高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 2 實際問題的函數(shù)建模 北師大版必修1

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1、2 實數(shù)問題的函數(shù)建模第四章函數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解什么是函數(shù)模型，知道函數(shù)的一些基本模型.2.學(xué)會對收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)進行擬合，并建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.3.學(xué)會運用常見的函數(shù)模型來解一些簡單的實際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考知識點一實際問題的函數(shù)刻畫世界上很多事物間的聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫，在試圖用函數(shù)刻畫兩個變量的聯(lián)系時，需要關(guān)注哪些要點？答案答案答案先確定兩個變量是誰；再看兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義；如果滿足，就要考慮建立函數(shù)關(guān)系式.設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將

2、實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型.梳理梳理思考知識點二用函數(shù)模型解決實際問題函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一，一旦確定是函數(shù)模型，怎樣研究它？答案答案答案先確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)解決實際問題的需要針對性研究函數(shù)性質(zhì)，如定義域、最值、單調(diào)性等，使實際問題得到解決.用函數(shù)模型解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實際問題，初步選擇模型.(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實際問題中.梳理梳理可將這些步驟用

3、框圖表示如下：思考知識點三數(shù)據(jù)擬合自由落體速度公式vgt是一種函數(shù)模型.類比這個公式的發(fā)現(xiàn)過程，簡述什么是數(shù)據(jù)擬合？答案答案答案函數(shù)模型來源于現(xiàn)實(伽利略斜塔拋球)，通過收集數(shù)據(jù)(打點計時器測量)，畫散點圖分析數(shù)據(jù)(增長速度、單位時間內(nèi)的增長量等)，尋找或選擇函數(shù)(假說)來作為函數(shù)模型，再檢驗這個函數(shù)模型是否符合實際，這就是數(shù)據(jù)擬合.數(shù)據(jù)擬合(1)定義：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖像，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個

4、函數(shù)基本反映了事物規(guī)律.這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合.梳理梳理(2)數(shù)據(jù)擬合的步驟：以所給數(shù)據(jù)作為點的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點；依據(jù)點的整體特征，猜測這些點所滿足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；取特殊數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)的具體解析式；做必要的檢驗.題型探究例例1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后，以120 km/h的速度勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求火車離開北京2 h內(nèi)行駛的路程.類型一利用已知函數(shù)模型求解實際問題解答因為火車勻速行駛t h所行駛的路程為120t，所以，火車運行總路程S與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是在

5、實際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是已知函數(shù)模型，如一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，這時可借助待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)解題需要研究函數(shù)性質(zhì).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.則水位下降1米后，水面寬_米.答案解析解析解析以拱頂為原點，過原點與水面平行的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則水面和拱橋交點A(2，2)，設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為yax2(a0)，當(dāng)水面下降1米時，水面和拱橋的交點記作B(b，3)，命題角度命題角度1非分段函數(shù)模型非分段函數(shù)模型類型二自建確定性函數(shù)模型解決實際問題解答

6、例例2某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y 48x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解解設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元，R(x)在0,210上是增函數(shù)，x210時，年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元.自建模型時主要抓住四個關(guān)鍵：“求什么，設(shè)什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務(wù).設(shè)什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設(shè)核心因素為自變量.列什么就是把問題已

7、知條件用所設(shè)變量表示出來，可以是方程、函數(shù)、不等式等.限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等.反思與感悟解答解解設(shè)對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資(3x)萬元，總利潤為y萬元.由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，共獲得利潤1.05萬元.命題角度命題角度2分段函數(shù)模型分段函數(shù)模型例例3某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行

8、車就增加3輛.旅游點規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入.(日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；解答解解當(dāng)x6時，y50 x115，令50 x1150，解得x2.3.又因為xN，所以3x6，且xN.當(dāng)6x20，且xN時，y503(x6)x1153x268x115，綜上可知所以當(dāng)x11時，ymax270元.綜上所述，當(dāng)每輛自行車日租金定為11元時才能使日凈收入最多，為270元.(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？解答解

9、解當(dāng)3x6，且xN時，因為y50 x115是增函數(shù)，所以當(dāng)x6時，ymax185元.當(dāng)6x20，且xN時，自變量x按取值不同，依不同的對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)因變量y是分段函數(shù)的典例特征，建立分段函數(shù)模型應(yīng)注意：(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40 min的一節(jié)課中，注意力指數(shù)y與聽課時間x(單位：min)之間的關(guān)系滿足如圖的圖像.當(dāng)x(0,12時，圖像是二次函數(shù)圖像的一部分

10、，其中頂點A(10,80)，過點B(12,78)；當(dāng)x12,40時，圖像是線段BC，其中C(40,50).根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時，學(xué)習(xí)效果最佳.(1)試求yf(x)的函數(shù)關(guān)系式；解答解解當(dāng)x(0,12時，設(shè)f(x)a(x10)280(a0).因為該部分圖像過點B(12,78)，當(dāng)x12,40時，設(shè)f(x)kxb(k0).因為線段BC過點B(12,78)，C(40,50)，所以f(x)x90.(2)教師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳？請說明理由.解答解得4x12或12x28，即4x28.故老師應(yīng)在x(4,28)時段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳.當(dāng)堂訓(xùn)練1

11、.從2013年起，在20年內(nèi)某海濱城市力爭使全市工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總產(chǎn)值翻兩番，如果每年的增長率是8%，則達到翻兩番目標(biāo)的最少年數(shù)為A.17 B.18 C.19 D.20答案234512.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖像如圖所示，那么圖像所對應(yīng)的函數(shù)模型是答案23451A.分段函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)函數(shù) D.對數(shù)函數(shù)3.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是答案23451100 x100 x234514.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表：答案x123y138則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是A.y2x1 B.yx21C.y2x1 D.y1.5x22.5x25.某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費用y(千元)與時間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是A.yaxb B.yax2bxcC.yaexb D.yaln xb答案23451規(guī)律與方法解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.本課結(jié)束