新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 文 北師大版
《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 文 北師大版(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [考綱傳真] 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第69頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.等差數(shù)列的概念 (1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就為等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式:an+1-an=d(n∈N+,d為常數(shù)),或an-an-1=d(n≥2,d為常數(shù)). (2)如果在a與b中
2、間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項(xiàng),即A=. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 (1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)D. 通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(m,n∈N+), (2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn==na1+d(其中n∈N+,a1為首項(xiàng),d為公差,an為第n項(xiàng)). 3.等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和. (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則有am+an=ap+aq. (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性:當(dāng)d>0
3、時(shí),{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),{an}是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),{an}是常數(shù)列. (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為md的等差數(shù)列. (4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列. 4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn=n2+n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)). [知識(shí)拓展] 1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則Sn有最大值,即所有正項(xiàng)之和最大,若a1<0,d>0,則Sn有最小值,即所有負(fù)項(xiàng)之和最?。? 2.兩個(gè)等
4、差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則有=. 3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列也是等差數(shù)列. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.( ) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2. ( ) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.( ) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).( ) [答案] (1)× (2)√ (3)
5、√ (4)× 2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=6,a3=0,則公差d等于( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 D [依題意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2,故選D.] 3.(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 A [a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5==5a3=5.] 4.(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=( ) A.100 B.99
6、 C.98 D.97 C [法一:∵{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 又∵a10=8,∴∴ ∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C. 法二:∵{an}是等差數(shù)列, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 在等差數(shù)列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差數(shù)列,且公差d′=a10-a5=8-3=5. 故a100=a5+(20-1)×5=98.故選C.] 5.(教材改編)在100以?xún)?nèi)的正整數(shù)中有__________個(gè)能被6整除的數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090161】
7、 16 [由題意知,能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}, 則a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n≤100,即n≤16=16, 則在100以?xún)?nèi)有16個(gè)能被6整除的數(shù).] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第70頁(yè)) 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 (1)(20xx·鄭州模擬)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=( ) A. B. C.10 D.12 (2)(20xx·昆明模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m=( ) 【導(dǎo)學(xué)
8、號(hào):00090162】 A.9 B.10 C.11 D.15 (1)B (2)B [(1)∵公差為1, ∴S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6. ∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=, ∴a10=a1+9d=+9=. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意 解得 ∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.] [規(guī)律方法] 1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知三求二,體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用. 2.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用,而
9、a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知和未知是常用方法,稱(chēng)為基本量法. [變式訓(xùn)練1] (1)(20xx·婁底模擬)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列,若81是該數(shù)列中的一項(xiàng),則公差不可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=-9,則S16=__________. (1)B (2)-72 [(1)∵數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列,∴an=1+(n-1)d, ∵81是該數(shù)列中的一項(xiàng),∴81=1+(n-1)d, ∴n=+1, ∵d,n∈N*,
10、∴d是80的因數(shù),故d不可能是3.故選B. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d, 由已知,得 解得 ∴S16=16×3+×(-1)=-72.] 等差數(shù)列的判定與證明 已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列. (2)求數(shù)列{an}中的通項(xiàng)公式an. [解] (1)證明:因?yàn)閍n=2-(n≥2,n∈N*), bn=. 所以n≥2時(shí),bn-bn-1=- =-=-=1. 5分 又b1==-, 所以數(shù)列{bn}是以-為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列
11、. 7分 (2)由(1)知,bn=n-, 9分 則an=1+=1+. 12分 [規(guī)律方法] 1.等差數(shù)列的四種判斷方法: (1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(解答題) (2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.(解答題) (3)通項(xiàng)公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(小題) (4)前n項(xiàng)和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(小題) 2.用定義證明等差數(shù)列時(shí),常采用兩個(gè)式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上
12、“n≥2”,否則n=1時(shí),a0無(wú)定義. [變式訓(xùn)練2] (1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列,則{a2n-1+2a2n}是( ) A.公差為3的等差數(shù)列 B.公差為4的等差數(shù)列 C.公差為6的等差數(shù)列 D.公差為9的等差數(shù)列 (2)在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數(shù)列的通項(xiàng)為( ) A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n= C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n= (1)B (2)A [(1)an=n+a1-1 ∴a2n-1=2n+a1-2,a2n=2n+a1-1 ∴a2n-1+2a2n=4n+2a1-3 因此數(shù)列{a2n-1+2an}是公差為4的等差
13、數(shù)列,故選B. (2)由已知式=+可得-=-,知是首項(xiàng)為=1,公差為-=2-1=1的等差數(shù)列,所以=n,即an=.] 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 (1)(20xx·江西紅色七校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若2a7=5+a9,則S9的值為( ) A.27 B.36 C.45 D.54 (2)(20xx·洛陽(yáng)統(tǒng)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27 (3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=-2 014,-=6,則S2 017=_____
14、___. (1)C (2)B (3)4 034 [(1)由2a7=5+a9得a5+a9=5+a9,所以a5=5,所以S9==9a5=45. (2)由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列. 即2(S6-S3)=S3+(S9-S6), 得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45,故選B. (3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列. 設(shè)其公差為D.則-=6d=6,∴d=1. 故=+2 016d=-2 014+2 016=2, ∴S2 017=2×2 017=4 034.] [規(guī)律方法] 應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn) (
15、1)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q=2k(m、n、p、q、k∈N*),則am+an=ap+aq=2ak是常用的性質(zhì). (2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì),悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法,認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征,這是解題的突破口. [變式訓(xùn)練3] (1)在等差數(shù)列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S11=( ) A.18 B.99 C.198 D.297 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=10,S10=30,則S15=( ) A.60 B.70 C.90 D.40 (3)(20xx·佛山模
16、擬)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090163】 (1)B (2)A (3)10 [(1)由a3+a9=27-a6得2a6=27-a6,所以a6=9 所以S11==11a6=99. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,所以S5,S10-S5,S15-S10也成等差數(shù)列,設(shè)S15=x,則10,20,x-30成等差數(shù)列,所以2×20=10+(x-30),所以x=60,即S15=60. (3)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a
17、7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.] 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值 (1)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-10(n∈N*),則|a1|+|a2|+…+|a15|=________. (2)等差數(shù)列{an}中,設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和,且a1>0,S3=S11,則當(dāng)n為多少時(shí),Sn取得最大值. (1)130 [由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,又由an=2n-10≥0得n≥5,∴n≤5時(shí),an≤0,當(dāng)n>5時(shí),an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=S15-2S5=130.] (2)法一:由S3=S11,
18、可得3a1+d=11a1+d, 4分 即d=-a1. 7分 從而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1, 因?yàn)閍1>0,所以-<0. 9分 故當(dāng)n=7時(shí),Sn最大. 12分 法二:由法一可知,d=-a1. 要使Sn最大,則有 5分 即 9分 解得6.5≤n≤7.5,故當(dāng)n=7時(shí),Sn最大. 12分 法三:由S3=S11,可得2a1+13d=0, 即(a1+6d)+(a1+7d)=0, 5分 故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0, 9分 所以a7>0,a8<0,所以當(dāng)n=7時(shí),Sn最大. 12分 [規(guī)律方法] 求等差
19、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法 1.函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn=an2+bn,通過(guò)配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解. 2.鄰項(xiàng)變號(hào)法: (1)當(dāng)a1>0,d<0時(shí),滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm; (2)當(dāng)a1<0,d>0時(shí),滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. [變式訓(xùn)練4] (1)(20xx·孝義模擬)在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使Sn達(dá)到最大值的n是( ) A.21 B.20 C.19 D.18 (2)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為-3,前三項(xiàng)
20、的積為8. ①求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; ②若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090164】 B [(1)因?yàn)閍1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,所以a3=35,a4=33,所以d=-2,a1=39.由an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n≥0,解得n≤,所以當(dāng)n=20時(shí)Sn達(dá)到最大值,故選B.] (2)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則a2=a1+d,a3=a1+2D. 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5或a
21、n=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7. ②當(dāng)an=-3n+5時(shí),a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列; 當(dāng)an=3n-7時(shí),a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿(mǎn)足條件. 故|an|=|3n-7|= 記數(shù)列{3n-7}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn==n2-n 當(dāng)n≤2時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-n2+n 當(dāng)n≥3時(shí),Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+an)=Sn-2S2=n2-n+10 綜上知:Tn=
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