人教版 高中數(shù)學(xué)必修5余弦定理教案

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1、余 弦 定 理 一、教學(xué)內(nèi)容分析 人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。通過利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征與表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”與“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能。 二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析 本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識與正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的認識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)興趣?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識不強，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題

2、不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點。 三、設(shè)計思想 新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊涵的一些數(shù)學(xué)模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱摺⑻骄块_發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的

3、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的潛能。 四、教學(xué)目標(biāo) 繼續(xù)探索三角形的邊長與角度間的具體量化關(guān)系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過實踐演算運用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過相關(guān)教學(xué)知識的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。 五、教學(xué)重點與難點 教學(xué)重點是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時的思路。 六、教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)節(jié) 合作探究活動 學(xué)情分析與設(shè)計意圖 知

4、識 回顧 1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？ 2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類問題的三角形？ 回顧舊知，防止遺忘 創(chuàng)設(shè) 引入 你能判斷下列三角形的類型嗎？ 1、以3，4，5為各邊長的三角形是_____三角形 以2，3，4為各邊長的三角形是_____三角形 以4，5，6為各邊長的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c邊長嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實踐作圖方面進行估計判斷。 學(xué)生可能比較茫然，幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。 提出 問題 你能夠有更好的具體的量化方法嗎？ 幫助學(xué)生從平面

5、幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標(biāo)法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。 引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識入手，選擇簡潔的工具。 合作探究 A B C 利用向量法推導(dǎo)余弦定理： 如圖：設(shè)， 由三角形法則有 同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)， 學(xué)生對向量知識可能遺忘，注意復(fù)習(xí)；在利用數(shù)量積時，角度可能出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學(xué)生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。 歸納概括 余弦定理： 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方與減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

6、知識歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強識記 結(jié)構(gòu)分析 觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對應(yīng)表述，同時發(fā)現(xiàn)三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn) 使學(xué)生明確對應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊”問題 知識聯(lián)系 余弦定理的推論： 　　　 解決“邊、邊、邊” 問題 方法應(yīng)用 怎樣準(zhǔn)確地解答引入中的兩個問題？ 怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？ 用準(zhǔn)確的量化關(guān)系去解決問題，用邊長去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例。 知識應(yīng)用 例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，　　　　　A＝41°，求解三角形（角度精確到1°，邊長

7、精確到1cm） 例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精確到1′） 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解問題加強計算器的運算功能，同時，鞏固好正弦定理，余弦定理知識，發(fā)現(xiàn)兩種知識方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。 知識深化 例3：已知△ABC中求c邊長 分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo) （2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。 （3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。 繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于余弦定理。并讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“邊、邊、角”問題解法，為下節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。 練習(xí)檢

8、測 1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關(guān)系為（　?。? A：>　 　　 B：= C：< 　　　D：大小不確定 2、銳角△ABC中b＝1，c＝2，則a取值為（　?。? A：（1,3）　　　　　　B：（1,）　　 C：（，2）　　　　D：（，） 3、在△ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？若呢？ 用練習(xí)去鞏固所學(xué)知識，使學(xué)生逐步形成良好的知識結(jié)構(gòu)，加強數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力的培養(yǎng)。 課堂小結(jié) 1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？

9、 2、從本課中你學(xué)到了哪些知識與方法？ 通過知識回顧，使學(xué)生各自體會收獲。 板書設(shè)計 1、推導(dǎo)余弦定理及其推論 2、例3、例4 3、練習(xí)指導(dǎo) 4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識 作業(yè)設(shè)計 1、討論余弦定理的其它解法設(shè)計思路。 2、第11頁A組3、4題 鞏固知識 多角度看待問題 七、教學(xué)反思 本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學(xué)設(shè)計時既要兼顧前后知識的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問題。本課教

10、學(xué)設(shè)計力求在型（模型、類型），質(zhì)（實質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達到教學(xué)效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計中抓住前后知識的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認識數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與方法解決一些實際問題。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用聯(lián)系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學(xué)生進行示范引導(dǎo)，將舊知識與新知識進

11、行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立自己的良好知識結(jié)構(gòu)。 點評： 本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理的基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦法。李教師從解三角形的問題出發(fā)，提出解題需要，引發(fā)認知沖突，激起學(xué)生的求知欲望，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；在定理證明的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標(biāo)法等方面進行分析討論，注意分析思路，揭示蘊含在證明中的數(shù)學(xué)思想，最后引導(dǎo)學(xué)生用向量知識推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個等式與三個推論之后，又對知識進行了歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學(xué)生識記，同時也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。 命題

12、的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)命題的重要目的是應(yīng)用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計中的例1、例2是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理知識。例3是已知兩邊一對角，求解三角形問題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的聯(lián)系，深化了對兩個定理的理解，培養(yǎng)了解決問題的能力。但李教師在對例3解法的總結(jié)時，指出“能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性?！边@結(jié)論有點片面。 本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式優(yōu)點，結(jié)合新課程的要求進行改進與發(fā)展，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為主線，發(fā)揮教師的設(shè)計者，組織者作用，在使學(xué)生掌握知識的同時，幫助學(xué)生摸索自己的學(xué)習(xí)方法。