幾何證明選講教學(xué)指導(dǎo) 新課標(biāo) 選修4-1

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1、幾何證明選講教學(xué)指導(dǎo) 在全省高中數(shù)學(xué)選修模塊教學(xué)研討會上對選修系列4教學(xué)指導(dǎo)研討的發(fā)言 吳公強(qiáng) 　　　按照我省及寧夏回族自治區(qū)高中數(shù)學(xué)選修４專題系列選課方案，及０７年高考說明的要求，我省統(tǒng)一選學(xué)４－１幾何證明選講?。矗簿仃嚺c變換　４－４坐標(biāo)系與參數(shù)方程?。矗挡坏仁竭x講　四門課程，以下我代表中心組就這四門課程的定位、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)法及復(fù)習(xí)迎考建議，借這個機(jī)會分專題同同志們一起進(jìn)行研討． 關(guān)于選修4-1專題：幾何證明選講的教學(xué)研究 一、學(xué)習(xí)本課程已有的相關(guān)知識準(zhǔn)備 （一）初中具體目標(biāo) 　　1．圖形的認(rèn)識 　　(1)點、線、面 　　通過豐富的實例，進(jìn)一步認(rèn)識點、線、面（如交通圖

2、上用點表示城市，屏幕上的畫面是由點組成的）。 　?。?）角 　?、偻ㄟ^豐富的實例，進(jìn)一步認(rèn)識角。 　?、跁容^角的大小，能估計一個角的大小，會計算角度的和與差，認(rèn)識度、分、秒，會進(jìn)行簡單換算。 　?、哿私饨瞧椒志€及其性質(zhì)【1】角平分線上的點到角的兩邊距離相等，角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點在角的平分線上。 　　（3）相交線與平行線 　?、倭私庋a(bǔ)角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、對頂角相等。 　?、诹私獯咕€、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會點到直線距離的意義。 　?、壑肋^一點有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。 　

3、?、芰私饩€段垂直平分線及其性質(zhì)【1】線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上。 　?、葜纼芍本€平行同位角相等，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì)。 　?、拗肋^直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線,會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。 　?、唧w會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離。 　　（4）三角形 　?、倭私馊切斡嘘P(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性。 　?、谔剿鞑⒄莆杖切沃形痪€的性質(zhì)。 　?、哿私馊热切蔚母拍?，探索并掌握兩個三角形

4、全等的條件。 　?、芰私獾妊切蔚挠嘘P(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)【2】等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一。和一個三角形是等腰三角形的條件【3】[3]有兩個角相等的三角形是等腰三角形。；了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì)。 　?、萘私庵苯侨切蔚母拍?，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)【4】直角三角形的兩銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊一半。和一個三角形是直角三角形的條件【5】有兩個角互余的三角形是直角三角形。 　　⑥體驗勾股定理的探索過程，會運(yùn)用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 　?。?）四邊形 　　①探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公

5、式，了解正多邊形的概念。 　?、谡莆掌叫兴倪呅巍⒕匦?、菱形、正方形、梯形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。 　　③探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)【1】平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。和四邊形是平行四邊形的條件【2】一組對邊平行且相等，或兩組對邊分別相等，或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。 　　④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)【3】矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分。和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件【4】三個角是直角的四邊形，或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形，或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形

6、是菱形。 　?、萏剿鞑⒘私獾妊菪蔚挠嘘P(guān)性質(zhì)【5】等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對角線相等。和四邊形是等腰梯形的條件?！?】同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形。 　?、尢剿鞑⒘私饩€段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木　　重心）。 了解三角形的內(nèi)心和外心。 　?、咄ㄟ^探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計。 　?。?）圓 　?、倮斫鈭A及其有關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系。 　?、谔剿鲌A的性質(zhì)，了解圓周角與圓心角的關(guān)系、

7、直徑所對圓周角的特征。 　?、哿私馊切蔚膬?nèi)心和外心。 　　④了解切線的概念，探索切線與過切點的半徑之間的關(guān)系；能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線。 　　⑤會計算弧長及扇形的面積，會計算圓錐的側(cè)面積和全面積。 　　（7）尺規(guī)作圖 　?、偻瓿梢韵禄咀鲌D：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線。 　　②利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。 　?、厶剿魅绾芜^一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。 　?、芰私獬咭?guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，

8、會寫已知、求作和作法（不要求證明）。 　?。?）視圖與投影 　　①會畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌汀? 　?、诹私庵崩庵A錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型。 　?、哿私饣編缀误w與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關(guān)系；通過典型實例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用（如物體的包裝）。 　?、苡^察與現(xiàn)實生活有關(guān)的圖片(如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等)，了解并欣賞一些有趣的圖形(如雪花曲線、莫比烏斯帶)。 　?、萃ㄟ^背景豐富的實例，知道物體的陰影是怎么形成的，并能根據(jù)

9、光線的方向辨認(rèn)實物的陰影（如在陽光或燈光下，觀察手的陰影或人的身影）。 　　⑥了解視點、視角及盲區(qū)的涵義，并能在簡單的平面圖和立體圖中表示。 　　⑦通過實例了解中心投影和平行投影。 　　2．圖形與變換 　?。?）圖形的軸對稱 　?、偻ㄟ^具體實例認(rèn)識軸對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì)。 　?、谀軌虬匆笞鞒龊唵纹矫鎴D形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；探索簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，并能指出對稱軸。 　?、厶剿骰緢D形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及其相關(guān)性質(zhì)。 　?、苄蕾p現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，結(jié)合現(xiàn)實生活中典型實例了解

10、并欣賞物體的鏡面對稱，能利用軸對稱進(jìn)行圖案設(shè)計。 　?。?）圖形的平移 　　①通過具體實例認(rèn)識平移，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點連線平行且相等的性質(zhì)。 　?、谀馨匆笞鞒龊唵纹矫鎴D形平移后的圖形。 　?、劾闷揭七M(jìn)行圖案設(shè)計，認(rèn)識和欣賞平移在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。 　?。?）圖形的旋轉(zhuǎn) 　?、偻ㄟ^具體實例認(rèn)識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。 　?、诹私馄叫兴倪呅?、圓是中心對稱圖形。 　?、勰軌虬匆笞鞒龊唵纹矫鎴D形旋轉(zhuǎn)后的圖形。 　?、苄蕾p旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。 　?、萏剿鲌D形之間的變換關(guān)系(軸對稱、平移、旋

11、轉(zhuǎn)及其組合)。［參見例2和例3］ 　?、揿`活運(yùn)用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計。 　?。?）圖形的相似 　　①了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割。 　?、谕ㄟ^具體實例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方。 　?、哿私鈨蓚€三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件。 　　④了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。 　　⑤通過典型實例觀察和認(rèn)識現(xiàn)實生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題（如利用相似測量旗桿的高度）。 　?、尥ㄟ^實例認(rèn)識銳角三角函

12、數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角。 　　⑦運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題。 　　3．圖形與坐標(biāo) 　?。?）認(rèn)識并能畫出平面直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標(biāo)。［參見例4］ 　?。?）能在方格紙上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。［參見例5］ 　?。?）在同一直角坐標(biāo)系中，感受圖形變換后點的坐標(biāo)的變化。［參見例6］ 　?。?）靈活運(yùn)用不同的方式確定物體的位置。［參見例7］ 　　4．圖形與證明

13、 　　（1）了解證明的含義 　?、倮斫庾C明的必要性。 　　②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件(題設(shè))和結(jié)論。 　　③結(jié)合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。 　?、芡ㄟ^具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的。 　?、萃ㄟ^實例，體會反證法的含義。 　?、拚莆沼镁C合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據(jù)。 　?。?）掌握以下基本事實，作為證明的依據(jù) 　?、僖粭l直線截兩條平行直線所得的同位角相等。 　?、趦蓷l直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。 　?、廴魞蓚€三

14、角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個三角形全等。 　?、苋热切蔚膶?yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。 　　（3）利用（2）中的基本事實證明下列命題 　?、倨叫芯€的性質(zhì)定理（內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)）和判定定理（內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行）。 　　②三角形的內(nèi)角和定理及推論（三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）。 　?、壑苯侨切稳鹊呐卸ǘɡ?。 　?、芙瞧椒志€性質(zhì)定理及逆定理； 　　三角形的三條角平分線交于一點（內(nèi)心）。 　?、荽怪逼椒志€性質(zhì)定理及逆定理； 　　三角形的三邊的垂直平分線交于一點（外心）。

15、 　　⑥三角形中位線定理。 　?、叩妊切巍⒌冗吶切?、直角三角形的性質(zhì)和判定定理。 　　⑧平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)和判定定理。 　（4）通過對歐幾里得《原本》的介紹，感受幾何的演繹體系對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價值。 《幾何原本》全書共分１３卷，有５條公設(shè)、５個公理，１１９個定義和４６５　個命題，構(gòu)成歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系。命題１。４７　就是著名的“勾股定理” （二）高中必選系列 2-2 推理與證明具體目標(biāo)　 推理方法: （1）合情推理（歸納推理和類比推理）． （2）演繹推理． 證明方法:直接證明與間接證明．?dāng)?shù)學(xué)歸納法． （1）了解合情推理的含義，

16、能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理，做出數(shù)學(xué)猜想，體會并認(rèn)識合理推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． （2）了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異．掌握演繹推理的“三段論”，能進(jìn)行一些簡單的演繹推理． （3）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法。了解綜合法和分析法的思考過程和特點．能套用綜合法或分析法的思考過程，證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題（證明步驟一般不超過五步）． （4）了解反證法的思考過程和特點，能套用反證法的思考過程，證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題（證明步驟一般不超過四步）． （5）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題（不要求用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式有關(guān)命題，

17、以及平面圖形中的有關(guān)命題）． 二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容與要求 幾何證明選講有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，在幾何證明的過程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含著大量的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程。本專題從復(fù)習(xí)相似圖形的性質(zhì)入手，證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理，并通過對圓錐曲線性質(zhì)的進(jìn)一步探索，提高學(xué)生空間想像能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問題的能力。 1. 復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理。 2. 證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理。 3. 證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理。 4.

18、了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。 5. 通過觀察平面截圓錐面的情境，體會下面定理： 定理 在空間中，取直線為軸，直線與相交于O點，其夾角為α，圍繞旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點，為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸交角為β（π與平行，記住β＝0），則： （1）β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓； （2）β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線； （3）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線。 6. 利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下

19、方，并且與平面π及圓錐均相切）證明上述定理（1）情況。 7. 試證明以下結(jié)果：①在6中，一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為π'；②如果平面π與平面π'的交線為m，在5（1）中橢圓上任取一點A，該Dandelin球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e。（稱點F為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e為離心率。） 8. 探索定理中（3）的證明，體會當(dāng)β無限接近α?xí)r平面π的極限結(jié)果。 三、教學(xué)建議 1、重視數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng) （1）一堂課能使學(xué)生有所領(lǐng)悟，就意味著有可能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)空間。

20、在本專題教學(xué)中要重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)。 （2）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。簡單地講：幾何直觀能力就是發(fā)現(xiàn)輔助線的能力。 （3） 以問題解決為特征的思維，是普遍存在的形式。對問題解決者來說，問題的解決過程總是創(chuàng)造性的。而重現(xiàn)和親歷發(fā)現(xiàn)的過程，是學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的高招，也是我們從事數(shù)學(xué)的高招。 （4）重視直覺的培養(yǎng)和訓(xùn)練，引用彭加勒的一個著名觀點，那就是：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)現(xiàn)?！? （5）注意辯證思維的引導(dǎo)。以研究圖形為主的幾何證明專題，在對圖形認(rèn)識的時候應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生還要建立背景的意識，當(dāng)以一部分圖形為主要觀察對象時，其他部分就變成了背景，我們需要一道學(xué)生注意辯證地觀察

21、、分析問題。 如： 已知：在三角形ABC中，由頂點B出發(fā)的高BD、角平分線BF和中線BE，分∠ABC為4 等分，求∠ABC的大小。 Ａ Ｄ Ｆ Ｅ Ｃ Ｂ 在解本題時，有兩類刺激：一類是角；一類是線段。涉及到角的是：高、角的四等分線構(gòu)成的角的大小等；涉及到線段的是：中線角平分線的性質(zhì)等。學(xué)生在解題中，對這兩類刺激并不是均等地接受的。多數(shù)學(xué)生都因為角的信息量大而把角作為“圖形”，而把線當(dāng)作背景。實際上，此處的“圖形”處于未分化的模糊狀態(tài)。不宜直接由此解證題目，那就需要將“圖形”與“背景”加以轉(zhuǎn)換加以求解。 2、對本專題的教學(xué)，都應(yīng)力求深入淺出。在對內(nèi)容與要求

22、6、7的兩個命題證明過程中，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，它們有助于學(xué)生體會空間想像能力和幾何直觀能力在解決問題中的作用，有助于提高學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識解決問題的能力。教學(xué)時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生獨立思考，主動嘗試、探索，必要時要給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，并應(yīng)鼓勵學(xué)生寫出課題報告，盡可能清晰地表達(dá)自己的思考過程與論證過程。 在條件允許的學(xué)校，教師可以利用現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)，動態(tài)地展現(xiàn)Dandelin兩球的方法，幫助學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行思維。 ３、考試內(nèi)容： 相似三角形.、平行截割定理.、直角三角形射影定理.、圓周角定理.、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.、相交弦定理.、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理.、切割線定理.． ４、考試要求： 1． 理解相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平面截割定理． 掌握以下定理的證明：（1）直角三角形射影定理；（2）圓周角定理；（3）圓的切線判定定理與性質(zhì)定理；（4）相交弦定理；（5）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理（6）切割線定理