新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

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1、 第三篇　第6節(jié) 一、選擇題 1．(20xx廣東湛江十校聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知b＝2，B＝30°，C＝15°，則a等于(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．2 C.－ D．4 解析：A＝180°－30°－15°＝135°， 由正弦定理＝，得＝， 即a＝2.故選A. 答案：A 2．(20xx安陽模擬)已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角是120°，三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則三角形的面積是(　　) A．10 B．30 C．20 D．15 解析：設(shè)A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為b－4，b，b＋4， 則cos 1

2、20°＝， ∴b2－10b＝0， ∴b＝10或b＝0(舍去)， ∴b＝10，b－4＝6， ∴三角形的面積S＝×10×6×＝15.故選D. 答案：D 3．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形 解析：由條件得＝2， 即2cos Bsin C＝sin A. 由正、余弦定理得，2··c＝a， 整理得c＝b，故△ABC為等腰三角形． 故選D. 答案：D 4．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，若角A、B、C依次成等差

3、數(shù)列，且a＝1，b＝，則S△ABC等于(　　) A. B. C. D．2 解析：∵A、B、C成等差數(shù)列， ∴A＋C＝2B，∴B＝60°. 又a＝1，b＝， ∴＝， ∴sin A＝＝×＝， ∴A＝30°，∴C＝90°. ∴S△ABC＝×1×＝.故選C. 答案：C 5．(高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 解析：由題意知，23cos2A＋2cos2A－1＝0， 即cos2A＝， 又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形， 所以co

4、s A＝. 在△ABC中，由余弦定理知72＝b2＋62－2b×6×， 即b2－b－13＝0， 即b＝5或b＝－(舍去)， 故選D. 答案：D 6．在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高是(　　) A.米 B.米 C．200米 D．200米 解析：如圖所示，AB為山高， CD為塔高， 則由題意知，在Rt△ABC中， ∠BAC＝30°，AB＝200 米． 則AC＝＝(米)． 在△ACD中，∠CAD＝60°－30°＝30°，∠ACD＝30°， ∴∠ADC＝120°. 由正弦定理得＝， ∴CD＝＝(米)． 故選A. 答

5、案：A 二、填空題 7．(高考北京卷)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，則b＝________. 解析：由已知根據(jù)余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B 得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－)， 即：15b－60＝0，得b＝4. 答案：4 8．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，則A＝________. 解析：由題意知b2＝ac， ∵a2－c2＝ac－bc， ∴a2－c2＝b2－bc， 即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝， ∴A＝. 答案： 9．(20

6、xx四川外國(guó)語學(xué)校月考)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，B＝，且sin A∶sin C＝3∶1，則的值為________． 解析：sin A∶sin C＝a∶c＝3∶1， ∴a＝3c. 由余弦定理 cos＝＝， ∴＝， 7c2＝b2， ∴＝7， ∴＝. 答案： 10．在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＝(cos C，2a－c)，b＝(b，－cos B)，且a⊥b，則B＝______. 解析：由a⊥b，得a·b＝bcos C－(2a－c)cos B＝0， 利用正弦定理，可得 sin Bcos C－(2sin A－sin C)cos

7、 B＝ sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Acos B＝0， 即sin(B＋C)＝sin A＝2sin Acos B， 因?yàn)閟in A≠0，故cos B＝，因此B＝. 答案： 三、解答題 11．(高考北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A. (1)求cos A的值． (2)求c的值． 解：(1)因?yàn)閍＝3，b＝2，∠B＝2∠A， 所以在△ABC中，由正弦定理得＝. 所以＝， 故cos A＝. (2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝. 又因?yàn)椤螧＝2∠A， 所以cos B＝2cos 2A－1＝. 所以sin B＝＝. 在

8、△ABC中， sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. 所以c＝＝5. 12.如圖所示，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1 km. (1)試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離會(huì)相等？ (2)求B、D的距離． 解：(1)如圖所示，在△ADC中， ∠DAC＝30°， ∠ADC＝60°－∠DAC＝30°， ∴CD＝AC＝0.1 km， 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， ∴∠CED＝90°， ∴CB是△CAD底邊AD的中垂線， ∴BD＝BA. (2)在△ABC中，∠ABC＝75°－60°＝15°， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝(km)， ∴BD＝(km)． 故B、D間的距離是km.