新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第2章 第7節(jié)　函數(shù)的圖像 Word版含解析

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1、 第七節(jié)　函數(shù)的圖像 [考綱傳真]　會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)． 1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖像 方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域； (2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式； (3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)； (4)描點(diǎn)連線． 2．利用圖像變換法作函數(shù)的圖像 (1)平移變換 (2)對(duì)稱變換 ①y＝f(x)的圖像y＝－f(x)的圖像； ②y＝f(x)的圖像y＝f(－x)的圖像； ③y＝f(x)的圖像y＝－f(－x)的圖像； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖像y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像． (3)伸縮變換 ①y＝f(x)的圖像

2、y＝f(ax)的圖像； ②y＝f(x)的圖像 y＝af(x)的圖像． (4)翻轉(zhuǎn)變換 ①y＝f(x)的圖像y＝|f(x)|的圖像； ②y＝f(x)的圖像y＝f(|x|)的圖像． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖像，可由y＝f(－x)的圖像向左平移1個(gè)單位得到．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．(　　) (3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝f(|x|)的圖像與y＝|f(x)|的圖像相同．(　　) (4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x

3、)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)甲、乙二人同時(shí)從A地趕往B地，甲先騎自行車到兩地的中點(diǎn)再改為跑步，乙先跑步到中點(diǎn)再改為騎自行車，最后兩人同時(shí)到達(dá)B地．已知甲騎車比乙騎車的速度快，且兩人騎車速度均大于跑步速度．現(xiàn)將兩人離開(kāi)A地的距離s與所用時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系用圖像表示，則下列給出的四個(gè)函數(shù)圖像中，甲、乙的圖像應(yīng)該是(　　) ①　　　　　　?、凇　　　　　、邸　　　　　、? 圖2-7-1 A．甲是圖①，乙是圖② B．甲是圖①，乙是圖④ C．甲是圖③，乙是圖② D．甲是圖③，乙是圖④

4、B　[設(shè)甲騎車速度為V甲騎，甲跑步速度為V甲跑，乙騎車速度為V乙騎，乙跑步速度為V乙跑，依題意V甲騎＞V乙騎＞V乙跑＞V甲跑，故選B.] 3．函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)＝(　　) A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 D　[依題意，與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線是y＝e－x，于是f(x)相當(dāng)于y＝e－x向左平移1個(gè)單位的結(jié)果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.] 4．(20xx·浙江高考)函數(shù)y＝sin x2的圖像是(　　) D　[∵y＝sin(－x)2＝sin x2， ∴函數(shù)為偶函數(shù)，

5、可排除A項(xiàng)和C項(xiàng)；當(dāng)x＝時(shí)，sin x2＝sin ≠1，排除B項(xiàng)，故選D.] 5．若關(guān)于x的方程|x|＝a－x只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962067】 (0，＋∞)　[在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖像，如圖所示．由圖像知當(dāng)a＞0時(shí)，方程|x|＝a－x只有一個(gè)解．] 作函數(shù)的圖像 　作出下列函數(shù)的圖像： (1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1. [解]　(1)先作出y＝x的圖像，保留y＝x圖像中x≥0的部分，再作出y＝x的圖像中x＞0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱

6、部分，即得y＝|x|的圖像，如圖①實(shí)線部分. 3分 ①　　　　　　　　　　?、? (2)將函數(shù)y＝log2x的圖像向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖像，如圖②. 6分 (3)∵y＝2＋，故函數(shù)圖像可由y＝圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖③. 9分 ③　　　　　　　　　　　④ (4)∵y＝且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖像，再根據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖像，得圖像如圖④. 12分 [規(guī)律方法]　畫函數(shù)圖像的一般方法 (1)直接法．當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)

7、，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出； (2)圖像變換法．若函數(shù)圖像可由某個(gè)基本函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖像變換作出． 易錯(cuò)警示：注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響． [變式訓(xùn)練1]　分別畫出下列函數(shù)的圖像： (1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|. [解]　(1)∵y＝|lg x|＝ ∴函數(shù)y＝|lg x|的圖像，如圖①. 6分 (2)當(dāng)x≥0時(shí)，y＝sin|x|與y＝sin x的圖像完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，其圖像如圖②. 12分 識(shí)圖與辨圖 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)y＝2x2－e

8、|x|在[－2,2]的圖像大致為(　　) (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)如圖2-7-2，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖像大致為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962068】 圖2-7-2 A　　　　　B　　　　　C　　　　　D (1)D　(2)B　[(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函數(shù)，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.設(shè)g(x)＝2x2－ex，則g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0

9、，∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，排除C.故選D. (2)當(dāng)點(diǎn)P沿著邊BC運(yùn)動(dòng)，即0≤x≤時(shí)， 在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x， 在Rt△PAB中，|PA|＝＝， 則f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，它不是關(guān)于x的一次函數(shù)，圖像不是線段，故排除A和C； 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即x＝時(shí)，由上得f＝＋tan＝＋1，又當(dāng)點(diǎn)P與邊CD的中點(diǎn)重合，即x＝時(shí)，△PAO與△PBO是全等的腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.綜上，選B.]

10、[規(guī)律方法]　函數(shù)圖像的識(shí)辨可從以下方面入手： (1)從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置； (2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢(shì)； (3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對(duì)稱性； (4)從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù)； (5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖像． [變式訓(xùn)練2]　(1)已知函數(shù)f(x)的圖像如圖2-7-3所示，則f(x)的解析式可以是(　　) 圖2-7-3 A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－ (2)(20xx·河南平頂山二模)函數(shù)y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的圖像如圖2

11、-7-4所示，那么函數(shù)y＝logb(x－a)的圖像可能是(　　) 圖2-7-4 (1)A　(2)C　[(1)由函數(shù)圖像可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，應(yīng)排除B，C.若函數(shù)為f(x)＝x－，則x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，排除D，故選A. (2)由題圖可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，則y＝logb(x－a)是增函數(shù)，排除A和B；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故選C.] 函數(shù)圖像的應(yīng)用 ?角度1　研究函數(shù)的性質(zhì) 　已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962069】 A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0

12、，＋∞) B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1) C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1) D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0) C　[將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值得f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，觀察圖像可知，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上遞減．] ?角度2　確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 　已知f(x)＝則函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 5　[方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝或1.作出y＝f(x)的圖像， 由圖像知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.] ?角度

13、3　求參數(shù)的值或取值范圍 　(20xx·浙江杭州五校聯(lián)盟一診)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y＝f(x)的圖像上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱(P，Q)是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”(點(diǎn)組(P，Q)與(Q，P)看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”)．已知函數(shù)f(x)＝有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，0)　　　 B．(0,1) C. D．(0，＋∞) B　[根據(jù)題意可知，“伙伴點(diǎn)組”的點(diǎn)滿足： 都在函數(shù)圖像上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱． 可作出函數(shù)y＝－ln(－x)(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)y＝ln x(x>0)的圖像， 使它與直線y＝kx－1

14、(x>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2即可． 當(dāng)直線y＝kx－1與y＝ln x的圖像相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(m，ln m)，又y＝ln x的導(dǎo)數(shù)為y′＝， 即km－1＝ln m，k＝，解得m＝1，k＝1， 可得函數(shù)y＝ln x(x>0)的圖像過(guò)(0，－1)點(diǎn)的切線的斜率為1， 結(jié)合圖像可知k∈(0,1)時(shí)兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．故選B.] 角度4　求不等式的解集 　函數(shù)f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數(shù)，其在[0,4]上的圖像如圖2-7-5所示，那么不等式＜0的解集為_(kāi)_______． 圖2-7-5 ∪　[在上，y＝cos x＞0，在上，y＝cos x＜0. 由f(x)的圖像知在上＜0

15、， 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，y＝cos x也是偶函數(shù)， 所以y＝為偶函數(shù)， 所以＜0的解集為∪.] [規(guī)律方法]　函數(shù)圖像應(yīng)用的常見(jiàn)題型與求解方法 (1)研究函數(shù)性質(zhì)： ①根據(jù)已知或作出的函數(shù)圖像，從最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值． ②從圖像的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性． ③從圖像的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性． ④從圖像與x軸的交點(diǎn)情況，分析函數(shù)的零點(diǎn)等． (2)研究方程根的個(gè)數(shù)或由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合求解． (3)研究不等式的解：當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解，但

16、其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像可作出時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解． [思想與方法] 1．識(shí)圖：對(duì)于給定函數(shù)的圖像，要從圖像的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖像與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系． 2．用圖：借助函數(shù)圖像，可以研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)．利用函數(shù)的圖像，還可以判斷方程f(x)＝g(x)的解的個(gè)數(shù)，求不等式的解集等． [易錯(cuò)與防范] 1．圖像變換是針對(duì)自變量x而言的，如從f(－2x)的圖像到f(－2x＋1)的圖像是向右平移個(gè)單位，先作如下變形f(－2x＋1)＝f，可避免出錯(cuò)． 2．明確一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱與兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的不同，前者是自身對(duì)稱，且為偶函數(shù)，后者是兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系． 3．當(dāng)圖形不能準(zhǔn)確地說(shuō)明問(wèn)題時(shí)，可借助“數(shù)”的精確，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．