新編一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第六章 第四節(jié)　數(shù)列求和 Word版含解析

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1、 一、填空題 1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(－1)n(2n2＋4n＋1)－1(n∈N*)，且anbn＝(－1)n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T10等于________． 解析：由Sn＝(－1)n(2n2＋4n＋1)－1可求得an＝(－1)n·4n (n＋1)，所以bn＝，于是T10＝(1－＋－＋…＋－)＝. 答案： 2．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a1＝－，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S2 014＝________. 解析：由題意得數(shù)列{an}的各項(xiàng)為－，1，－，1，…，以2為周期的周期數(shù)列，所以S2 014＝×1 007＝. 答案： 3．在數(shù)

2、列{an}中，若對(duì)任意的n均有an＋an＋1＋an＋2為定值(n∈N*)，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，則此數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100＝________. 解析：由題設(shè)得an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3， ∴an＝an＋3， ∴a3k＋1＝2(k∈N)，a3k＋2＝4(k∈N)，a3k＝3(k∈N*)， ∴S100＝34×2＋33×4＋33×3＝299. 答案：299 4．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則＝q3

3、＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為1－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案： 5．若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，則＋＋…＋＝________. 解析：令n＝1得＝4，即a1＝16，當(dāng)n≥2時(shí)，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以an＝4(n＋1)2，當(dāng)n＝1時(shí)，也適合，所以an＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是＝4(n＋1)，故＋＋…＋＝2n2＋6n. 答案：2n2＋6n 6．設(shè)a1，a2，…，a50是從－1,0,1這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列，若a

4、1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，則a1，a2，…，a50當(dāng)中取零的項(xiàng)共有________個(gè)． 解析：(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107， ∴a＋a＋…＋a＝39， ∴a1，a2，…，a50中取零的項(xiàng)應(yīng)為50－39＝11個(gè)． 答案：11 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{}(n∈N*)的前n項(xiàng)和是________． 解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2， ∴f(x)＝x(x＋1)， ＝＝－，

5、 用裂項(xiàng)法求和得Sn＝. 答案： 8．設(shè)關(guān)于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S100的值為_(kāi)_______． 解析：由x2－x<2nx(n∈N*)得0

6、n＋1)2 ＝(－1)n[n2－(n＋1)2] ＝(－1)n＋1·(2n＋1)， 得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 答案：－100 二、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝2n－3n－1，點(diǎn)(n，an)在f(x)的圖象上，an的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求使an<0的n的最大值； (2)求Sn. 解析：(1)依題意an＝2n－3n－1， ∴an<0即2n－3n－1<0. 當(dāng)n＝3時(shí)，23－9－1＝－2<0， 當(dāng)n＝4時(shí)，24－12－1＝3>0， ∴2n－3n－1<0中n的最大值為3. (2)

7、Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝2－3·－n ＝2n＋1－－2. 11．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－2x＋7，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn的最大值； (2)令bn＝，其中n∈N*，求數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和． 解析：(1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b， 又∵f′(x)＝－2x＋7，得a＝－1，b＝7， ∴f(x)＝－x2＋7x. 又∵點(diǎn)Pn(n，Sn)(n∈

8、N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，∴有Sn＝－n2＋7n， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8， ∴an＝－2n＋8(n∈N*)． 令an＝－2n＋8≥0，得n≤4，∴當(dāng)n＝3或n＝4時(shí)， Sn取得最大值12. (2)由題意得b1＝＝8，bn＝＝2－n＋4. ∴＝，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為8，公比為的等比數(shù)列， 故數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和Tn＝1×23＋2×22＋…＋n×2－n＋4，① Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2－n＋4＋n×2－n＋3，② 由①－②得：Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n×2－n＋3， ∴Tn＝－n·24－n＝32－(2＋n)24－n. 12．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和． 解析：(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知可得解得 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n. (2)由(1)知＝ ＝(－)， 從而數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為 (－＋－＋…＋－)＝.