高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專(zhuān)題專(zhuān)練 專(zhuān)題五 數(shù)列不等式推理與證明測(cè)試題 理

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1、專(zhuān)題五 數(shù)列、不等式、推理與證明測(cè)試題 (時(shí)間:120分鐘   滿分:150分) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知無(wú)窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,則有(  ) A.D.≥ 解析 a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=a+10a1d+21d2,a=(a1+5d)2=a+10a1d+25d2,故≤. 答案 B 2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5

2、列,an=Sn-Sn-1=2n-10,由5<2k-10<8,k∈N*,得到k=8. 答案 B 3.對(duì)于非零實(shí)數(shù)a、b,“b(b-a)≤0”是“≥1”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 ∵a≠0,b≠0,故有b(b-a)≤0?≤0?1-≤0?≥1.故選C. 答案 C 4.已知函數(shù)f(x)=,若f(2-a2)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析 由題知f(x)在R上是增函數(shù),可得2-a2>a,解得

3、-2

4、-1,∴S2 008=-2 008. 答案 C 7.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,則(  ) A.a(chǎn)b≤B.a(chǎn)b≥ C.a(chǎn)2+b2≤3 D.a(chǎn)2+b2≥2 解析 ∵a≥0,b≥0,且a+b=2,∴4=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥2. 答案 D 8.已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 解析 ∵等比數(shù)列{an}中,a2=1,∴S3=a1+a2+a3= a2=1+q+.當(dāng)公比q>0時(shí),S3

5、=1+q+≥1+2 =3,當(dāng)公比q<0時(shí),S3=1-≤1-2 =-1, ∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案 D 9.(2011·廣東廣州模擬)p=+,q=· (m、n、a、b、c、d均為正數(shù)),則p、q的大小關(guān)系為(  ) A.p≥qB.p≤q C.p>qD.不確定 解析 q= ≥=+=p,故選B. 答案 B 10.設(shè)Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,則函數(shù)f(n)=的最大值為(  ) A.B. C.D. 解析 由Sn=得f(n)===≤=,當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=8時(shí)取等號(hào),即f(n)max=f(8)=. 答案 D 11.(2012·廣東)已知變量x,y滿足

6、約束條件,則z=3x+y的最大值為(  ) A.12 B.11 C.3 D.-1 解析 先畫(huà)出可行域如圖所示,再將z=3x+y變形為截距式方程y=-3x+z,把l0:y=-3x平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)時(shí),截距z有最大值,∴zmax=3×3+2=11. 答案 B 12.(2012·浙江)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是(  ) A.若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng) B.若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),則d<0 C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意n∈N*,均有Sn>0 D.若對(duì)任意n∈N*,均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

7、 解析 由于Sn=na1+d=n2+n,根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當(dāng)d<0時(shí),數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),即選項(xiàng)A正確;同理選項(xiàng)B也是正確的;而若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,那么d>0,但對(duì)任意的n∈N*,Sn>0不成立,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤;反之,選項(xiàng)D是正確的. 答案 C 二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,將答案填在題中的橫線上. 13.在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中,若Sn是{an}的前n項(xiàng)和,則數(shù)列S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差數(shù)列,且公差為100d.類(lèi)比上述結(jié)論,在公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}中,若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之積,則有__

8、__________________________. 答案 ,,也成等比數(shù)列,且公比為q100 14.(2012·福建)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos+1,前n項(xiàng)和為Sn,則S2 012=________. 解析 ∵an=ncos+1,∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an=1,當(dāng)n為偶數(shù)2,6,10,14,…時(shí),an=-n+1;當(dāng)n為偶數(shù)4,8,12,16,…時(shí),an=n+1,∴數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為:1+(-1)+1+5=6;第5至第8項(xiàng)和為:1+(-5)+1+9=6;…由此可知an+an+1+an+2+an+3=1+(-n-1+1)+1+n+3+1=6(n+3是4的倍數(shù)),即數(shù)列{an}的相

9、鄰四項(xiàng)之和均為6,故S2 012=S4×503=503×6=3 018. 答案 3 018 15.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則有等式a1-2a2+a3=0,a1-3a2+3a3-a4=0,a1-4a2+6a3-4a4+a5=0, (1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,通過(guò)類(lèi)比,則有等式__________. (2)通過(guò)歸納,試寫(xiě)出等差數(shù)列{an}的前n+1項(xiàng)a1,a2,…,an,an+1之間的關(guān)系為_(kāi)___________________. 解析 因等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的區(qū)別是前者是加法運(yùn)算,后者是乘法運(yùn)算,所以類(lèi)比規(guī)律是由第一級(jí)運(yùn)算轉(zhuǎn)化到高一級(jí)運(yùn)算,從而解出第(1)問(wèn);通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),

10、已知等式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同,解出第(2)問(wèn). 答案 (1)a1aa3=1,a1aaa=1,a1aaaa5=1 (2)Ca1-Ca2+Ca3-……+(-1)nCan+1=0 16.(2012·新課標(biāo))數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)_______. 解析 當(dāng)n=2k-1,k∈N*時(shí),a2k-a2k-1=2(2k-1)-1;當(dāng)n=2k,k∈N*時(shí),a2k+1+a2k=2(2k)-1;于是a2k+1+a2k-1=2;a2k+a2k-2=8k-8;前一個(gè)式子中k=1,3,5,…,29,后一個(gè)式子中k=2,4,6,…,30,得a3+a1=2,a5

11、+a3=2,…,a29+a27=2;a4+a2=8×2-8,a8+a6=8×4-8,…,a60+a58=8×30-8,∴S60=15×2+8(2+4+…+30)-8×15=1 830. 答案 1 830 三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)滿足ax·f(x)=b+f(x)(a·b≠0),f(1)=2且f(x+2)=-f(2-x)對(duì)定義域中任意x都成立. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 解 (1)由ax·f(x

12、)=b+f(x)(a·b≠0),得f(x)(ax-1)=b,若ax-1=0,則b=0,不合題意,故ax-1≠0, ∴f(x)=. 由f(1)=2=,得2a-2=b,① 由f(x+2)=-f(2-x)對(duì)定義域中任意x都成立,得=-,由此解得a=,② 把②代入①,可得b=-1, ∴f(x)==(x≠2). (2)證明:∵f(an)=,Sn=2, ∴Sn=(an+1)2,a1=(a1+1)2,∴a1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(an-1+1)2, ∴an=Sn-Sn-1=(a-a+2an-2an-1), ∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵an>0, ∴an

13、-an-1-2=0,即an-an-1=2, ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 18.(本小題滿分12分) (2012·廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列. (1)求a1的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<. 解 (1)當(dāng)n=1時(shí),2a1=a2-4+1=a2-3,① 當(dāng)n=2時(shí),2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7,② 又a1,a2+5,a3成等差數(shù)列,有a1+a3=2(a2+5),③ 由①②③解得a1=1. (2)∵2Sn=an+1-2n+1+1,

14、當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=an-2n+1, 兩式相減是an+1-3an=2n, 則-·=1,即+2=,又+2=3, 知是以首項(xiàng)為3,公比為的等比數(shù)列, ∴+2=3n-1, 即an=3n-2n,n=1時(shí)也合適此式,{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-2n. (3)由(2)得=== <, ∴<1+++…+=1+<. 19.(本小題滿分12分) (2012·安徽)數(shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*). (1)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0; (2)求c的取值范圍,使{xn}是遞增數(shù)列. 解 (1)先證充分性,若c<0,由于xn+1=-x

15、+xn+c≤xn+c0即xn<1-. 由②式和xn≥0還可得,對(duì)任意n≥1都有 -xn+1≤(1-)(-xn).③ 反復(fù)運(yùn)用③式,得 -xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1. xn<1-和-xn<(1-

16、)n-1兩式相加,知2-1<(1-)n-1對(duì)任意n≥1成立. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=(1-)x的性質(zhì),得2-1≤0,c≤, 故00. 即證xn<對(duì)任意n≥1成立. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0

17、>xn,即{xn}是遞增數(shù)列. 由(i)(ii)知,使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是. 20.(本小題滿分12分) 某商店投入81萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)某種北京奧運(yùn)會(huì)特許紀(jì)念品,經(jīng)銷(xiāo)時(shí)間共60天,為了獲得更多的利潤(rùn),商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中.市場(chǎng)調(diào)研表明,該商店在經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品期間第n天的利潤(rùn)an=(單位:萬(wàn)元,n∈N*).記第n天的利潤(rùn)率bn=,例如b3=. (1)求b1,b2的值; (2)求第n天的利潤(rùn)率bn; (3)該商店在經(jīng)銷(xiāo)此紀(jì)念品期間,哪一天的利潤(rùn)率最大?并求該天的利潤(rùn)率. 解 (1)當(dāng)n=1時(shí),b1=;當(dāng)n=2時(shí),b2=. (2)當(dāng)1≤n≤20時(shí),a1=a2=a

18、3=…=an-1=an=1. ∴bn===. 當(dāng)21≤n≤60時(shí), bn= == =, ∴第n天的利潤(rùn)率 bn= (3)當(dāng)1≤n≤20時(shí),bn=是遞減數(shù)列,此時(shí)bn的最大值為b1=; 當(dāng)21≤n≤60時(shí),bn==≤=(當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=40時(shí),“=”成立). 又∵>,∴當(dāng)n=40時(shí),(bn)max=. ∴該商店經(jīng)銷(xiāo)此紀(jì)念品期間,第40天的利潤(rùn)率最大,且該天的利潤(rùn)率為. 21.(本小題滿分12分) (2012·山東)在等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)對(duì)任意m∈N*,將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,9

19、2m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm. 解 (1)因?yàn)閧an}是一個(gè)等差數(shù)列, 所以a3+a4+a5=3a4=84,a4=28. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d, 則5d=a9-a4=73-28=45, 故d=9. 由a4=a1+3d得28=a1+3×9,即a1=1. 所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)對(duì)m∈N*,若9m

20、+…+9m-1) =- =. 22.(本小題滿分14分) (2012·江蘇)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足:an+1=,n∈N*. (1)設(shè)bn+1=1+,n∈N*,求證:數(shù)列{2}是等差數(shù)列; (2)設(shè)bn+1=·,n∈N*,且{an}是等比數(shù)列,求a1和b1的值. 解 (1)由題設(shè)知an+1== =, 所以=,從而2-2=1(n∈N*), 所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列. (2)因?yàn)閍n>0,bn>0,所以≤a+b<(an+bn)2,從而10知q>0.下證q=1. 若q>1,則a1=logq時(shí),an+1=a1qn>,與(*)矛盾; 若0a2>1,故當(dāng)n>logq時(shí),an+1=a1qn<1,與(*)矛盾. 綜上,q=1,故an=a1(n∈N*),所以11,于是b1

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