高考數(shù)學二輪復習 專題訓練 172 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想課件 理

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1、 第第2講講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想1分類討論思想分類討論的思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度 分類討論的常見類型： (1)由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等 (2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公

2、式、函數(shù)的單調(diào)性等 (3)由數(shù)學運算和字母參數(shù)變化引起分類；如偶次方根非負，對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制，方程(不等式)的運算與根的大小比較，含參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同等 (4)由圖形的不確定性引起的分類：有的圖形的形狀、位置關(guān)系需討論，如二次函數(shù)圖象的開口方向，點、線、面的位置關(guān)系，曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型等 分類討論思想，在近年高考試題中頻繁出現(xiàn)，涉及各種題型，已成為高考的熱點，考查的重點是含參數(shù)函數(shù)性質(zhì)、不等式(方程)問題，與等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的計算推理，點、線、面的位置以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問題等2轉(zhuǎn)化與化歸思想化歸與轉(zhuǎn)化是指在處理問題時，把待解決或難解決的問題通過

3、某種方式轉(zhuǎn)化為一類已解決或比較容易解決的問題的一種思想方法，它是研究和解決數(shù)學問題的核心思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性在應用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換在實際解題過程中，實施化歸與轉(zhuǎn)化時，我們要遵循以下五項基本原則：(1)化繁為簡的原則；(2)化生為熟的原則；(3)等價性原則；(4)正難則反原則；(5)形象具體化原則 歷年高考中，化歸與轉(zhuǎn)化思想無處不在，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于提高解決數(shù)學問題的應變能力，提高思維能力和技能、技巧. 探究提高 (1)分段函數(shù)在自變量不同取值范圍內(nèi)，對應

4、關(guān)系不同，必需進行討論由數(shù)學定義引發(fā)的分類討論一般由概念內(nèi)涵所決定，解決這類問題要求熟練掌握并理解概念的內(nèi)涵與外延(2)在數(shù)學運算中，有時需對不同的情況作出解釋，就需要進行討論，如解二次不等式涉及到兩根的大小等 探究提高 (1)本題中直角頂點的位置不定，影響邊長關(guān)系，需按直角頂點不同的位置進行討論(2)涉及幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進行分類討論微題型3由定理、性質(zhì)、公式等引起的分類討論【例13】 已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Sn. 探究提高

5、 (1)利用等比數(shù)列的前n項和公式時，需要分公比q1和q1兩種情況進行討論，這是由等比數(shù)列的前n項和公式?jīng)Q定的一般地，在應用帶有限制條件的公式時要小心，根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論 (2)由性質(zhì)、定理、公式等引起的討論，主要是應用的范圍受限時，存在多種可能性微題型4由字母參數(shù)引起的分類討論【例14】 已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍 探究提高一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論，此種題目為含參型，應全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有

6、幾何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標準明確，不重不漏【訓練1】 (2014洛陽統(tǒng)一考試)已知圓心為F1的圓的方程為(x2)2y232，F(xiàn)2(2,0)，C是圓F1上的動點，F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M.(1)求動點M的軌跡方程；(2)設(shè)N(0,2)，過點P(1，2)作直線l，交M的軌跡于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值 答案3 規(guī)律方法用特殊化法實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化是在解決問題過程中將某些一般問題進行特殊化處理的方法常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等對于選擇題，當題設(shè)在普通條件下都成立時，用特殊

7、值進行探求，可快捷地得到答案；對于填空題，當填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案微題型2換元轉(zhuǎn)化問題【例22】 已知函數(shù)f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg 2)()A5B.1 C3D.4答案C 規(guī)律方法復雜的數(shù)學問題常用換元法實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化，運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，或者把較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題微題型3常量與變量的轉(zhuǎn)化【例23】 對于滿足0p4的所有實數(shù)p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范圍是_答案(，1)(3，) 探

8、究提高在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看做是“主元”，而把其它變元看做是常量，從而達到減少變元簡化運算的目的解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立 規(guī)律方法否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問題中 證明(1)連接A1B，設(shè)A1B與AB1交于E，連接DE. 點D是BC中點，點E是A1B中點，

9、DEA1C， 又A1C 平面AB1D， DE平面AB1D， A1C平面AB1D. (2)ABC是正三角形，點D是BC的中點， ADBC. 平面ABC平面B1BCC1， 平面ABC平面B1BCC1BC，AD平面ABC， AD平面B1BCC1， BC1平面B1BCC1，ADBC1.1分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”用分類討論的思維策略解數(shù)學問題的操作過程：明確討論的對象和動機確定分類的標準逐類進行討論歸納綜合結(jié)論檢驗分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集)做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分類不重復、不遺漏”的分析討論 常見的分類討論問題有： (1)集合：注意集合中空集

10、的討論 (2)函數(shù)：對數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應分a1和0a1的討論；函數(shù)yax2bxc有時候分a0和a0的討論；對稱軸位置的討論；判別式的討論 (3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論 (4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論 (5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論 (6)立體幾何：點線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論；平面解析幾何：直線點斜式中k存在和不存在，直線截距式中b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論 (7)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等2常見的轉(zhuǎn)化方法有(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直

11、接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題(2)換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑 (4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的 (5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題 (6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題 (7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑 (8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定 (9)參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進行解決 (10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.