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1、普通高中課程標準實驗教科書普通高中課程標準實驗教科書選修21空間向量與立體幾何教學指導意見解讀 浙江省黃巖中學金克勤 空間向量章首語空間向量在理論研究和解決實際問題方面有廣泛應用，它成為解決立體幾何中的大量問題的有力工具。在本章我們把平面向量推廣到空間向量,學習空間向量的概念、運算、坐標表示，并利用空間向量的運算解決有關(guān)立體幾何問題?？臻g向量與平面向量沒有本質(zhì)區(qū)別,它們的運算:加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積也完全相同。一、內(nèi)容與要求一、內(nèi)容與要求本章共分兩節(jié)：31 空間向量及其運算32 立體幾何中的向量方法 二、地位與作用 1.本章是必修數(shù)學4“平面向量”在空間的推廣，又是必修數(shù)學2“立體幾何初步”
2、的延續(xù)。 2.空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角(“立體幾何初步”側(cè)重于定性研究，本章則側(cè)重于定量研究)。 3.進一步體會向量方法在研究幾何問題中的作用。三、主要內(nèi)容三、主要內(nèi)容 3.13.1空間向量及其運算空間向量及其運算 空間向量及其加減法運算 空間向量數(shù)乘運算（直線的方向向量,共面向量定理） 空間向量的數(shù)量積運算 空間向量的正交分解及其坐標表示（空間向量基本定理） 空間向量運算的坐標表示三、主要內(nèi)容 3.2 3.2 立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 平面的法向量 空間線面關(guān)系的判定 空間角的計算 立體幾何中的向量方法（三部曲） 1. 向量表示 2. 向量運算 3. 回歸幾何
3、知識結(jié)構(gòu)空間向量及其運算知識結(jié)構(gòu)3.1節(jié)的重點與難點“空間向量及其運算”是本章的基礎(chǔ)，這一節(jié)的重點是空間向量的基本概念和基本運算、空間向量的基本定理。難點是空間向量的基本定理。立體幾何中的向量方法知識結(jié)構(gòu) 3.2節(jié)的重點與難點 “立體幾何中的向量方法”從一個側(cè)面（立體幾何）反映了空間向量的應用，同時也是對空間向量的再認識。重點是理解并掌握向量方法解決立體幾何問題的一般方法（“三步曲”）。 難點是建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。 閱讀與思考本章在3.1 節(jié)“空間向量及其運算”之后安排了一個“閱讀與思考“向量概念的推廣與應用”，介紹了三維以上的高維向量，并通過例子說
4、明高維向量的應用。它可供學有余力的學生學習。 課時分配（12課時）3.1.1 空間向量及其加減運算1課時3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算1課時3.1.3 空間向量的數(shù)量積運算1課時3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示1課時3.1.5 空間向量運算的坐標表示1課時復習小結(jié)1課時32 立體幾何中的向量方法5課時復習小結(jié)1課時四、教材解讀 課程目標課程目標 空間向量為處理立體幾何問題提供了新工具和新方法。通過學習本章，可以使學生在對平面向量已有認識的基礎(chǔ)上，進一步學習空間向量，并運用空間向量研究立體幾何中的問題，進一步體會向量方法在解決幾何問題中的作用。 學習目標學習目標 1 . 經(jīng)歷向量及其運算
5、由二維平面情形向三維空間情形推廣的過程。 2. 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。 3. 掌握空間向量的線性運算及其表示。 4. 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線（平行）與垂直。 5.理解直線的方向向量與平面的法向量。 6.能用向量語言描述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系。 7.能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些定理。 8.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角等的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。與原大綱教材的比較大綱教材新教材重點立體幾何知識空間向量和向
6、量方法空間向量知識對空間向量只是作為解決部分問題的工具 強調(diào)對向量方法的一般性認識 立體幾何知識有系統(tǒng)性要求不作系統(tǒng)性要求與原大綱教材的比較原大綱目標表述新課標目標表述1.理解空間向量的概念掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.2.了解空間向量基本定理；理解空間向量的坐標的概念，掌握空間向量運算.3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式.1.經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程 .2.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示 .3.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示 .4.掌握空間向量的數(shù)
7、量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直. 與原大綱教材的比較原大綱目標表述新課標目標表述1.理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影.1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系 .與原大綱教材的比較原大綱目標表述新課標目標表述2.掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念（對于異面直線的距離，只要求會利用給出公垂線計算距離）；掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理；掌握兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理） .4
8、.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用 .五、教學要求 1 1. . 注重聯(lián)系注重聯(lián)系 本章從數(shù)量表示和幾何意義兩方面，把對向量及其運算的認識從二維情形提升到三維情形。這是“由此及彼，由淺入深” 的認識發(fā)展過程。2體現(xiàn)思想 本章以立體幾何問題為載體，體現(xiàn)向量的工具作用和向量方法的基本步驟和原理，再次滲透符號化、模型化、運算化和程序化的數(shù)學思想。主要要思想方法是： （1）類比、猜想、歸納、推廣（讓學生經(jīng)歷由平面向空間推廣的過程）； （2）能靈活選擇向量法、坐標法與綜合法解決立體幾何問題。3.溫故知新 空間向量的基本概念及其性質(zhì)是后續(xù)學習的前提，由于
9、空間向量是平面向量的推廣，空間向量及其運算所涉及的內(nèi)容與平面向量及其運算類似，所以，空間向量的教學上要注重知識間的聯(lián)系，溫故而知新，運用類比的方法認識新問題，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。4.強調(diào)通法 向量法有別于傳統(tǒng)的純幾何方法，而是將幾何元素用向量表示，進行向量運算，再回歸到幾何問題。這種“三步曲”式的解決問題過程，在數(shù)學中具有一般性。 三步曲：空間向量表示幾何元素利用向量運算研究幾何元素間的關(guān)系把運算結(jié)果翻譯成相應的幾何意義。 向量運算時注意其幾何意義，聯(lián)系幾何問題（如三垂線定理及其逆定理等）加深對有關(guān)運算的認識。5.螺旋上升 必修2中，已經(jīng)討論過空間中直線、平面的平行、垂直等
10、位置關(guān)系，當時沒有對相關(guān)判定定理進行證明，只證明了相關(guān)性質(zhì)定理。 本章以三垂線定理、線面垂直的判定定理等為例，用向量方法對其進行證明，然后指出運用向量方法可以證明關(guān)于線面位置關(guān)系的其他判定定理，并引導學生進行嘗試。這樣可以加強所學前后知識的聯(lián)系，對空間位置關(guān)系提高認識水平。六、內(nèi)容解析 空間向量及其運算1.關(guān)于共面向量的定義平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vector）： 理解：能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。 對共面向量的理解要突出“自由向量”的特征，向量與平面平行的概念有別于直線與平面的平行，要幫助學生理解。 2.關(guān)于共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向
11、量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x, y)，使p = xa + yb 空間向量共面向量定理與平面向量基本定理不僅在形式上是相同的，而且在本質(zhì)上也是一致的這是因為任意兩個空間向量a，b都可以平移到同一個平面，當a，b不共線時，可以作為基向量，向量p與它們共面，也就是向量p也可以平移到這個平面，所以就能用a，b線性表示 3.關(guān)于空間向量基本定理:如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x, y, z，使p = xa + yb + zc 發(fā)展路線：共線向量定理(一維)平面向量基本定理(二維)空間向量基本定理(三維)。 通過向量分解惟一性定理的推廣，引導
12、學生積極主動地探索 目的：為空間向量的坐標表示做準備 注意：“惟一性”的證明要用反證法(了解)4.關(guān)于空間向量的數(shù)量積 (1)由于任意兩個空間向量都可以轉(zhuǎn)化為平面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和符號、兩個空間向量的數(shù)量積等等，都與平面向量相同。 (2)要正確使用兩個向量夾角的符號a，b。 (3)空間向量數(shù)量積的幾何意義只要求學生了解。 (4)空間向量數(shù)量積運算律的證明不作要求。 ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度 | a | 與 b 在 a 的 方 向 上 的 投 影|b|cos的乘積。或者等于b的長度|b|與a在b的方向上的投影|a| cos 的乘積。空
13、間向量數(shù)量積的幾何意義 空間向量數(shù)量積運算律（分配律）的說明空間向量數(shù)量積運算律（分配律）的說明 a (b+c)=ab+ac，對于平面向量cba 2 1ADEOBC因為 |b+c|cos=|b|cos1+|c|cos2|a|b+c|cos=|a|b|cos1+|a|c|cos2所以：a (b+c)=ab+aca (b+c)=ab+ac，對于空間向量對于空間向量 1 2 abcEDACBOD因為 |b+c|cos=|b|cos1+|c|cos2|a|b+c|cos=|a|b|cos1+|a|c|cos2所以a (b+c)=ab+ac 代數(shù)證明（運算的坐標表示）： 設a=x1i+y1j+z1k，
14、b=x2i+y2j+z2k， c=x3i+y3j+z3k 則b+c=(x2+x3)i+(y2+y3)j+(z2+z3)k， a (b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3) =x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 又因為：ab=x1x2+y1y2+z1z2， ac=x1x3+y1y3+z1z3 ab+ac=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 所以： a (b+c)=ab+ac立體幾何中的向量方法直線的方向向量與平面的法向量 如何用向量來刻畫直線、平面的“方向”？ 直線的方向向量不惟一，這些方向向量是共線向量；兩條平行直線的
15、方向向量是共線向量可以用直線的方向向量研究空間線線、線面的平行與垂直關(guān)系 平面的法向量不惟一，這些法向量是共線向量；兩個平行平面的法向量是共線向量可以用平面的法向量研究空間線面、面面的平行與垂直關(guān)系 平面的法向量的計算： （1）待定系數(shù)法 例如：在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB與BC的中點，求平面B1EF的法向量。FEC1CDABD1A1B1zyxF(a2,a,0)E(a,a2,0)C1CDABD1A1B1baab 空間線面關(guān)系的判定用向量語言（符號語言）描述空間線面關(guān)系：平行垂直l1與l2e1e2e1e2l1與1e1n1e1n11與2n1n2n1n2其中e1，e
16、2分別為直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別為平面1，2的法向量。空間線面關(guān)系的判定： 三垂線定理，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理?？臻g角的計算1線線角設e e1，e e2分別為直線l1，l2的方向向量，直線l1，l2 所成的角為，則 2121coseeee e2e1l2l122.線面角設e為直線l的方向向量，n為平面的法向量，l與平面所成的角為，則)2cos(nene lne3二面角設n n1，n n2分別為平面1，2的法向量，平面1，2 所成的二面角為，則cos2121eeee 2 1n2n1七、教學建議七、教學建議 1.重點是空間向量和
17、向量方法 空間向量和向量方法是重點內(nèi)容，而對于立體幾何知識并不作系統(tǒng)安排，只是通過幾個立體幾何具體問題的例子，體現(xiàn)空間向量在解決立體幾何問題時的應用，要使學生加強對幾何中向量方法的一般性認識。 本章的教學應突出重點，不是立體幾何問題本身為重點，而是把具體的立體幾何問題作為學習向量方法的載體，以向量方法作為主要教學目標。 lcba lcba 2.注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián) 向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義。本章教學中，除了要關(guān)注前面多次提及的知識縱向聯(lián)系之外，還要特別關(guān)注知識的橫向聯(lián)系，從不同角度研究同一問題，認識與運用向量及其運算中數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。教學中應結(jié)合幾何圖形予以探討，特別要重視平行六面體的模型作用，引導學生借助圖形理解它們，注意避免不聯(lián)系幾何意義的死記硬背。3.深化理解向量運算的作用空間向量的線性運算（加、減、數(shù)乘）和數(shù)量積。正是有了向量運算，向量才顯示其重要性。要引導學生結(jié)合幾何問題，關(guān)注向量運算在分析解決問題中的作用。4.根據(jù)特點選擇方法 重視綜合方法、向量方法、坐標方法各自特點的分析與歸納，綜合方法以邏輯推理作為工具解決問題；向量方法利用向量的概念及其運算解決問題；坐標方法利用數(shù)及其運算來解決問題，坐標方法常與向量運算結(jié)合起來使用，根據(jù)它們的具體條件和特點選擇合適的方法。謝 謝！敬請批評指正！敬請批評指正！
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