數(shù)學第八章 立體幾何 第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關系 文

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1、第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系總綱目錄教材研讀1.四個公理考點突破2.空間中兩直線的位置關系3.有關角的重要定理考點二空間兩直線的位置關系考點二空間兩直線的位置關系考點一平面的基本性質及應用4.空間直線與平面、平面與平面的位置關系考點三異面直線所成的角考點三異面直線所成的角1.四個公理四個公理公理公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上所有的點都在此平面內.公理公理2:過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.公理2的三個推論:推論推論1:經過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面.推論推論2:兩條相交直線確定一個平面.教材研讀教材研讀推論推論3:兩條平行直線確定

2、一個平面.公理公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.2.空間中兩直線的位置關系空間中兩直線的位置關系(1)位置關系的分類位置關系的分類:.(2)異面直線所成的角異面直線所成的角(i)定義:設a,b是兩條異面直線,經過空間任一點O作直線aa,bb,把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(ii)范圍:.:平行直線共面直線相交直線異面直線 不同在任何一個平面內0,23.有關角的重要定理有關角的重要定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角 相等或互補.4.空間直線與平面、平面與

3、平面的位置關系空間直線與平面、平面與平面的位置關系(1)直線與平面的位置關系有相交、平行、直線在平面內三種情況.(2)平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況. 1.下列命題:經過三點確定一個平面;梯形可以確定一個平面;兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;若兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.其中正確命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案答案C對于,未強調三點不共線,故錯誤;易知正確;對于,未強調三點不共線,若三點共線,則兩平面也可能相交,故錯誤.故選C.C2.以下四個命題中,正確命題的個數(shù)是()不共面的四點中,其中任意三點不共線;若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則

4、A,B,C,D,E共面;若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;依次首尾相接的四條線段必共面.A.0B.1C.2D.3B答案答案B顯然是正確的,可用反證法證明;中若A、B、C三點共線,則A、B、C、D、E五點不一定共面;構造長方體或正方體,如圖,顯然b、c異面,故不正確;中空間四邊形中四條線段不共面.故只有正確.3.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b()A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線答案答案C假設cb,由公理4可知,ab,與a、b是異面直線矛盾,故選C.C4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是

5、AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成的角的大小為.答案答案60解析解析連接B1D1,D1C,因B1D1EF,故D1B1C(或其補角)為所求角,又B1D1=B1C=D1C,D1B1C=60.60典例典例1已知:空間四邊形ABCD(如圖所示),E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且CG=BC,CH=DC.求證:(1)E、F、G、H四點共面;(2)三直線FH、EG、AC共點.1313考點一平面的基本性質及應用考點一平面的基本性質及應用考點突破考點突破EFBD.又CG=BC,CH=DC,GHBD,EFGH,E、F、G、H四點共面.(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,

6、設FHAC=M,M平面EFHG,M平面ABC.1313證明證明(1)連接EF、GH,E、F分別是AB、AD的中點,又平面EFHG平面ABC=EG,MEG,FH、EG、AC共點.方法指導方法指導(1)證明點共線問題:公理法:先找出兩個平面,然后證明這些點都是這兩個平面的公共點,再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上;同一法:選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上.(2)證明線共點問題:先證兩條直線交于一點,再證明第三條直線經過該點.(3)證明點、直線共面問題:納入平面法:先確定一個平面,再證明有關點、線在此平面內;輔助平面法:先證明有關的點、線確定平面,再證明其余元素確定平面,最后證明平

7、面,重合.1-1如圖所示的是正方體和四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則各圖形中,P,Q,R,S四點共面的是(填序號).答案答案解析解析對于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為梯形;對于,如圖所示,取A1A和BC的中點分別為M,N,順次連接P、M、Q、N、R、S,可證明六邊形PMQNRS為正六邊形;對于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為平行四邊形;對于,連接PS,PR,SR,可證Q點所在棱與面PRS平行,因此,P,Q,R,S四點不共面.1-2如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD且BC=AD;BEFA且BE=FA,G、H分別為FA、FD的中點.(1)

8、證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C、D、F、E四點是否共面?為什么?1212解析解析(1)證明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GHAD且GH=AD.又BCAD且BC=AD,GHBC,四邊形BCHG為平行四邊形.(2)C、D、F、E四點共面.理由如下:解法一:由BEFA且BE=FA,G為FA的中點知BEFG,四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG,由(1)可知BGCH,EFCH,EF與CH共面.又DFH,C、D、F、E四點共面.121212解法二:如圖所示,延長FE、DC分別與AB的延長線交于點M、M,BEFA且BE=FA,B為MA的中點.BCAD且BC=AD,1212B為AM的中

9、點.M與M重合.即EF與CD相交于點M(M),C、D、F、E四點共面.典例典例2(1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列說法錯誤的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行(2)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在原正四面體中,考點二空間兩直線的位置關系考點二空間兩直線的位置關系命題角度一兩直線位置關系的判定命題角度一兩直線位置關系的判定GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60角;DE與MN垂直.以上四個命題中,正確命題的序號是.解析解析(1)如

10、圖,連接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正確;CC1平面ABCD,CC1BD,MN與CC1垂直,故A正確;ACBD,MNBD,MN與AC垂直,故B正確;答案答案(1)D(2)A1B1與BD異面,MNBD,MN與A1B1不可能平行,故D錯誤.(2)把正四面體的平面展開圖還原,如圖所示,GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線.連接GM,易知GHM為正三角形,則GH與MN成60角.易知MNAF,且AFDE,則DEMN.命題角度二異面直線的判定命題角度二異面直線的判定典例典例3(1)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則各圖形中直線GH與MN是異面直線的是.(填序號)(2)

11、如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為.答案答案(1)(2)3解析解析(1)中,直線GHMN;中,當G,H,N三點共面時,M 平面GHN,因此直線GH與MN異面;中,連接MG,易知GMHN,因此GH與MN共面;中,當G,M,N三點共面時,H 平面GMN,因此直線GH與MN異面.(2)將展開圖還原為正方體,如圖所示,顯然,AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行,故互為異面直線的有且只有3對.方法指導方法指導空間中兩直線的位置關系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定,對于異面直線

12、,可采用直接法或反證法;對于平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質、平行公理及線面平行與面面平行的性質定理;對于垂直關系,往往利用線面垂直的性質來解決.2-1給定下列關于異面直線的命題:命題(1):若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線,直線c是與的交線,那么c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線.那么()A.命題(1)正確,命題(2)不正確B.命題(2)正確,命題(1)不正確C.兩個命題都正確D.兩個命題都不正確D答案答案D當c與a,b都相交,但交點不是同一個點時,平面上的直線a與平面上的b為異面直線,因此判斷(1)是假命題,如

13、圖所示;對于(2),可以取無窮多個平行平面,在每個平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不平行,則這些直線中任意兩條都是異面直線,從而(2)是假命題.故選D.典例典例4如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)求異面直線BC與AD所成角的余弦值.23考點三異面直線所成的角考點三異面直線所成的角解析解析(1)因為PA底面ABC,所以PA是三棱錐P-ABC的高.又SABC=22=2,所以三棱錐P-ABC的體積為V=SABCPA=22=.(2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則EDBC,所以ADE(

14、或其補角)是異面直線BC與AD所成的角.易知PB=2,PC=4,BC=4,1233131334 332則在ADE中,DE=2,AE=,AD=2,所以cosADE=.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.222222( 2)2 2 2 3434方法指導方法指導用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作:即據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;(2)二證:即證明作出的角(或其補角)是異面直線所成的角;(3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.3-1空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30,E、F分別為BC、AD的中點,求EF與AB所成角的大小.解析解析取AC的中點G,連接EG、FG,則EGAB,且EG=AB,FGCD且FG=CD,GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角,EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角.AB與CD所成的角為30,EGF=30或150.由AB=CD知EG=FG,1212由EG=FG知EFG為等腰三角形,當EGF=30時,GEF=75;當EGF=150時,GEF=15.故EF與AB所成的角為15或75.