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1、第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入
(自我評估、考場亮劍,收獲成功后進入下一章學習!)
(時間120分鐘,滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.(2009·天津高考)i是虛數(shù)單位,= ( )
A.1+2i B.-1-2i
C.1-2i D.-1+2i
解析:==-1+2i.
答案:D
2.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b
2、 ( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
解析:已知向量a=(-5,6),b=(6,5),a·b=-30+30=0,則a與b垂直.
答案:A
3.(2010·利辛模擬)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+b)∥(a-2b),則實數(shù)m
( )
A. B.- C. D.
解析:ma+b=m(2,3)+(-1,2)=(2m-1,3m+2),
a-2b=(2,3)
3、-2(-1,2)=(4,-1).
∵(ma+b)∥(a-2b)
∴1-2m=(3m+2)×4.
∴m=-.
答案:B
4.如圖,已知=a,=b,=3,用a,b表示,則等于 ( )
A.a(chǎn)+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:=+=+
=+(-)=+=a+b.
答案:B
5.若在△ABC中,||=3,||=5,||=4,則|5+|= ( )
A.4 B.2 C.2 D.
解析:根據(jù)三邊邊長易知△ABC為直角
4、三角形.
cos〈,〉=-.
∵|5+|2=
25||2+||2+10||·||cos〈,〉=160.
∴|5+|=4.
答案:A
6.(2010·鞍山模擬)已知復數(shù)z=1+i,則等于 ( )
A.2i B.-2i C.2 D.-2
解析:===2i.
答案:A
7.已知命題:“若k1a+k2b=0,則k1=k2=0”是真命題,則下面對a,b的判斷正確
的是 (
5、 )
A.a(chǎn)與b一定共線 B.a(chǎn)與b一定不共線
C.a(chǎn)與b一定垂直 D.a(chǎn)與b中至少有一個為0
解析:假設a與b共線,由已知得k1a=-k2b,如果a、b均為非零向量,與已知條件矛盾.如果a、b中至少有一個非零向量,明顯的與已知矛盾,排除A、D.把k1a+k2b=0兩邊平方得a2+b2+2k1k2a·b=0,因為k1=k2=0,所以a·b不一定等于0,排除C.
答案:B
8.若平面向量a=(-1,2)與b的夾角是180°,且|b|=3,則b的坐標為 ( )
A.(3,-6)
6、 B.(-3,6)
C.(6,-3) D.(-6,3)
解析:由題意設b=λa=λ(-1,2).
由|b|=3得λ2=9.λ=±3.
因為a與b的夾角是180°.所以λ=-3.
答案:A
9.(2010·黃岡模擬)已知A、B、C是銳角△ABC的三個內(nèi)角,向量p=(1+sinA,1+cosA),q=(1+sinB,-1-cosB),則p與q的夾角是 ( )
A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定
解析:銳角△ABC中,
7、sinA>cosB>0,sinB>cosA>0,
故有p·q=(1+sinA)(1+sinB)-(1+cosA)(1+cosB)>0,同時易知p與q方向不相同,故p與q的夾角是銳角.
答案:A
10.已知非零向量,和滿足·=0,且·=,則△ABC為 ( )
A.等邊三角形 B.等腰非直角三角形
C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析:、、均為單位向量.
由·=0,得||=| |.
由·=1×1×cosC=,得C=45
8、°.
故三角形為等腰直角三角形.
答案:D
11.如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是弧AB的三等分點,
M,N是線段AB的三等分點,若OA=6,
則·的值為 ( )
A.13 B.26 C.18 D.36
解析:·=(-)·(-)=·-·-·+·=6×6cos60°-6×2cos120°-6×2cos120°+2×2cos180°=26.
答案:B
12.設a=(a1,a2),b=(b1,b2).定義一種向量積:
ab=(a1,a2) (b1,b2)=(a1b1,a2b2)
9、.已知m=,n=,點P(x,y)在y=sinx的圖象上運動 ,點Q在y=f(x)的圖象上運動,滿足=m+n(其中O為坐標原點),則y=f(x)的最大值A(chǔ)及最小正周期T分別為 ( )
A.2,π B.2,4π C.,4π D.,π
解析:設Q(x0,y0),=(x0,y0),=(x,y),
∵=m+n,
∴(x0,y0)=(x,y)+=+=,
∴?
代入y=sinx中得,2y0=sin,
所以最大值為,周期為4π.
答案:C
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.將答案填寫在題中的橫線上.)
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10、.已知復數(shù)z1=m+2i,z2=3-4i,若為實數(shù),則實數(shù)m=________.
解析:===是實數(shù),∴6+4m=0,故m=-.
答案:-
14.(文)若向量a=(1+2λ,2-3λ)與b=(4,1)共線,則λ=________.
解析:依題意得4(2-3λ)-(1+2λ)=0,由此解得λ=.
答案:
(理)已知a=(3,2),b(-1,2),(a+λb)⊥b,則實數(shù)λ=________.
解析:∵(a+λb)⊥b,
∴(a+λb)·b=a·b+λb2=1+5λ=0,∴λ=-.
答案:-
15.已知平面向量a,b,c滿足a+b+c=0,且a與b的夾角為135°,c與b的夾角
11、為120°,|c|=2,則|a|=________.
解析:根據(jù)已知條件,組成以|a|,|b|,|c|為邊長的三角形,由正弦定理得=,又|c|=2,所以|a|=.
答案:
16.在直角坐標系xOy中,i、j分別是與x軸,y軸平行的單位向量,若直角三角形ABC中,=i+j,=2i+mj,則實數(shù)m=________.
解析:本題考查了向量的運算.由已知可得=-=i+(m-1)j.
當A=90°時,·=(i+j)·(2i+mj)=2+m=0,m=-2.
當B=90°時,·=-(i+j)·[i+(m-1)·j]=-(1+m-1)=-m=0,m=0.
當C=90°時,·=-(2i+mj)·
12、[-i-(m-1)j]=2+m(m-1)=m2-m+2=0,此時m不存在.故m=0或-2.
答案:0或-2
三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z滿足:|z|=1+3i-z,化簡
解:設z=a+bi(a,b∈R),而|z|=1+3i-z,即-1-3i+a+bi=0,
則,?
∴z=-4+3i.
∴===3+4i.
18.(本小題滿分12分)如圖,在平行四邊形ABCD中,
M,N分別為DC,BC的中點,已知=c,
=d,試用c,d表示,.
解:法一:設=a,=b,則
a=+=d+(-b),
13、 ①
b=+=c+(-a), ②
將②代入①得a=d+(-)[c+(-a)]
?a=d-c,代入②
得b=c+(-)(d-c)=c-d.
故=d-c,=c-d.
法二:設=a,=b.
所以=b,=a,
因而?,
即=(2d-c),=(2c-d).
19.(本小題滿分12分)已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=(cos(-θ),sin(-θ)).
(1)求證:a⊥b;
(2)若存在不等于0的實數(shù)k和t,使x=a+(t2+3)b,
y=-ka+tb
14、,滿足x⊥y,試求此時的最小值.
解:(1)證明:∵a·b
=cos(-θ)·cos(-θ)+sin(-θ)·sin(-θ)
=sinθcosθ-sinθcosθ=0.
∴a⊥b.
(2)由x⊥y得:x·y=0,
即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0,
∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0,
∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.
又|a|2=1,|b|2=1,
∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t.
∴==t2+t+3=(t+)2+.
故當t=-時,有最小值.
20.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A、B、C所對的
15、邊長分別為a、b、c,已知向量m=(1,2sinA),n=(sinA,1+cosA),且滿足m∥n,b+c=a.
(1)求角A的大??;
(2)求sin的值.
解:(1)∵m∥n,∴1+cosA=2sin2A,
即2cos2A+cosA-1=0,解得cosA=-1(舍去),cosA=.
又0<A<π,∴A=.
(2)∵b+c=a,
∴由正弦定理可得sinB+sinC=sinA=.
又C=π-(A+B)=-B,∴sinB+sin=,
即sinB+cosB=,∴sin=.
21.(本小題滿分12分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c=(-1,0)
16、.
(1)若x=,求向量a,c的夾角;
(2)當x∈[,]時,求函數(shù)f(x)=2a·b+1的最大值.
解:(1)設a,c的夾角為θ,當x=時,
cos〈a,c〉==
=-cosx=-cos=cos.
∵0≤〈a,c〉≤π,∴〈a,c〉=.
(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1
=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x
=sin(2x-).
∵x∈[,],
∴2x-∈[,2π],
∴sin(2x-)∈[-1,],
∴當2x-=,即x=時,f(x)max=1.
22.(本小題滿分14分)已知△ABC的面積為S,
17、滿足≤S≤3,且·=6, 與的夾角為θ.
(1)求角θ的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(θ)=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ的最小值.
解:(1)由題意知,·=| |·| |cosθ=6, ①
S=||·||sin(π-θ)=||·||sinθ, ②
由,得=tanθ,即3tanθ=S.
由≤S≤3,得≤3tanθ≤3,
即≤tanθ≤1.
又θ為與的夾角,
∴θ∈(0,π],∴θ∈[,].
(2)f(θ)=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+sin(2θ+).
∵θ∈[,],∴2θ+∈[,],
∴當2θ+=,即θ=時,f(θ)取得最小值為3.
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