《中考數(shù)學(xué)第三單元 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)第三單元 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（64頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、欄目索引第第1414講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易考點(diǎn)一考點(diǎn)一 二次函數(shù)中的線段問題二次函數(shù)中的線段問題(5(5年年2 2考考) )與動點(diǎn)結(jié)合,用含有變量的關(guān)系式表示線段的長,也可以結(jié)合自變量的取值范圍,確定線段的最值.夯基礎(chǔ)學(xué)易欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易1.(2018貴港)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3).(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn),PHx軸于點(diǎn)H,與BC交于點(diǎn)M,連接PC.求線段PM的長的最大值;當(dāng)PCM是以PM為一腰的等腰三角形時
2、,求點(diǎn)P的坐標(biāo).欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易解析解析(1)將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得解得這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x-3.(2)設(shè)BC的解析式為y=kx+b(k0),將B,C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得解得BC的解析式為y=x-3,設(shè)M(n,n-3)(0n3),P(n,n2-2n-3),0,930,3,abcabcc 1,2,3,abc 30,3,kbb 1,3,kb 欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易PM=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-+,當(dāng)n=時,PM最大=.當(dāng)PM=PC時,(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2,解得n1=0(不符合題意,舍去),n2=2,n3=3-,
3、n2-2n-3=-3,P(2,-3);當(dāng)PM=MC時,(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,解得n1=0(不符合題意,舍去),n2=3-,n2-2n-3=2-4,P(3-2,2-4).綜上所述:P(2,-3)或(3-,2-4).232n9432942222222欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易學(xué)法提點(diǎn)學(xué)法提點(diǎn)本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用,解(1)問的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;解(2)問的關(guān)鍵是利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù),又利用了二次函數(shù)的性質(zhì);解(2)問的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于n的方程,要分類討論,以防遺漏.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易考點(diǎn)二考點(diǎn)
4、二 二次函數(shù)中的分類討論問題二次函數(shù)中的分類討論問題(5(5年年5 5考考) )與動點(diǎn)結(jié)合,考查綜合解決問題的能力,同時滲透分類討論的思想.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易2.(2018湖南衡陽,25,10分)如圖,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.(1)若拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對稱軸交AB于點(diǎn)N.求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);是否存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由;欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時,是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似
5、?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易解析解析(1)如圖1,圖1欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易y=-2x2+2x+4=-2+,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為,將x=代入y=-2x+4,得y=-2+4=3,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為.不存在.理由如下:MN=-3=,假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4),PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,PDMN,當(dāng)PD=MN時,四邊形MNPD為平行四邊形,即-2m2+4m=,212x921 9,2 212121,32923232欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易解得m1=(舍去),m2=,此時P點(diǎn)的坐標(biāo)
6、為,PN=,PNMN,平行四邊形MNPD不是菱形,不存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形.(2)存在.如圖2,OB=4,OA=2,則AB=2,12323,122213(3 1)22522245圖2當(dāng)x=1時,y=-2x+4=2,則P(1,2),PB=,221(24)5欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4(a0),把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,拋物線的解析式為y=ax2-2(a+1)x+4,當(dāng)x=1時,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,則D(1,2-a),PD=2-a-2=-a,DCOB,DPB=OBA,當(dāng)=時,PDBBOA,
7、即=,解得a=-2,此時拋物線解析式為y=-2x2+2x+4;PDBOPBBA4a52 5欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易當(dāng)=時,PDBBAO,即=,解得a=-,此時拋物線解析式為y=-x2+3x+4.綜上所述,滿足條件的拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+4.PDBAPBBO2 5a54525252欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易學(xué)法提點(diǎn)學(xué)法提點(diǎn)此題看似是相似三角形的分類,其本質(zhì)是直角三角形的分類,即BPD為直角三角的分類討論,結(jié)合圖形可知BPD不可能為直角,因此PBD,BDP為直角為此題的突破口.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易考點(diǎn)三考點(diǎn)三 二次函數(shù)中的面積問題二次函數(shù)中的面積問題(5(5年年2 2考考) )
8、二次函數(shù)與動點(diǎn)結(jié)合,用含變量的關(guān)系式表示圖形的面積,進(jìn)而確定圖形面積的最值.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易3.(2018遂寧)如圖,已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,且與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)),與y軸交于C點(diǎn).(1)求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);32(2)若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)(不與B、C重合),則是否存在一點(diǎn)P,使PBC的面積最大?若存在,請求出PBC的最大面積;若不存在,試說明理由.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易解析解析(1)拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3,-=3,解得a=-,拋物線的解析式為y=-x2+x+4.當(dāng)y=0時,-x2+x+4=0,
9、解得x1=-2,x2=8,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0).(2)當(dāng)x=0時,y=-x2+x+4=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k0).32322a14143214321432欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易將B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b,得解得直線BC的解析式為y=-x+4.假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,過點(diǎn)P作PDy軸,交直線BC于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為,如圖所示.80,4,kbb1,24,kb 12213,442xxx1,42xx欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易PD=-x2+x+4-=-x2+2x,SPBC=PDOB=8=-x2+8x=-(x-4)2+16.1
10、432142x1412122124xx-10,當(dāng)x=4時,PBC的面積最大,最大面積是16.0 x8,存在點(diǎn)P,使PBC的面積最大,最大面積是16.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易學(xué)法提點(diǎn)學(xué)法提點(diǎn)本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積,解題的關(guān)鍵:(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的值;(2)根據(jù)三角形的面積公式找出SPBC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.欄目索引研真題優(yōu)易類型一類型一 二次函數(shù)中的線段問題二次函數(shù)中的線段問題研真題優(yōu)易例例1(2018山西,23,13分)綜合與探究如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,
11、連接AC,BC.點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)P作PMx軸,垂足為點(diǎn)M,PM交BC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作PEAC交x軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.1313欄目索引研真題優(yōu)易(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)試探究在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在,請寫出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;直接(3)請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長,并求出m為何值時QF有最大值.欄目索引研真題優(yōu)易命題亮點(diǎn)命題亮點(diǎn)本題考查學(xué)生的推理能力,運(yùn)算能力,幾何直觀能力等,試題開放且綜合性強(qiáng).解題思路解題思路用含變量的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo),線段的長度,
12、結(jié)合變量的取值范圍,確定線段的最值.欄目索引研真題優(yōu)易開放解答開放解答答案答案(1)由y=0,得x2-x-4=0,解得x1=-3,x2=4.點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0),(4,0).1313由x=0,得y=-4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4).(2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或(1,-3).詳解:當(dāng)CA=CQ時,如圖1,5 2 5 2,422圖1欄目索引研真題優(yōu)易AC=5,BC=4,BQ=4-5.OB=OC,OCB=OBC=45.MQ=MB=4-,OM=OB-MB=,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.當(dāng)AC=AQ時,如圖2,AQC=ACQ,22OAOC22OBOC224 2525 225 225 2 5 2,422欄目索引研真題
13、優(yōu)易圖2ACO+OCB=QAB+QBA.OB=OC,OCB=OBC,ACO=QAM.欄目索引研真題優(yōu)易又AOC=QMA,AOC QMA,OC=AM=4,OA=QM=3,OM=1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,-3).綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或(1,-3).(3)解法一:如圖3,過點(diǎn)F作FGPQ于點(diǎn)G,5 2 5 2,422 圖3則FGx軸.由B(4,0),C(0,-4),得OBC為等腰直角三角形.欄目索引研真題優(yōu)易OBC=QFG=45.GQ=FG=FQ.PEAC,1=2.FGx軸,2=3.1=3.FGP=AOC=90,FGPAOC.=,即=.GP=FG=FQ=FQ.22FGAOGPOC3FG4GP43432
14、22 23欄目索引研真題優(yōu)易QP=GQ+GP=FQ+FQ=FQ.FQ=QP.PMx軸,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,MBQ=45,QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4.QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m.QF=QP=-m2+m.-0,QF有最大值.222 237 263 271313131313433 273 2721433mm274 2727欄目索引研真題優(yōu)易當(dāng)m=-=2時,QF有最大值.解法二:如圖4,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P的坐標(biāo)為,BM=4-m.4 27227 211,433mmm欄目索引研真題優(yōu)易圖4BMQ是等腰直角三角形,BQ=BM=4-m.222欄目索引研真題優(yōu)易PE
15、AC,2=1.又PME=AOC=90,EMPAOC,=,=,即EM=-m2+m+3.EMOAMPOC3EM2114334mm1414欄目索引研真題優(yōu)易BE=EM+MB=-m2-m+7.PEAC,BEFBAC,=,=,即BF=-m2-m+4.QF=BF-BQ=-m2+m=-(m-2)2+.1434BEABBFBC2137447mm4 2BF273 272274 27274 27欄目索引研真題優(yōu)易-0).392 333欄目索引試真題練易(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;(2)直接寫出P,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示,結(jié)果需化簡);在點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中,當(dāng)PQ=PD時,求t的值;(3)試探究在點(diǎn)P
16、,Q運(yùn)動的過程中,是否存在某一時刻,使得點(diǎn)F為PD的中點(diǎn).若存在,請直接寫出此時t的值與點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.欄目索引試真題練易解析解析(1)令y=0,得-x2+x+3=0.解得x1=-3,x2=9,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,0).令x=0,得y=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k0),由B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得解得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3.392 3333390,3 3,kbb3,33 3,kb 333欄目索引試真題練易(2)P,D.過點(diǎn)P作PGx軸于點(diǎn)G,PHQD于點(diǎn)H.33,22tt24 38 392 ,93ttt欄目索引試真題練易QDx軸,四邊
17、形PGQH是矩形,HQ=PG.PQ=PD,PHQD,DQ=2HQ=2PG.P,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-3,t,9-2t,-t2+t,-t2+t=2t,解得t1=0(舍去),t2=,當(dāng)PQ=PD時,t的值為.(3)存在.t=3,F.2t324 398 334 398 33321541543 11 3,44欄目索引試真題練易命題點(diǎn)二 二次函數(shù)中的分類討論與圖形面積問題2.(2014山西,24,13分)綜合與探究如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形OABC是平行四邊形,A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(-2,3),拋物線W經(jīng)過O,A,C三點(diǎn),D是拋物線W的頂點(diǎn).(1)求拋物線W的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)
18、;(2)將拋物線W和 OABC一起先向右平移4個單位后,再向下平移m(0m3)個單位,得到拋物線W和 OABC.在向下平移的過程中,設(shè) OABC與OABC的重疊部分的面積為S,試探究:當(dāng)m為何值時S有最大值,并求出S的最大值;欄目索引試真題練易(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取最大值時,設(shè)此時拋物線W的頂點(diǎn)為F,若點(diǎn)M是x軸上的動點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線W上的動點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以D,F,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.欄目索引試真題練易解析解析(1)拋物線W過原點(diǎn)O(0,0),設(shè)拋物線W的解析式為y=ax2+bx(a0).拋物線
19、W經(jīng)過A(4,0),C(-2,3)兩點(diǎn),解得拋物線W的解析式為y=x2-x.y=x2-x=(x-2)2-1,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1).(2)由 OABC得,CBOA,CB=OA=4.又C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3).1640,423,abab1,41.ab 141414欄目索引試真題練易如圖,過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E,由平移可知,點(diǎn)C在BE上,且BC=m.BE=3,OE=2,EA=OA-OE=2.設(shè)CB與BA交于點(diǎn)G,CO與x軸交于點(diǎn)H,欄目索引試真題練易CBx軸,BCGBEA.=,即=,CG=BC=m.由平移知, OABC與 OABC的重疊部分的四邊形CHAG是平行四邊形.S=CGCE=m(3-m)=-m2+2m=-+.-0,且0m3,當(dāng)m=時,S有最大值為.(3)存在.點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為M1(0,0),M2(4,0),M3(6,0),M4(14,0).BCBEC GEA3BC2C G2323232323232m32233232
中考數(shù)學(xué)第三單元 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
