高考物理必修知識點知識講解行星的運動與萬有引力定律提高

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1、 行星的運動、萬有引力定律 編稿：周軍 審稿：吳楠楠 【學習目標】 1．了解地心說與日心說． 2．明確開普勒三大定律，能應用開普勒三大定律分析問題． 3．知道太陽與行星間的引力與哪些因素有關．理解引力公式的含義并會推導平方反比規(guī)律． 4．理解萬有引力定律的含義并掌握用萬有引力定律計算引力的方法 【要點梳理】 要點一、地心說與日心說 要點詮釋： 1．地心說 地球是宇宙的中心，并且靜止不動，一切行星圍繞地球做圓周運動． 公元2世紀的希臘天文學家托勒密使地心說發(fā)展和完善起來，由于地心說能解釋一些天文現(xiàn)象，又符合人們的日常經(jīng)驗(例如我們看到太陽從東邊升起，從

2、西邊落下，就認為太陽在繞地球運動)，同時地心說也符合宗教神學關于地球是宇宙中心的說法，所以得到教會的支持，統(tǒng)治和禁錮人們的思想達一千多年之久． 2．日心說 16世紀，波蘭天文學家哥白尼(1473～1543年)根據(jù)天文觀測的大量資料，經(jīng)過長達40多年的天文觀測和潛心研究，提出“日心體系”宇宙圖景． 日心體系學說的基本論點有： (1)宇宙的中心是太陽，所有的行星都在繞太陽做勻速圓周運動． (2)地球是繞太陽旋轉的普通行星，月球是繞地球旋轉的衛(wèi)星，它繞地球做勻速圓周運動，同時還跟地球一起繞太陽運動． (3)天穹不轉動，因為地球每天自西向東自轉一周，

3、造成天體每天東升西落的現(xiàn)象． (4)與日地距離相比，其他恒星離地球都十分遙遠，比日地間的距離大得多． 隨著人們對天體運動的不斷研究，發(fā)現(xiàn)地心說所描述的天體的運動不僅復雜而且問題很多．如果把地球從天體運動的中心位置移到一個普通的、繞太陽運動的行星的位置，換一個角度來考慮天體的運動，許多問題都可以解決，行星運動的描述也變得簡單了．因此日心說逐漸被越來越多的人所接受，真理最終戰(zhàn)勝了謬誤． 注意：古代的兩種學說都不完善，太陽、地球等天體都是運動的，鑒于當時自然科學的認識能力，日心說比地心說更先進，日心說能更完美地解釋天體的運動．以后的觀測事實表明，哥白尼日心體系學說有一定的優(yōu)越性

4、．但是，限于哥白尼時代科學發(fā)展的水平，哥白尼學說存在兩大缺點：①把太陽當做宇宙的中心．實際上太陽僅是太陽系的中心天體，而不是宇宙的中心．②沿用了行星在圓形軌道上做勻速圓周運動的陳舊觀念．實際上行星軌道是橢圓的，行星的運動也不是勻速的． 要點二、開普勒發(fā)現(xiàn)行星運動定律的歷史過程 要點詮釋： (1)丹麥天文學家第谷連續(xù)20年對行星的位置進行了精確的測量，積累了大量的數(shù)據(jù)．到1601年他逝世時，這些耗盡了他畢生心血獲得的天文資料傳給了他的助手德國人開普勒． (2)開普勒通過長時間的觀察、記錄、思考與計算，逐漸發(fā)現(xiàn)哥白尼把所有行星運動都看成是以太陽為圓心的勻速圓周運動似乎簡單了一些

5、，因為它與實際觀察到的數(shù)據(jù)有著不小的出入． (3)開普勒承擔了準確地確定行星軌道的任務，他仔細研究了第谷對行星位置的觀測記錄，經(jīng)過四年多的刻苦計算，所得結果與第谷的觀測數(shù)據(jù)至少有8′的角度誤差，那么這不容忽視的8′可能就是人們認為行星繞太陽做勻速圓周運動所造成的．最后開普勒發(fā)現(xiàn)行星運行的真實軌道不是圓，而是橢圓，并于1609年發(fā)表了兩條關于行星運動的定律． (4)開普勒在發(fā)表了第一定律和第二定律后，進一步研究了不同行星的運動之間的相互關系，在1619年又發(fā)表了行星運動的第三條定律． 開普勒提出描述行星運動的規(guī)律，使人類的天文學知識提高了一大步，他被稱為“創(chuàng)制天空法律者”．

6、要點三、開普勒的行星運動定律 要點詮釋： (1)開普勒第一定律(軌道定律) 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．不同行星橢圓軌道則是不同的． 開普勒第一定律說明了行星的運動軌道是橢圓，太陽在此橢圓的一個焦點上，而不是位于橢圓的中心．不同的行星位于不同的橢圓軌道上，而不是位于同一橢圓軌道，再有，不同行星的橢圓軌道一般不在同一平面內(nèi)． (2)開普勒第二定律(面積定律) 對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積． 如圖所示，行星沿著橢圓軌道運行，太陽位于橢圓的一個焦點上． 如果時間間隔相

7、等，即t2－t1＝t4－t3如，那么SA＝SB，由此可見，行星在遠日點a的速率最小，在近日點b的速率最大． (3)開普勒第三定律(周期定律) 所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等．若用a代表橢圓軌道的半長軸，T代表公轉周期，即(其中，比值k是一個與行星無關的常量) 要點四、對行星運動規(guī)律的理解 要點詮釋： (1)開普勒第二定律可以用來確定行星的運行速率．如圖所示，如果時間間隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由開普勒第二定律，面積A＝面積B，可見離太陽越近，行星在相等時間內(nèi)經(jīng)過的弧長越長，即行星的速率就越大． (2)開普勒三定

8、律不僅適用于行星，也適用于其他天體，例如對于木星的所有衛(wèi)星來說，它們的一定相同，但常量k的值跟太陽系各行星繞太陽運動的k值不同．以后將會證明，開普勒恒量k的值只跟(行星運動時所圍繞的)中心天體的質(zhì)量有關． (3)要注意長軸是指橢圓中過焦點與橢圓相交的線段，半長軸即長軸的一半，注意它和遠日點到太陽的距離不同． (4)由于大多數(shù)行星繞太陽運動的軌道與圓十分接近，因此，在中學階段的研究可以按圓周運動處理，這樣開普勒三定律就可以這樣理解： ①大多數(shù)行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心； ②對某一行星來說，它繞太陽做圓周運動的速率不變，即行星做勻速圓周運動

9、； ③所有行星軌道半徑的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，即．如繞同一中心天體運動的兩顆行星的軌道半徑分別為R1、R2，公轉周期分別為T1、T2，則有． 要點五、太陽與行星間引力的推導 要點詮釋： (1)假設地球以太陽為圓心做勻速圓周運動，那么太陽對地球的引力就為做勻速圓周運動的地球提供向心力．設地球的質(zhì)量為m，運動線速度為v，地球到太陽的距離為r，太陽的質(zhì)量為M．則由勻速圓周運動的規(guī)律可知 ， ① ． ② 由①②得 ． ③ 又由開普勒第三定律 ， ④ 由③④式得

10、 ， ⑤ 即 ． ⑥ 這表明：太陽對不同行星間的引力，跟行星的質(zhì)量成正比，跟行星與太陽距離的平方成反比． (2)根據(jù)牛頓第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球?qū)μ柕囊′也應與太陽的質(zhì)量成正比，且F′＝-F． 即 ． ⑦ (3)比較⑥⑦式不難得出，寫成等式，式中G是比例系數(shù)，與太陽、行星無關． 注意：在中學階段只能將橢圓軌道近似成圓形軌道來推導引力公式，但牛頓是在橢圓軌道下推導引力表達式的． 要點六、月—地檢驗 要點詮釋： (1)牛頓的思路：地球繞太陽運動是因為受到太陽的

11、引力，人跳起后又能落回地球是因為人受到地球的引力．這些力是否是同一種力?是否遵循相同的規(guī)律?實踐是檢驗真理的唯一標準，但在當時的條件下很難通過實驗來驗證，這就自然想到了月球． (2)月一地檢驗的基本思想：如果重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關系，那么月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度就應該是地面重力加速度的1/3600，因為月心到地心的距離約為地球半徑的60倍． (3)檢驗過程：牛頓根據(jù)月球的周期和軌道半徑，計算出月球圍繞地球做圓周運動的向心加速度 ． —個物體在地面的重力加速度為g＝9.8m/s2，若把這個物體移到月球軌道的高度，根據(jù)

12、開普勒第三定律可以導出．因為月心到地心的距離是地球半徑的60倍，． 即其加速度近似等于月球的向心加速度的值． (4)檢驗結果：月球圍繞地球做近似圓周運動的向心加速度十分接近地面重力加速度的1/3600，這個重要的發(fā)現(xiàn)為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律提供了有力的證據(jù)，即地球?qū)Φ孛嫖矬w的引力與天體間的引力，本質(zhì)上是同一性質(zhì)的力，遵循同一規(guī)律． 要點七、萬有引力定律 要點詮釋： 1.內(nèi)容 自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的方向沿兩物體的連線，引力的大小F與這兩個物體質(zhì)量的乘積成正比，與這兩個物體間距離r的平方成反比。 2.公式 ，其中G為萬有引力常量， 3.適用條件

13、 適用于相距很遠，可以看作質(zhì)點的物體之間的相互作用。質(zhì)量分布均勻的球體可以認為質(zhì)量集中于球心，也可以用此公式計算，其中r為兩球心之間的距離。 4.重力與萬有引力的關系 在地球(質(zhì)量為M)表面上的物體所受的萬有引力F可以分解成物體所受的重力mg和隨地球自轉而做圓周運動的向心力，其中，而。 （1）當物體在赤道上時 F、mg、三力同向，此時達到最大值，重力加速度達到最小值 （2）當物體在兩極的極點時，，此時重力等于萬有引力，重力加速度達到最大值，此最大值為。 （3）因地球自轉角速度很小，，所以在一般情況下進行計算時認為。 【典型例題】 類型一、對開普勒定律的考查 例1、 (20

14、15 浙江校級二模)假設有一載人宇宙飛船在距地面高度為4200km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6400km，地球同步衛(wèi)星距地面高度為36000km，宇宙飛船和地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當兩者相距最近時，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻二者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為（ ） A．4次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【思路點撥】當它們從距離最遠到距離最近，轉動的角度相差（n=0,1,2,3……） 【解析】根據(jù)開普勒第三定律，

15、其中，故，已知地球同步衛(wèi)星的運行周期為24h，因而載人宇宙飛船的運行周期，由勻速圓周的角速度可分別得，宇宙飛船的角速度為，同步衛(wèi)星的角速度為，若追擊距離為一個半圓，則所需追擊時間為，此后若追擊距離變?yōu)橐粋€圓周，則追擊時間，依次類推： （n=0,1,2,3……）可得到24h內(nèi)共用時完成追擊7次 【總結升華】首先運用開普勒第三定律求解出同步衛(wèi)星與宇宙飛船的周期之比，再根據(jù)它們之間的角度差計算出24h以內(nèi)的所有的追擊時間，最后統(tǒng)計追擊次數(shù)。 例2、月球環(huán)繞地球運動的軌道半徑約為地球半徑的60倍，運行周期約為27天．應用開普勒定律計算：在赤道平面內(nèi)離地多高時，人造地球衛(wèi)星隨地球一起轉動，就像停留在

16、天空中不動一樣?(＝6400 km) 【思路點撥】月球和人造地球衛(wèi)星都環(huán)繞地球運動，故可用開普勒第三定律求解． 【解析】當人造地球衛(wèi)星相對地球不動時，則人造地球衛(wèi)星的周期同地球自轉周期相同． 設人造地球衛(wèi)星軌道半徑為R、周期為T． 根據(jù)題意知月球軌道半徑為60，周期為T0＝27天，則有：． 整理得：． 衛(wèi)星離地高度 衛(wèi)星離地高度＝5.67×6400km＝3.63×104km． 【總結升華】開普勒第三定律，不僅適用于行星繞太陽的運行，也適用于衛(wèi)星或月球繞地球的運行，在使用時一定要注意公式中是指兩行星(或衛(wèi)星)繞同一中心天體運動． 舉一反三 【高清課程：

17、行星的運動 例3】 【變式1】地球赤道上的物體A，近地衛(wèi)星B（軌道半徑等于地球半徑），同步衛(wèi)星C，若分別用rA、rB、rC；TA、TB、TC；vA、vB、vC；分別表示三者離地心距離，周期，線速度，則三者的大小關系 ， ， ； 【答案】rA=rBTB ， vB>vC>vA 【高清課程：行星的運動 例1】 【變式2】宇宙飛船圍繞太陽在近似圓形的軌道上運動，若軌道半徑是地球軌道半徑的9倍，則宇宙飛船繞太陽運行的周期是 （ ） A．3年 B．9年 C．27年 D．81年 【

18、答案】C 類型二、太陽與行星間引力的考查 例3、已知太陽光從太陽射到地球需要500s，地球繞太陽的公轉周期約為3.2×107s，地球的質(zhì)量約為6×1024kg，求太陽對地球的引力為多大?(結果保留一位有效數(shù)字) 【思路點撥】地球繞太陽公轉，由太陽對地球的引力提供向心力。 【解析】地球繞太陽做橢圓運動，由于橢圓非常接近圓軌道，所以可將地球繞太陽的運動看成勻速圓周運動，需要的向心力由太陽對地球的引力提供，即． 因為太陽光從太陽射到地球用的時間為500s，所以太陽與地球間的距離R＝ct(c為光速)，所以． 代入數(shù)據(jù)得F＝3×1022N． 【總結升華】在有的物理問題

19、中，所求量不能直接用公式進行求解，必須利用等效的方法間接求解，這就要求在等效替換中建立一個合理的物理模型，利用相應的規(guī)律。尋找解題的途徑． 舉一反三 【變式】下列說法正確的是( ) A．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式，這個關系式實際上是牛頓第二定律，是可以在實驗室中得到驗證的 B．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式，這個關系式實際上是勻速圓周運動的一個公式，它是由速度的定義式得來的 C．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式，這個關系式是開普勒第三定律，是可以在實驗室中得到證明的 D．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，使用

20、的三個公式，都是可以在實驗室中得到證明的 【答案】A、B 【解析】開普勒的三大定律是總結行星運動的觀察結果而總結歸納出來的規(guī)律，每一條都是經(jīng)驗定律，都是從觀察行星運動所取得的資料中總結出來的，故開普勒的三大定律都是在實驗室無法驗證的規(guī)律． 【總結升華】物理公式的推導是由已知的公式規(guī)律在滿足一定的條件下推導新的理論方式的一類問題，在公式的推導分析中注意公式的成立條件是關鍵． 類型三、對萬有引力定律的考查 例4、如圖所示，在一個半徑為R，質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為的球形空穴后，剩余的陰影部分對位于球心和空穴中心連線上，與球心相距d的質(zhì)點m的引力

21、是多大？ 【思路點撥】 此題可用補償法，將挖去的部分填補上，變成勻質(zhì)球后，由萬有引力公式可求解，再根據(jù)力的合成與分解求剩余部分對m的引力。 【解析】把整個球體對質(zhì)點的引力F看成是挖去的小球體對質(zhì)點的引力和剩余部分對質(zhì)點的引力之和，即 填補上空穴的完整球體對質(zhì)點m的引力 挖去的半徑為的小球體的質(zhì)量為，則 挖去球穴后的剩余部分對球外質(zhì)點m的引力 【總結升華】物體不能看作質(zhì)點時，不能應用萬有引力公式求解，想辦法建立理想模型后再應用公式求解。萬有引力遵循力的合成與分解原則。 舉一反三 【變式】如圖所示，一個質(zhì)量為M的勻質(zhì)實心球，半徑為R．如果從球上挖去一個直徑為R的球，放在

22、相距為d的地方．求下列兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大? (1)從球的正中心挖去； (2)從與球面相切處挖去； 并指出在什么條件下，兩種計算結果相同? 【解析】根據(jù)勻質(zhì)球的質(zhì)量與其半徑的關系，兩部分的質(zhì)量分別為 ，． (1)如圖甲所示，根據(jù)萬有引力定律，這時兩球之間的引力為 ． (2)如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬有引力公式計算．為此，可利用等效割補法，先將M′轉化為理想模型，即用同樣的材料將其填補為實心球M，這時，兩者之間的引力為 ． 由于填補空心球而增加的引力為 ，

23、 所以，這時M′與m之間的引力為 ， 當d遠大于R時，M′可以視為質(zhì)點．這時，引力變?yōu)? ． 即這時兩種計算結果相同． 【總結升華】萬有引力定律表達式只適用于計算質(zhì)點間變力，在高中階段常見的質(zhì)點模型是質(zhì)量分布均勻的球體，因而利用“割補法”構成質(zhì)點模型，再利用萬有引力定律與力的合成知識可求“缺失”球間的引力． 例5、（2014 課標II高考）假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為，在赤道上的大小為；地球自轉周期為T，引力常量為G。地球的密度（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【

24、解析】在地球兩極處：；在赤道處：，故，則 【總結升華】解決此題的關鍵明確地球表面的物體所受的萬有引力與重力的區(qū)別，在地球表面的物體所受的重力隨緯度的不同而不同。在地球兩極所受的重力大，赤道處所受重力小。 例6、宇航員站在一星球表面上某高處，沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L，若拋出時的初速度增大為原來的2倍，則拋出點與落地點之間的距離為．已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G，求該星球的質(zhì)量M． 【解析】設拋出點的高度為h，第一次水平位移為x，則 ． ① 同理對于第二次平拋過程有 ． ② 由①②解得 ． ③ 設該行星上重力加速度為g，由平拋運動規(guī)律得： ． ④ 由萬有引力定律與牛頓第二定律得： ． ⑤ 由③④⑤可解得出：． 【總結升華】本題是平拋與萬有引力的綜合應用，同學們一定要找到它們之間的聯(lián)系(中間橋梁)——重力加速度．