高中數(shù)學(xué)講義微專題94極坐標(biāo)與參數(shù)方程

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1、 微專題94 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 極坐標(biāo)與參數(shù)方程在高考中常以填空或選擇的形式出現(xiàn)，在知識上結(jié)合解析幾何，考查學(xué)生曲線方程的轉(zhuǎn)化能力，以及解析幾何的初步技能。題目難度不大，但需要學(xué)生能夠快速熟練的解決問題 一、基礎(chǔ)知識： （一）極坐標(biāo)： 1、極坐標(biāo)系的建立：以平面上一點(diǎn)為中心（作為極點(diǎn)），由此點(diǎn)引出一條射線，稱為極軸，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系 2、點(diǎn)坐標(biāo)的刻畫：用一組有序?qū)崝?shù)對確定平面上點(diǎn)的位置，其中代表該點(diǎn)到極點(diǎn)的距離，而表示極軸繞極點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至過該點(diǎn)時轉(zhuǎn)過的角度，通常： 3、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系坐標(biāo)的互化：如果將極坐標(biāo)系的原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸重合，則

2、同一個點(diǎn)可具備極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)，那么兩種坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化公式為：，由點(diǎn)組成的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程也可按照此法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如：極坐標(biāo)方程（在轉(zhuǎn)化成時要設(shè)法構(gòu)造 ，然后進(jìn)行整體代換即可） （二）參數(shù)方程： 1、如果曲線中的變量均可以寫成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，那么就稱為該曲線的參數(shù)方程，其中稱為參數(shù) 2、參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：消參法 （1）代入消參： （2）整體消參：，由可得： （3）平方消參：利用消去參數(shù) 例如： 3、常見圖形的參數(shù)方程： （1）圓：的參數(shù)方程為：，其中為參數(shù)，其幾何含義為該圓的圓心角 （2）橢圓：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，其幾何含義為橢圓的離心角 （3

3、）雙曲線：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，其幾何含義為雙曲線的離心角 （4）拋物線：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù) （5）直線：過，傾斜角為的直線參數(shù)方程為，其中代表該點(diǎn)與的距離 注：對于極坐標(biāo)與參數(shù)方程等問題，通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程，然后利用傳統(tǒng)的解析幾何知識求解 二、典型例題： 例1：已知直線參數(shù)方程為，圓的參數(shù)方程為，則圓心到直線的距離為____________ 思路：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程： 所以圓心為，到直線的距離為： 答案： 例2：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線

4、的參數(shù)方程為，則曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為___________ 思路：，故曲線上距離最遠(yuǎn)的距離為到圓心的距離加上半徑，故 答案： 例3：已知在平面直角坐標(biāo)系中圓的參數(shù)方程為：，以為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為，則圓截直線所得弦長為__________ 思路：圓的方程為：，對于直線方程，無法直接替換為，需構(gòu)造再進(jìn)行轉(zhuǎn)換： 再求出弦長即可： 答案： 例4：已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_____________ 思路：曲線方程為， 聯(lián)立方程可解得：或（舍） 由可得： 所以，坐標(biāo)為 答案： 例5：在極坐標(biāo)系中，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，

5、且，則實(shí)數(shù)的值為_____________ 思路：先將直線與曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：，曲線，所以問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交于，且，利用圓與直線關(guān)系可求得圓心到直線距離即，解得或 答案：或 例6：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)，則_________ 思路：先將兩個方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程。對于，這種特殊的極坐標(biāo)方程可以考慮數(shù)形結(jié)合來確定直線：即，曲線消參后可得：即圓心是，半徑為的圓，所以， 答案： 小煉有話說：對于形如的極坐標(biāo)方程，可以作出圖像并根據(jù)圖像得到直角坐標(biāo)方程，或者

6、可以考慮對賦予三角函數(shù)，然后向直角坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化： 例7：在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，則兩曲線交點(diǎn)間的距離是______________ 思路：將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程。，則為直線與雙曲線位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得弦長即可 解： 的方程為 聯(lián)立方程可得： 代入消去可得： 設(shè)交點(diǎn) 則 答案： 例8：已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，其中，則曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_______ 思路一：按照傳統(tǒng)思路，將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo) 解

7、： 或 將兩個點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)分別為，因?yàn)椋灾挥蟹蠗l件 思路二：觀察到所給方程形式簡單，且所求也為極坐標(biāo)，所以考慮直接進(jìn)行極坐標(biāo)方程聯(lián)立求解 解：代入消去可得： 交點(diǎn)坐標(biāo)為 小煉有話說：（1）思路一中規(guī)中矩，但解題過程中要注意原極坐標(biāo)方程對的限制條件 （2）思路二有些學(xué)生會對聯(lián)立方程不很適應(yīng)，要了解到極坐標(biāo)中的本身是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于它們的方程與方程一樣，都是實(shí)數(shù)方程，所以可以用實(shí)數(shù)方程的方法去解根，只是由于其具備幾何含義（尤其）導(dǎo)致方程形式有些特殊（數(shù)與三角函數(shù)）。但在本題中，通過代入消元還是容易解出的 例9：已知在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，圓的極坐

8、標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則的面積為___________ 思路一：將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系方程： ，所以，再求出的直角坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋?，且，所? 思路二：本題求出后，發(fā)現(xiàn)其極坐標(biāo)為，而，所以可結(jié)合圖像利用極坐標(biāo)的幾何含義求解，可得，，所以 答案： 小煉有話說：（1）在思路一中面積的求法用向量求解還可以更為簡單： ，所以，代入即可 （2）思路二體現(xiàn)了極坐標(biāo)本身具備幾何特點(diǎn)，即長度（）與角，在解決一些與幾何相關(guān)的問題時，靈活運(yùn)用極坐標(biāo)的幾何含義往往能達(dá)到出奇制勝的效果 例10：在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線

9、的極坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn)，曲線交于，求的值 思路一：將轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下普通方程： ，，聯(lián)立方程，解出坐標(biāo)，再求出即可 解： 設(shè) ， 思路二：本題在思路一的基礎(chǔ)上通過作圖可發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線，則可以考慮將轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，即，進(jìn)而向量坐標(biāo)化后整體代入即可 解：（前面轉(zhuǎn)化方程，聯(lián)立方程同思路一）設(shè)， 由得 思路三：觀察到恰好是直線參數(shù)方程的定點(diǎn)，且所求恰好是到的距離，所以聯(lián)系到直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義。只需求得對應(yīng)參數(shù)的乘積即可 解：設(shè)，則有，，則有 代入到中可得：

10、 所以是方程的兩根，整理可得： 答案： 小煉有話說：（1）思路二體現(xiàn)了處理線段模長乘積時，可觀察涉及線段是否具備共線特點(diǎn)，如果具備可以將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡化運(yùn)算，但要注意與圖像結(jié)合，看好向量是同向還是反向 （2）思路三體現(xiàn)了對直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何含義的巧用。在處理兩條曲線（其中一條為參數(shù)方程）的交點(diǎn)問題時，可以將參數(shù)代換掉另一曲線中的得到關(guān)于參數(shù)的方程。另外在使用直線參數(shù)方程時，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正余弦值。否則參數(shù)不具備幾何含義。例如本題中如果參數(shù)方程為，則并不代表點(diǎn)到的距離。 三、歷年好題精選 1、已知直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程

11、為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，圓的極坐標(biāo)方程為，則圓心到直線的距離為________ 2、（2015，北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為______ 3、（2015，廣東）已知直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn) 到直線的距離為_______ 4、（2015，新課標(biāo)II）在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），其中，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 （1）求交點(diǎn)的直角坐標(biāo) （2）若相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，求的最大值 5、（2015，陜西）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為

12、 （1）寫出的直角坐標(biāo)方程 （2）為直線上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標(biāo) 習(xí)題答案： 1、答案： 解析：可知直線的方程為：，圓的直角坐標(biāo)方程為，所以圓心到直線的距離為 2、答案：1 解析：點(diǎn)化為直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為，直線方程為，從而該點(diǎn)到直線的距離為 3、答案： 解析：直線，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則到直線的距離為 4、解析：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程分別為： 聯(lián)立方程：解得：或 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 （2）曲線的極坐標(biāo)方程為 在極坐標(biāo)系下 ，當(dāng)時取到 5、解析：（1） 直角坐標(biāo)方程為整理可得： （2）設(shè)，由（1）可得 等號成立條件為，此時 6、答案： 解析：圓的直角坐標(biāo)方程為：，設(shè)直線方程為：，因?yàn)?，可知，所以為直徑，即過圓心，計算可得：，直線方程為，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為