中考數(shù)學第五章 四邊形 第20講 矩形、菱形、正方形

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1、第第2020講講 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形泰安考情分析泰安考情分析基礎知識過關基礎知識過關泰安考點聚焦泰安考點聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習隨堂鞏固練習泰安考情分析基礎知識過關知識點一知識點一 矩形矩形知識點二知識點二 菱形菱形知識點三知識點三 正方形正方形知識點四知識點四 平行四邊形、矩形、菱形、正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系的關系定義有 一個角是直角 的平行四邊形叫做矩形性質(zhì)(1)矩形具有 平行四邊形 的一切性質(zhì);(2)矩形的四個角都是 直角 ;(3)矩形的對角線 相等 判定(1)定義法:有一個角是直角的 平行四邊形 是矩形;(2)對角線 相等 的平行四邊形是矩形

2、;(3)有 三個角 都是直角的四邊形是矩形;(4)對角線 相等且互相平分 的四邊形是矩形知識點一知識點一 矩形矩形溫馨提示溫馨提示 (1)矩形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸,對稱中心是兩條對角線的交點.(2)矩形的對角線把矩形分成四個等腰三角形.知識點二知識點二 菱形菱形溫馨提示溫馨提示 (1)菱形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸,分別是對角線所在的直線;對稱中心是兩條對角線的交點.(2)菱形的對角線把菱形分為四個全等的直角三角形.定義有一組 鄰邊相等 的平行四邊形是菱形性質(zhì)(1)菱形具有 平行四邊形 的一切性質(zhì);(2)菱形的四條邊都 相等 ;(3)菱形的兩條

3、對角線 互相垂直 ,并且每一條對角線 平分一組對角 ;(4)菱形的面積等于兩條對角線長 乘積的一半 判定(1)定義法:有 一組鄰邊 相等的平行四邊形是菱形;(2)對角線互相 垂直 的平行四邊形是菱形;(3) 四條邊 都相等的四邊形是菱形知識點三知識點三 正方形正方形溫馨提示溫馨提示 (1)正方形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有4條對稱軸.(2)正方形的對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.定義有一組 鄰邊相等 的矩形叫做正方形性質(zhì)(1)正方形的四條邊都 相等 ,兩組對邊分別 平行 ;(2)正方形的四個角都等于 90 ;(3)正方形的對角線互相 垂直、平分且相等 ,每條對角線平分一組

4、對角判定(1)定義法;(2)對角線 相等 的菱形是正方形;(3)對角線 垂直 的矩形是正方形;(4)有一個角是直角的 菱形 是正方形知識點四知識點四 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系1.平行四邊形與特殊平行四邊形的包含關系2.從四邊形到特殊平行四邊形的演變關系溫馨提示溫馨提示 依次連接四邊形各邊的中點所得到的新的四邊形的形狀與原四邊形的對角線有關系,若對角線相等,則新的四邊形是菱形;若對角線垂直,則新的四邊形是矩形.泰安考點聚焦考點一考點一 矩形的性質(zhì)和判定矩形的性質(zhì)和判定考點二考點二 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定考點三考點三 正方形的性質(zhì)與判定正方

5、形的性質(zhì)與判定考點一考點一 矩形的性質(zhì)和判定矩形的性質(zhì)和判定中考解題指導中考解題指導口訣“矩形就是長方形,周長、面積仍然用,平行四邊形性質(zhì)它均用,四角相等皆直角”;判定矩形首先要分清楚所給的條件是四邊形還是平行四邊形,再確定矩形的判定方法.例例1如圖,在矩形ABCD中,DE平分ADC交BC于點E,EFAD交AD于點F,若EF=3,AE=5,則AD等于 ( C )A.5 B.6 C.7 D.8解析解析四邊形ABCD是矩形,ADC=90,EFAD,EFCD,FED=EDC,DE平分ADC,FDE=EDC,FED=FDE,DF=EF=3,EFAD,AFE=90,AE=5,EF=3,由勾股定理得AF=

6、4,AD=AF+DF=4+3=7,故選C.變式變式1-1 (2017濟南)如圖,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于點F.求證:AB=DF.證明證明四邊形ABCD是矩形,ADBC,B=90,AEB=DAF,DFAE,AFD=90,在ABE和DFA中,ABE DFA,AB=DF.,AEBDAFBAFDADAE 方法技巧方法技巧矩形是特殊的平行四邊形,其特殊性在于內(nèi)角均為直角,故在應用其性質(zhì)時常會和直角三角形相結(jié)合.考點二考點二 菱形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)和判定判定例例2 (2017北京)如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對角線,ADBC,AD=2BC,ABD=90,點E為AD的中點,連接BE.

7、(1)求證:四邊形BCDE為菱形;(2)連接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的長.解析解析(1)證明:AD=2BC,E為AD的中點,DE=BC.ADBC,四邊形BCDE是平行四邊形.ABD=90,AE=DE,BE=DE,四邊形BCDE是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD,BAC=DAC=BCA,AB=BC=1.AD=2BC=2,sinADB=,ADB=30,DAC=30,ADC=60,ACD=90.在RtACD中,AD=2,CD=1,AC=.123變式變式2-1 (2018泰安)如圖,在菱形ABCD中,AC與BD交于點O,E是BD上一點,EFAB,EAB=EBA,過點B作DA的垂線,

8、交DA的延長線于點G.(1)DEF和AEF是否相等?若相等,請證明;若不相等,請說明理由;(2)找出圖中與AGB相似的三角形,并證明;(3)BF的延長線交CD的延長線于點H,交AC于點M.求證:BM2=MFMH.解析解析(1)DEF=AEF.理由如下:EFAB,DEF=EBA,AEF=EAB,又EAB=EBA,DEF=AEF.(2)EOAAGB.證明如下:四邊形ABCD是菱形,AB=AD,ACBD,GAB=ABE+ADB=2ABE.又AEO=ABE+BAE=2ABE,GAB=AEO,又AGB=AOE=90,EOAAGB.(3)證明:連接DM.四邊形ABCD是菱形,由對稱性可知:BM=DM,AD

9、M=ABM.ABCH,ABM=H,ADM=H.又DMH=FMD,MFDMDH, = ,DMMHMFDMDM2=MFMH,BM2=MFMH.方法技巧方法技巧要判斷一個四邊形是菱形,可以先說明它是平行四邊形,再說明它的一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直;也可說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分.在具體問題中,要根據(jù)題目給出的已知條件選擇合適的方法.考點三考點三 正方形的性質(zhì)和判定正方形的性質(zhì)和判定例例3 (2017濟南)如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AB=3 ,E為OC上一點,OE=1,連接BE,過點A作AFBE于點F,與BD交于點G,則BF的長是 ( A )A. B.2 C.

10、D. 23 10523 543 22解析解析四邊形ABCD是正方形,AB=3 ,AOB=90,AO=BO=CO=3.AFBE,EBO=GAO.在GAO和EBO中,GAOEBO,OG=OE=1,BG=2.在RtBOE中,BE= ,BFG=BOE=90,GBF=EBO,BFGBOE,2,GAOEBOAOBOAOGBOE 22OBOE10 = ,即 = ,解得BF= ,故選A.方法技巧方法技巧正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具備了矩形和菱形的所有性質(zhì).同時,在解決以正方形為背景的問題時,常與直角三角形、等腰三角形、相似三角形相結(jié)合進行解答,特別注意角和角、邊和邊之間的數(shù)量關系和位置關系.BFBO

11、BGBE3BF2103 105一、選擇題一、選擇題1.(2017臨沂)在ABC中,點D是邊BC上的點(與B,C兩點不重合),過點D作DEAC,DFAB,分別交AB,AC于E,F兩點,下列說法正確的是 ( D )A.若ADBC,則四邊形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,則四邊形AEDF是菱形二、填空二、填空題題2.(2017泰山模擬)矩形的兩條對角線的一個夾角為60,兩條對角線的長度的和為8 cm,則這個矩形的一條較長邊的長為 2cm.解析解析如圖,四邊形ABCD是矩形,ABC=90,AC=BD=4cm,OA

12、=OC,OD=OB,OA=OB=2cm,由題意得AOB=60,AOB是等邊三角形,OA=OB=AB=AC=2cm.在RtABC中,由勾股定理得BC=2cm.這個矩形的一條較長邊的長為2cm.1222ACAB333.(2017新泰模擬)邊長為5 cm的菱形的一條對角線的長是6 cm,則另一條對角線的長是 8 cm.解析解析如圖,在菱形ABCD中,AB=5 cm,AC=6 cm,對角線互相垂直平分,AOB=90,AO=3 cm.在RtAOB中,BO= =4 cm,BD=2BO=8 cm.22ABAO4.(2018濱州)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E、F分別在BC、CD上,若AE=

13、 ,EAF=45,則AF的長為 .54 103解析解析取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設DF=DN=x,四邊形ABCD是矩形,D=BAD=B=90,NF=x,AN=4-x,AB=2,AM=BM=1,AE=,25BE=1,ME=,EAF=45,MAE+NAF=45,MAE+AEM=45,MEA=NAF,又ANF=EMA=180-45=135,AMEFNA,=,=,22BMBE2AMFNMENA12x24x解得x=,AF=.4322ADDF4 1035.(2017萊蕪)如圖,在矩形ABCD中,BEAC,BE交AC,AD于點F,E,若AD=1,AB=CF,則AE= .512解析解析

14、四邊形ABCD是矩形,BC=AD=1,BAE=ABC=90,ABE+CBF=90.BEAC,BFC=90,BCF+CBF=90,ABE=FCB,在ABE和FCB中,ABE FCB,90,EABBFCAB CFABEFCB BF=AE,BE=BC=1.BAF+ABF=90,ABF+AEB=90,BAF=AEB,BAE=AFB,ABEFBA,=,=,AE=AB2.在RtABE中,根據(jù)勾股定理得,AB2+AE2=BE2=1,ABBFBEABABAE1ABAE+AE2=1,AE0,AE=.三、解答題三、解答題6.(2017萊蕪模擬)如圖,菱形ABCD中,BEAD,BFCD,垂足分別為點E,F,AE=E

15、D,求EBF的度數(shù).512解析解析如圖,連接BD.BEAD,AE=ED,AB=BD,四邊形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,AB=AD=BD,A=60,ADC=120,BEAD,BFCD,BED=BFD=90,EBF=60.7.(2017青島)如圖,在菱形ABCD中,點E,O,F分別為AB,AC,AD的中點,連接CE,CF,OE,OF.(1)求證:BCEDCF;(2)當AB與BC滿足什么關系時,四邊形AEOF是正方形?請說明理由.解析解析(1)證明:四邊形ABCD是菱形,B=D,AB=BC=DC=AD,點E,O,F分別為AB,AC,AD的中點,AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OEBC.在BCE和DCF中,BCE DCF(SAS).(2)當ABBC時,四邊形AEOF是正方形.理由如下:由(1)得AE=OE=OF=AF,1212,BEDFBDBCDC 四邊形AEOF是菱形.ABBC,OEBC,OEAB,AEO=90,四邊形AEOF是正方形.