數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 2 實(shí)際問題的函數(shù)建模 北師大版必修1

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1、2 實(shí)數(shù)問題的函數(shù)建模第四章函數(shù)應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解什么是函數(shù)模型，知道函數(shù)的一些基本模型.2.學(xué)會對收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.3.學(xué)會運(yùn)用常見的函數(shù)模型來解一些簡單的實(shí)際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考知識點(diǎn)一實(shí)際問題的函數(shù)刻畫世界上很多事物間的聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫，在試圖用函數(shù)刻畫兩個變量的聯(lián)系時，需要關(guān)注哪些要點(diǎn)？答案答案答案先確定兩個變量是誰；再看兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義；如果滿足，就要考慮建立函數(shù)關(guān)系式.設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將

2、實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型.梳理梳理思考知識點(diǎn)二用函數(shù)模型解決實(shí)際問題函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一，一旦確定是函數(shù)模型，怎樣研究它？答案答案答案先確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)解決實(shí)際問題的需要針對性研究函數(shù)性質(zhì)，如定義域、最值、單調(diào)性等，使實(shí)際問題得到解決.用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選擇模型.(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中.梳理梳理可將這些步驟用

3、框圖表示如下：思考知識點(diǎn)三數(shù)據(jù)擬合自由落體速度公式vgt是一種函數(shù)模型.類比這個公式的發(fā)現(xiàn)過程，簡述什么是數(shù)據(jù)擬合？答案答案答案函數(shù)模型來源于現(xiàn)實(shí)(伽利略斜塔拋球)，通過收集數(shù)據(jù)(打點(diǎn)計(jì)時器測量)，畫散點(diǎn)圖分析數(shù)據(jù)(增長速度、單位時間內(nèi)的增長量等)，尋找或選擇函數(shù)(假說)來作為函數(shù)模型，再檢驗(yàn)這個函數(shù)模型是否符合實(shí)際，這就是數(shù)據(jù)擬合.數(shù)據(jù)擬合(1)定義：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖像，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個

4、函數(shù)基本反映了事物規(guī)律.這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合.梳理梳理(2)數(shù)據(jù)擬合的步驟：以所給數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點(diǎn)；依據(jù)點(diǎn)的整體特征，猜測這些點(diǎn)所滿足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；取特殊數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)的具體解析式；做必要的檢驗(yàn).題型探究例例1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后，以120 km/h的速度勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求火車離開北京2 h內(nèi)行駛的路程.類型一利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題解答因?yàn)榛疖噭蛩傩旭倀 h所行駛的路程為120t，所以，火車運(yùn)行總路程S與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是在

5、實(shí)際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是已知函數(shù)模型，如一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，這時可借助待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)解題需要研究函數(shù)性質(zhì).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.則水位下降1米后，水面寬_米.答案解析解析解析以拱頂為原點(diǎn)，過原點(diǎn)與水面平行的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則水面和拱橋交點(diǎn)A(2，2)，設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為yax2(a0)，當(dāng)水面下降1米時，水面和拱橋的交點(diǎn)記作B(b，3)，命題角度命題角度1非分段函數(shù)模型非分段函數(shù)模型類型二自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題解答

6、例例2某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y 48x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解解設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元，R(x)在0,210上是增函數(shù)，x210時，年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元.自建模型時主要抓住四個關(guān)鍵：“求什么，設(shè)什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務(wù).設(shè)什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設(shè)核心因素為自變量.列什么就是把問題已

7、知條件用所設(shè)變量表示出來，可以是方程、函數(shù)、不等式等.限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿足的限制條件，在實(shí)際問題中，除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實(shí)際含義，如人不能是半個等.反思與感悟解答解解設(shè)對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資(3x)萬元，總利潤為y萬元.由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，共獲得利潤1.05萬元.命題角度命題角度2分段函數(shù)模型分段函數(shù)模型例例3某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行

8、車就增加3輛.旅游點(diǎn)規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入.(日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；解答解解當(dāng)x6時，y50 x115，令50 x1150，解得x2.3.又因?yàn)閤N，所以3x6，且xN.當(dāng)6x20，且xN時，y503(x6)x1153x268x115，綜上可知所以當(dāng)x11時，ymax270元.綜上所述，當(dāng)每輛自行車日租金定為11元時才能使日凈收入最多，為270元.(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？解答解

9、解當(dāng)3x6，且xN時，因?yàn)閥50 x115是增函數(shù)，所以當(dāng)x6時，ymax185元.當(dāng)6x20，且xN時，自變量x按取值不同，依不同的對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)因變量y是分段函數(shù)的典例特征，建立分段函數(shù)模型應(yīng)注意：(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40 min的一節(jié)課中，注意力指數(shù)y與聽課時間x(單位：min)之間的關(guān)系滿足如圖的圖像.當(dāng)x(0,12時，圖像是二次函數(shù)圖像的一部分

10、，其中頂點(diǎn)A(10,80)，過點(diǎn)B(12,78)；當(dāng)x12,40時，圖像是線段BC，其中C(40,50).根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時，學(xué)習(xí)效果最佳.(1)試求yf(x)的函數(shù)關(guān)系式；解答解解當(dāng)x(0,12時，設(shè)f(x)a(x10)280(a0).因?yàn)樵摬糠謭D像過點(diǎn)B(12,78)，當(dāng)x12,40時，設(shè)f(x)kxb(k0).因?yàn)榫€段BC過點(diǎn)B(12,78)，C(40,50)，所以f(x)x90.(2)教師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳？請說明理由.解答解得4x12或12x28，即4x28.故老師應(yīng)在x(4,28)時段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳.當(dāng)堂訓(xùn)練1

11、.從2013年起，在20年內(nèi)某海濱城市力爭使全市工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總產(chǎn)值翻兩番，如果每年的增長率是8%，則達(dá)到翻兩番目標(biāo)的最少年數(shù)為A.17 B.18 C.19 D.20答案234512.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖像如圖所示，那么圖像所對應(yīng)的函數(shù)模型是答案23451A.分段函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)函數(shù) D.對數(shù)函數(shù)3.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是答案23451100 x100 x234514.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表：答案x123y138則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是A.y2x1 B.yx21C.y2x1 D.y1.5x22.5x25.某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費(fèi)用y(千元)與時間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是A.yaxb B.yax2bxcC.yaexb D.yaln xb答案23451規(guī)律與方法解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.本課結(jié)束