三角函數(shù)與三角變換

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1、專題三：三角函數(shù)與三角變換（附參考答案） 1.高考要求解讀 1.1考綱要求： 1.1.1三角函數(shù) 1.任意角、弧度制 （1）了解任意角的概念和弧度制的概念 （2）能進(jìn)行弧度與角度的互化。 2.三角函數(shù) （1）理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。 （2）能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出的圖像，了解三角函數(shù)的周期性。 （3）正確理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與軸的交點等），理解正切函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性。 （4）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： （5）了解函數(shù)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)對

2、函數(shù)圖像變化的影響。 （6）會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。 1.1.2三角恒等變換 1.兩角和與差的三角函數(shù)公式 （1）會用向量的數(shù)量出兩角差的余弦公式。 （2）會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。 （3）會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他們的內(nèi)在聯(lián)系。 2.簡單的三角恒等變換 能運(yùn)用上述公式進(jìn)驚醒簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 1.2考點解讀 1.2.1考情分析 三角函數(shù)是高考的考查熱點，命題的一般模式為一個選

3、擇題（或填空題）和一個解答題，其中選擇題（填空題）一般多為基礎(chǔ)題，解答題為中檔題。解答題多為三角函數(shù)與三角變換的綜合問題或三角函數(shù)與其他知識的教會問題。近年寧夏高考題，命題從三角函數(shù)與解三角形結(jié)合的問題出發(fā)命題的趨勢明顯。高考中三角函數(shù)所占分值大約在10~14分之間。 1.2.2考點分析 考點一：基本概念 考查任意角的概念、弧度制、三角函數(shù)的概念、三角函數(shù)的符號等。直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義在與空間幾何結(jié)合的問題中頻繁考查，應(yīng)予以重視任意角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用。其中三角函數(shù)的符號是考查重點。 考點二：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式 考查運(yùn)用這兩類公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡

4、和證明。其中，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角函數(shù)式的求值問題是考查的重點。 考點三：考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 考查三角函數(shù)圖像的畫法、性質(zhì)，性質(zhì)主要包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)在的單調(diào)性、最大值和最小值、零點、最小正周期等。 考點四：函數(shù)的圖像和性質(zhì)。 考查函數(shù)的定義域、值域（最值）、單調(diào)性、周期性、對稱性等性質(zhì)等，是三角函數(shù)考查的熱點。另外對函數(shù)的圖像伸縮、平移變換的考查也是熱點。 考點五：考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。 主要考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，而倍角的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用。 考點六：考查簡單的三角恒等變換。 主要考查綜合運(yùn)用同學(xué)們在

5、以前學(xué)習(xí)的三角公式，進(jìn)行一些簡單的三角恒等變換，解決化簡、求值、證明等問題。 考點七：考查三角函數(shù)和三角恒等變換的綜合應(yīng)用。 本考點是一個考查重點，主要考查通過三角恒等變換化簡三角函數(shù)式，進(jìn)而研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值等性質(zhì)。 2要點知識分析 要點知識復(fù)習(xí) 2.1任意角的三角函數(shù) ①任意角的三角函數(shù)定義 已知角終邊上任意一點的坐標(biāo)為，則，其中為點到原點的距離. ②同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 ③誘導(dǎo)公式 第一組：關(guān)于的誘導(dǎo)公式 記憶方法:函數(shù)名不變，符號看象限 第二組：關(guān)于的誘

6、導(dǎo)公式 記憶方法：函數(shù)名變?yōu)橛嗪瘮?shù)名，符號看象限 2.2函數(shù)圖像和性質(zhì) ①函數(shù)、、的圖像和性質(zhì)。 ②函數(shù)的圖像和性質(zhì)?！拔妩c法”可畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，還可利用此法求參數(shù)的值。在復(fù)習(xí)函數(shù)的圖像時，要掌握由的圖像經(jīng)過平移、伸縮等一系列變換得到函數(shù)的圖像的變換步驟。求平移的量時，若x的系數(shù)不為1，需把x的系數(shù)先提出來，提完后在括號中x加或減的那個量才是平移的量。 2.3三角變換 ①兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。 變形公式: 兩角和與差的正切公式的變形公式是考查的重點。 ②二倍角公式 二倍角的余弦公式正用有升冪的

7、作用；逆用有降冪的作用。在三角變換中要根據(jù)具體情境靈活應(yīng)用。變形公式： 3、典型例題 例1（本小題滿分12分）已知<<<, (Ⅰ)求的值. （Ⅱ）求. 本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值求角以及計算能力。 變式訓(xùn)練：（北京卷）已知函數(shù)， （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）設(shè)是第四象限的角，且，求的值 例2（江蘇卷）＝　　 【解后反思】方法不拘泥,要注意靈活運(yùn)用,在求三角的問題中,要注意這樣的口決“三看”即(1)看角,把角盡量向特殊角或可計算角轉(zhuǎn)化，(2)看名稱,把一道等式盡量化成同

8、一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切，(3)看式子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用,如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱,就可以使用. 變式訓(xùn)練：3．等于（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 例3. 已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值． 本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力．滿分12分． 變式訓(xùn)練：已知函數(shù)．求： （I）函數(shù)的最小正周期； （II）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

9、 ． 例4.（本小題滿分12分） 如圖，函數(shù)的 圖象與軸交于點，且在該點處切線的斜率為． （1）求和的值； （2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是的中點，當(dāng)，時，求的值． 變式訓(xùn)練：(重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)=+ +a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點的橫坐標(biāo)為. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值. 例5. 設(shè)函數(shù),其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,

10、1),x∈R,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點， （Ⅰ）求實數(shù)m的值； （Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值及此時x的值的集合. 變式訓(xùn)練：已知為的最小正周期，，，且．求的值． 本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運(yùn)算能力和推理能力．本小題滿分12分． 隨堂練習(xí) 一、選擇題（本小題共10個小題，每小題5分） 1.（全國Ⅰ文）是第四象限角，，（　 ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2. （全國Ⅱ）函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． 3. （江西

11、文）函數(shù)的最小正周期為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4. （福建文）函數(shù)的圖象（　?。? Ａ．關(guān)于點對稱 Ｂ．關(guān)于直線對稱 Ｃ．關(guān)于點對稱 Ｄ．關(guān)于直線對稱 5. （福建文）等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6.（寧夏，海南）若，則的值為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7. （寧夏，海南）已知命題，，則（　?。? Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 8．（寧夏，海南）函數(shù)在區(qū)間的簡圖是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

12、 9．（山東文）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ） A．向右平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向左平移個單位 10.（浙江）若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本題共有5個小題） 11.（上海春）函數(shù)的最小正周期為 . 12.（江蘇卷）若，.則　　　　. 13.（安徽文）函數(shù)的圖象為，如下結(jié)論中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的

13、編號）． ①圖象關(guān)于直線對稱； ②圖象關(guān)于點對稱； ③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)； ④由的圖角向右平移個單位長度可以得到圖象． 14.（浙江）已知，且，則的值是 15.（全國II）若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝ 三、解答題（本題共有5個小題） 16.（安徽卷）已知 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。 17.（廣東卷）已知函數(shù). (I)求的最小正周期； (II)求的最大值和最小值； (III)若，求的值. 18.（湖南）（本

14、小題滿分12分） 已知函數(shù)，． （I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值． （II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 19、已知函數(shù)，． （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力． 20．（重慶）本小題滿分13分，其中（Ⅰ）小問9分，（Ⅱ）小問4分．） 設(shè)． （Ⅰ）求的最大值及最小正周期； （Ⅱ）求在的單調(diào)遞減區(qū)間 （Ⅲ）若銳角滿足，求的值． 專題訓(xùn)練 一、選擇題 1.

15、已知，且角在第一象限，那么是（ ） A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 2.若是第三象限的角，且，則的值為（ ） A、 B、 C、 D、 3.在內(nèi)，使成立的取值范圍為（ ） A、 B、 C、 D、 4.將函數(shù)的圖像上個點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數(shù)的一個對稱中心是（ ） A、 B、 C、 D、 5.已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像與直線某兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，若的最小值

16、為，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間可以是（ ） A、 B、 C、 D、 6.已知，且，那么的值等于（ ） A、 B、 C、 D、 7.函數(shù)的最小正周期是（ ） A、 B、 C、 D、 8.若定義在上的函數(shù)滿足，且，則可以是（ ） A、 B、 C、 D、 9.（ ） A、

17、 B、 C、 D、 10.將函數(shù)的圖像按向量平移得到圖像，若的一條對稱軸是直線，則的一個可能取值是（ ） A、 B、 C、 D、 11.在同一個平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（）的圖像和直線的交點個數(shù)是（ ） A、0 B、1 C、2 D、4 12.已知，則的值是（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空題 13.若函數(shù)的最小正周期

18、為，則= 14.已知在第三象限，則角的終邊在第 象限 15.函數(shù)的最大值是 16.有以下4個結(jié)論：①若，那么；②是函數(shù)的一條對稱軸；③在第四象限是增函數(shù)；④函數(shù)是偶函數(shù)。其中正確結(jié)論的序號是 三、解答題（本大題共6小題，第17-21題每小題12分，第22題14分，共計74分） 17、已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點。 （1）求實數(shù)的值 （2）若，且，求的值 18、設(shè)，函數(shù)，且 （1）求的值 （2）若，求的最大值及相應(yīng)的值 19、已知函數(shù)的圖像經(jīng)

19、過點A(0,1)，B()，且當(dāng)時，取得最大值 （1）求解析式 （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 20、已知函數(shù)的最小正周期為 （1）求的值，并寫出函數(shù)的圖像的對稱中心的坐標(biāo) （2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 21、設(shè)函數(shù)，其中向量， （1）求的值及函數(shù)的最大值 （2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 22、函數(shù) （1）求函數(shù)的周期和最大值 （2）若將函數(shù)按向量平移得到函數(shù)，而且當(dāng)時，取得最大值3，求和 參考答案 典型例題

20、 隨堂練習(xí) 一、選擇題 1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D 二、填空題 11. 12. 13.①②③ 14. 15. 三、解答題 專題訓(xùn)練 一、 選擇題 1．B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 11.C 12.C 二、填空題 13．10 14.二 15.2 16.①③④ 三、解答題 12