方法:講授法、圖示法、歸納法與練習(xí)法相結(jié)合.
五、教學(xué)過程:
2、(一) 橢圓
1.問題的引入
2003年10月15日9時整,我國自行研制的“神舟”五號載人飛船載著航天員楊利偉在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空,飛船在變軌前繞地球運(yùn)行的軌道是橢圓,見圖5-23.
?
圖5-24
M
圖5-23
橢圓是一種常見的曲線,如汽車油罐橫截面的輪廓,天體中一些行星和衛(wèi)星運(yùn)行的軌道等.
請同學(xué)們準(zhǔn)備一條一定長的繩子、兩枚釘子和一支鉛筆按照下面的步驟畫一個橢
3、圓:
(1)將繩子的兩端固定在畫板上的和兩點(diǎn),并使繩長大于和的距離,如圖5-24所示;
(2)用鉛筆尖把繩子拉緊,并在畫板上慢慢移動,畫出一個橢圓.
從上面的畫圖中,我們可以看出,繩子的長度是保持不變的,橢圓是由到點(diǎn)和的距離的和等于繩長的所有點(diǎn)組成的.
我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)、的距離之和是常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距.
練習(xí)題5.4.1.1
請同學(xué)們按照上述方法用一條一定長的繩子,并改變兩定點(diǎn)間的距離在畫板畫幾個橢圓,并說出隨著兩定點(diǎn)的距離的變化,橢圓的形狀有什么變化,試著找出其中的規(guī)律.
圖5-25
x
y
4、
O
M
解答:畫圖略. 兩定點(diǎn)間的距離越大,橢圓越扁;兩定點(diǎn)間的距離越接近于0,橢圓越接近于圓.
2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
根據(jù)上面畫橢圓的步驟來研究橢圓的方程.
取過焦點(diǎn)、的直線為軸,線段的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖5-25所示.
設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),橢圓的焦距為(>0),橢圓上的點(diǎn)與兩個定點(diǎn)、的距離之和為(>0),則,的坐標(biāo)分別為,由條件
,
可以得到方程
x
圖5-26
y
O
, (5.11)
其中.
5、
可以證明,如果點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程(5.11),那么點(diǎn)一定在橢圓上.因此方程(5.11)叫做焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
若如圖5-26所示,取過焦點(diǎn)、的直線為軸,線段的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,用同樣的方法可以得到它的方程為
, (5.12)
其中,方程(5.12)叫做焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
想一想:已知一個橢圓的
6、標(biāo)準(zhǔn)方程,如何判定焦點(diǎn)在x軸還是在軸?
回答:一般地,比較x、y分母的大小即可判別.
例1 已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且焦距為8,橢圓上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之和等于10,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解 由已知有,即,,所以 ,
由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上,因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,即 .
想一想: 如果將例1的已知條件“橢圓的焦點(diǎn)在軸上”刪去,其余條件不變,你能寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?
圖5-27
x
y
o
A2
A12
B2
B1
回答:當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
例2 求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距.
解 這是焦點(diǎn)在x軸的橢圓的
7、標(biāo)準(zhǔn)方程.故
, ,
即 .
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,焦距.
如圖5-27所示,橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A1(?a,0)、A2(a,0)、B1(0,?b)、B2(0,b),線段A1 A2和B1B1分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長度分別為2a和2b.
練習(xí)題5.4.1.2
1. 求滿足下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1),焦點(diǎn)為
(2),焦點(diǎn)為
(3),焦點(diǎn)為
2.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距.
; ; .
參考答案:1.; ; ;
2 .(1)焦點(diǎn)坐標(biāo),焦距 = 2;(2)焦點(diǎn)坐標(biāo),焦距;
(3)焦點(diǎn)坐標(biāo),焦距 = 2
8、.
(二) 雙曲線
1.雙曲線的定義
圖5-28
x
y
O
大家知道,反比例函數(shù)的圖像是雙曲線(圖5-28);一個發(fā)電廠通風(fēng)塔的縱截面的外部輪廓也是雙曲線的一部分(圖5-29).
圖5-29
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
下面我們?nèi)∫粭l兩邊長度不等的拉鏈,如圖5-30所示,將拉鏈的兩邊分別固定在兩個定點(diǎn)(拉鏈兩邊的長度之差小于的距離)上,把鉛筆尖固定在拉鏈瑣口處,慢慢拉開拉鏈,使鉛筆尖慢慢移動,就可以畫出雙曲線的一部分.將拉鏈的兩邊交換位置分別固定在處,用同樣的方法可以畫出雙曲線的另一部分.
圖5-30
x
y
從上面的作
9、圖過程,我們可以看出,拉鏈兩邊的長度之差是保持不變的定值,雙曲線是由與點(diǎn)的距離的差等于定值的點(diǎn)組成的.
我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
根據(jù)上面所說的雙曲線的畫法來研究雙曲線的方程.
取過焦點(diǎn)、的直線為軸,線段的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖6-31所示.用與求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相類似的方法,可以求得焦點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為的雙曲線方程為
, (5.13)
這是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
圖5-32
圖5-31
x
y
10、
M
?
?
?
?
?
?
?
類似的,還可以得到焦點(diǎn)在軸的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(圖5-32)
(5.14)
其中為雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離之差的絕對值,.
方程(5.13)和(5.14)都叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
例3 已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,且焦距為26,雙曲線上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差的絕對值等于10,請寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解 由已知得,即,, 所以
由于雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,即 .
想一想:如果將上例中的已知條件“雙曲
11、線的焦點(diǎn)在軸上”刪去,其余條件不變,你能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?
回答:與橢圓情況類似,焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
例4 求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與焦距.
解 由已知,得,即
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,焦距.
練習(xí)題5.4.2
1.求滿足下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1),焦點(diǎn)為;
(2),焦點(diǎn)為;
(3),焦點(diǎn)為.
2.求下列雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與焦距:
; .
參考答案:1.;; ;
2.(1)焦點(diǎn)坐標(biāo) ,焦距;(2)焦點(diǎn)坐標(biāo) ,焦距.
(三) 拋物線
1.拋物線的定義
M
F
l
圖5-
12、33
我們知道,一元二次函數(shù)的圖像是拋物線;在現(xiàn)實(shí)生活中我們推鉛球,拋出的鉛球在空中運(yùn)行的軌道是拋物線的一段;很多拱橋的橋孔是拋物線等等.
平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(圖5-33),.定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),定直線為拋物線的準(zhǔn)線.
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
圖5-34
x
y
E
M
F
取過焦點(diǎn),且垂直于準(zhǔn)線的直線為軸,軸與相交于點(diǎn),以線段的垂直平分線為軸,如圖5-34.設(shè),那么焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,準(zhǔn)線的方程為.
設(shè)拋物線上的點(diǎn)到的距離為,那么
所以 .
兩邊平方并化簡得
13、
(5.15)
方程(5.15)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.物線的焦點(diǎn)在的正半軸上,它坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.
用同樣的方法我們還可以得到拋物線的另外三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面我們把拋物線的方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程和圖形列表(表5-1).
表5-1
方程
(>0)
(>0)
(>0)
(>0)
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
圖形
?
例5 物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解 已知得拋物線的焦點(diǎn)在的負(fù)半軸上,并且,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
例6 求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和
14、準(zhǔn)線方程.
解 已知得,,焦點(diǎn)坐標(biāo)的正半軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.
練習(xí)題5.4.3
1.求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)準(zhǔn)線方程是;
(2)焦點(diǎn)在的負(fù)半軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線間的距離是8.
2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程:
.
3.請你填加一個適當(dāng)?shù)臈l件,得到拋物線的方程為.
參考答案:1.; ;
2.(1)(1,0),; ;
; .
3.略.
?六、小結(jié):
1. 本節(jié)知識內(nèi)容
知識要點(diǎn)
橢圓
雙曲線
定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線
?
?
?
15、?
2.需要注意的問題
(1)無論已知橢圓方程還是確定橢圓方程,都要首先確定焦點(diǎn)位置,然后再研究下一步問題;已知一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時,比較含x、y項(xiàng)的分母的大小即可判別焦點(diǎn)所在軸;在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中, 恒成立.
(2) 無論已知雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程還是確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,都要首先確定焦點(diǎn)位置,然后再研究下一步問題;已知一個雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時,比較含x、y項(xiàng)的分母的大小即可判別焦點(diǎn)所在軸;在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,恒成立.
(3)無論已知拋物線方程還是確定拋物線方程,都要首先確定焦點(diǎn)位置及開口方向,然后再研究下一步問題;已知一個拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時,分析一次項(xiàng)的系數(shù)及平方項(xiàng)(或一次項(xiàng))的變量名稱,即可判別焦點(diǎn)所在軸及開口方向;在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,恒成立.
七.練習(xí)與作業(yè):
練習(xí):習(xí)題 5.4第1、2、3題.達(dá)標(biāo)訓(xùn)練5.4第1題.
作業(yè):習(xí)題 5.4第4、6、7題.達(dá)標(biāo)訓(xùn)練5.4第2、3題.