數(shù)學(xué)四 數(shù)列、推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問(wèn)題 理

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1、第2講數(shù)列的求和問(wèn)題專題四數(shù)列、推理與證明熱點(diǎn)分類突破真題押題精練熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化求和有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開(kāi)或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.例例1(2017山東省平陰縣第一中學(xué)模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是公比大于0的等比數(shù)列，且b12a12，a3b21，S32b37.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；解答解解設(shè)數(shù)列an的公差為d，bn的公比為q，且q0，由題易知， a11，b12，an2n1，bn2n.解答思維升華解解由(1)知，an2n1，bn2n，Tn(c1c3c5cn1)

2、(c2c4cn)n(c2c4cn)，令Hnc2c4c6cn，以上兩式相減，得當(dāng)n(n3)為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，n1也適合上式.思維升華思維升華在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式.證明得nan12(n1)ann(n1)，由a10及遞推關(guān)系，可知an0，(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解答ann2nn，Sn2222323(n1)2n1n2n12

3、3(n1)n，設(shè)Tn2222323(n1)2n1n2n，則2Tn22223324(n1)2nn2n1，由，得Tn222232nn2n1Tn(n1)2n12，熱點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；解答解解因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，又因?yàn)閍35，所以a11，所以an2n1.所以bn2bn1，即數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以bn(2)n1.(2)設(shè)cnan|bn|，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)的和Tn.解解因?yàn)閏nan|bn|(2n1)2n1，所以

4、Tn1132522(2n1)2n1，2Tn12322523(2n1)2n，兩式相減，得Tn112222222n1(2n1)2n12(2222n1)(2n1)2n12n14(2n1)2n3(32n)2n，所以Tn3(2n3)2n.解答思維升華思維升華思維升華(1)錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列.(2)所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減.要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù).(3)為保證結(jié)果正確，可對(duì)得到的和取n1,2進(jìn)行驗(yàn)證.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；解答解解當(dāng)n1時(shí)，a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1(nN*)

5、，檢驗(yàn)a11，滿足an2n1(nN*).且bn0，2bn1bn，(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解答熱點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開(kāi)后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.例例3(2017屆山東省青島市二模)在公差不為0的等差數(shù)列an中， a3a6，且a3為a1與a11的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解解設(shè)數(shù)列an的公差為d，即(a12d)2a1(a110d)，d0，由解得a12，d3.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1. (a1d)2a12da15d，解答思維升華思維升華思維升華裂項(xiàng)相消法的基本

6、思想就是把通項(xiàng)an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而在求和時(shí)達(dá)到某些項(xiàng)相消的目的，在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件.解答思維升華思維升華思維升華常用的裂項(xiàng)公式(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解答解答真題押題精練真題體驗(yàn)1.(2017全國(guó))等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_.答案解析12解析解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則122.(2017天津)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；12解答解解設(shè)等差數(shù)

7、列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因?yàn)閝0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.12(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN*).12解答解解設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn24

8、34234334n(3n1)4n1(3n2)4n18，12押題預(yù)測(cè)答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)以及求和是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是考試大綱中明確提出的知識(shí)點(diǎn)，年年在考，年年有變，變的是試題的外殼，即在題設(shè)的條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問(wèn)題的常用方法有規(guī)律可循.121.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an ，其前n項(xiàng)和為Sn，若存在MZ，滿足對(duì)任意的nN*，都有Sn0)，且4a3是a1與2a2的等差中項(xiàng).(1)求an的通項(xiàng)公式；解答押題依據(jù)押題依據(jù)錯(cuò)位相減法求和是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，本題先利用an，Sn的關(guān)系求an，也是高考出題的常見(jiàn)形式.12押題依據(jù)解解當(dāng)n1時(shí)，S1a(S1a11)，所以a1a，當(dāng)n2時(shí)，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，12故an是首項(xiàng)a1a，公比為a的等比數(shù)列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1與2a2的等差中項(xiàng)，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因?yàn)閍0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，12解答1212所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1， 由，得Tn322(22232n)(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.