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1、
北京部分區(qū)2021屆高三上學(xué)期期中期末考試數(shù)學(xué)理試題分類匯編
圓錐曲線
一、選擇題
1、(朝陽區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值是
A. B.1 C. 2 D.3
2、(大興區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)雙曲線的一條漸近線的方程是
(A)(B)
(C)(D)
3、(東城區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),如果,,,那么的值為
(D)
4、(豐臺(tái)區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)若F(c,0)為橢圓C:的右焦點(diǎn),橢圓C與直線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)在直線上,則橢圓
2、的離心率為
(A)(B)(C)(D)
5、(海淀區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為
A. B. C. D.
6、(石景山區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)若曲線上只有一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1,則的值為( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
參考答案
1、C 2、C 3、A 4、B 5、B
6、C
二、填空題
1、(昌平區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)雙曲線的漸近線方程為__________________;某拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.
2、(海淀區(qū)2021屆高
3、三上學(xué)期期末)已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn),則其離心率為
3、(西城區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)雙曲線C:的漸近線方程為_____;設(shè)為雙曲線C的左、右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且,則____.
參考答案
1、
2、
3、
三、解答題
1、(昌平區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知橢圓C的離心率為,點(diǎn)在橢圓C上.直線過點(diǎn),且與橢圓C交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),延長線段與橢圓C交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求出此時(shí)直線的方程,若不能,說明理由.
2、(朝陽區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知圓的切線與橢圓相交于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)
4、求橢圓的離心率;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求面積的最大值.
3、(大興區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的直線(不經(jīng)過點(diǎn))與橢圓交于兩點(diǎn),與直線:相交于點(diǎn),記直線的斜率分別為.求證:為定值.
4、(東城區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知橢圓()的焦點(diǎn)是,且,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),求的取值范圍.
5、(豐臺(tái)區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知定點(diǎn)和直線上的動(dòng)點(diǎn),線段MN的垂直平分線交直線 于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(
5、Ⅱ)直線交軸于點(diǎn),交曲線于不同的兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求證:A,P,Q三點(diǎn)共線.
6、(海淀區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知橢圓的離心率為,其左頂點(diǎn)在圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn)的點(diǎn),直線與圓
的另一個(gè)交點(diǎn)為. 是否存在點(diǎn),使得?
若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
7、(石景山區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知橢圓的焦距為,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn),為直線上任意一點(diǎn),過作的垂線交橢圓于點(diǎn),.證明:經(jīng)過線段的中點(diǎn).(其中為坐標(biāo)
6、原點(diǎn))
8、(西城區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末)已知橢圓C:的離心率為,點(diǎn)在橢圓C上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),判斷是否存在以原點(diǎn)O為圓心的圓,滿足此圓與相交兩點(diǎn),(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),且使得直線,的斜率之積為定值?若存在,求此圓的方程;若不存在,說明理由.
參考答案
1、解:(I)由題意得解得.
所以橢圓的方程為…………………………..5分
(Ⅱ)四邊形能為平行四邊形.
法一:
(1)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),直線的方程為滿足題意;
(2)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線,顯然.
,,.
將代入得,
故,
.于是直線的
7、斜率,即.
由直線,過點(diǎn),得,因此.
的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
由得,即.
四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即.于是.由,得滿足
所以直線的方程為時(shí),四邊形為平行四邊形.
綜上所述:直線的方程為或 . ………………………….13分
法二:
(1)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),直線的方程為滿足題意;
(2)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線,顯然,,,.
將代入得,
故,
.
四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即.
則.
由直線,過點(diǎn),得.
則,
則.
則 滿足
所以直線的方程為時(shí),四邊形為平行四邊形.
綜上
8、所述:直線的方程為或 . …………………………..13分
2、解:(Ⅰ)由題意可知,,所以.
所以.所以橢圓的離心率為.…………………………3分
(Ⅱ)若切線的斜率不存在,則.
在中令得.
不妨設(shè),則.所以.
同理,當(dāng)時(shí),也有.
若切線的斜率存在,設(shè),依題意,即.
由,得.顯然.
設(shè),,則,.
所以.
所以
.
所以.
綜上所述,總有成立. ………………………………………………9分
(Ⅲ)因?yàn)橹本€與圓相切,則圓半徑即為的高,
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí),由(Ⅱ)可知.
則.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),由(Ⅱ)可知,
9、
.
所以
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立).所以.此時(shí),.
綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),面積的最大值為.…………………14分
3、(Ⅰ)由橢圓定義知:,所以……1分
所以,橢圓,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得?!?分
所以,橢圓的方程為……4分
(Ⅱ)右焦點(diǎn)
由題意,直線有斜率,設(shè)方程為……1分
令,得點(diǎn),所以;……3分
又由消元得:,
顯然, 設(shè),則
……5分
所以,
……7分
……9分
所以,,即為定值?!?0分
方法二:
10、
……7分
……9分
所以,,即為定值。 ……10分
4、解(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
由題意知解得.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ……………………………5分
(Ⅱ)因?yàn)?,?dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,
則,不符合題意.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),直線的方程可設(shè)為.
由 消得 (*).
設(shè),,則、是方程(*)的兩個(gè)根,
所以,.
所以,
所以
所以
當(dāng)時(shí),取最大值為,
所以 的取值范圍.
又當(dāng)不存在,即軸時(shí),取值為.
所以的取值范圍. ………
11、…13分
5、(Ⅰ)有題意可知:,即點(diǎn)到直線和點(diǎn)的距離相等.
根據(jù)拋物線的定義可知:的軌跡為拋物線,其中為焦點(diǎn).
設(shè)的軌跡方程為:,,
所以的軌跡方程為:. …………………………5分
(Ⅱ)由條件可知,則.
聯(lián)立,消去y得,
.
設(shè),則
,,.
因?yàn)? ,
所以 ,三點(diǎn)共線 . …………………………13分
6、解:
(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)在圓上,
令,得,所以. …………………………….1分
又離心率為,所以,所以,…………………………….2分
所以,………
12、…………………….3分
所以的方程為. …………………………….4分
(Ⅱ)
法一:設(shè)點(diǎn),設(shè)直線的方程為,…………………………….5分
與橢圓方程聯(lián)立得,
化簡得到, …………………………….6分
因?yàn)闉樯厦娣匠痰囊粋€(gè)根,所以,所以.…………………………….7分
所以. …………………………….8分
因?yàn)閳A心到直線的距離為,…………………………….9分
所以,…………………………….10分
因?yàn)?,…………………………?11分
代入得到.…………………………….13分
顯然,所以不存在直線,使得. …………………………….14分
13、法二:
設(shè)點(diǎn),設(shè)直線的方程為,…………………………….5分
與橢圓方程聯(lián)立得
化簡得到,由得. …………………………….6分
顯然是上面方程的一個(gè)根,所以另一個(gè)根,即.…………………………….7分
由,…………………………….8分
因?yàn)閳A心到直線的距離為,…………………………….9分
所以.…………………………….10分
因?yàn)?,…………………………?11分
代入得到,…………………………….13分
若,則,與矛盾,矛盾,
所以不存在直線,使得. …………………………….14分
法三:假設(shè)存在點(diǎn),使得,則,得. …………………………….5分
顯然直線的斜率不為零,設(shè)
14、直線的方程為,…………………………….6分
由,得,
由得,…………………………….7分
所以.…………………………….9分
同理可得,…………………………….11分
所以由得,…………………………….13分
則,與矛盾,
所以不存在直線,使得. …………………………….14分
7、(Ⅰ)解:由已知可得, ………………2分
解得,,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. ………………4分
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)可得,的坐標(biāo)是,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則直線的斜率. ………………5分
15、
當(dāng)時(shí),直線的斜率.直線的方程是.
當(dāng)時(shí),直線的方程是,也符合的形式.
設(shè),,
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,
消去,得, ………………8分
其判別式.
所以,,
. ………………10分
設(shè)為的中點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為. ………………12分
所以直線的斜率,又直線的斜率,
所以點(diǎn)在直線上,即經(jīng)過線段的中點(diǎn). ………………14分
8、(Ⅰ)解:由題意,得,, ………………2分
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,
所以,………………3分
解得,,,
所以橢圓C的方程為. ………
16、………5分
(Ⅱ)結(jié)論:存在符合條件的圓,且此圓的方程為.………………6分
證明如下:
假設(shè)存在符合條件的圓,并設(shè)此圓的方程為.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為.………………7分
由方程組 得,………………8分
因?yàn)橹本€與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),
所以,即.………………9分
由方程組 得,………………10分
則.
設(shè),,則,,………………11分
設(shè)直線, 的斜率分別為,,
所以
,………………12分
將代入上式,得.
要使得為定值,則,即,驗(yàn)證符合題意.
所以當(dāng)圓的方程為時(shí),圓與的交點(diǎn)滿足為定值.
………………13分
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由題意知的方程為,
此時(shí),圓與的交點(diǎn)也滿足.
綜上,當(dāng)圓的方程為時(shí),圓與的交點(diǎn)滿足斜率之積為定值.
………………14分
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