新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練20　解三角形的應(yīng)用舉例

《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練20　解三角形的應(yīng)用舉例》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練20　解三角形的應(yīng)用舉例（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 課時(shí)規(guī)范練20　解三角形的應(yīng)用舉例 一、選擇題 1.有一長(zhǎng)為1的斜坡,它的傾斜角為20°,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10°,則斜坡長(zhǎng)為(　　) A.1 B.2sin 10° C.2cos 10° D.cos 20° 答案:C 2.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 答案:B 3.在某次測(cè)量中,在A處測(cè)得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是50°,且到A的距離為2,C點(diǎn)的俯角為70°,且到A的距離為3,則B,C間的距

2、離為(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:∵∠BAC=120°,AB=2,AC=3, ∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos 120°=19. ∴BC=. 4.在地上畫了一個(gè)角∠BDA=60°,某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā),沿角的一邊DA行走10米后,拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)∠BDA的另一邊BD上的一點(diǎn),我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N,則N與D之間的距離為(　　) A.14米 B.15米 C.16米 D.17米 答案:C 解析:如圖,設(shè)DN=x米, 則142=102+x2-2×10×xcos 60°, ∴x2-10x-

3、96=0. ∴(x-16)(x+6)=0. ∴x=16或x=-6(舍去). ∴N與D之間的距離為16米.[來(lái)源:] 5.如圖,為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°,再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測(cè)得∠BDC=45°,則塔AB的高是(　　) A.10米 B.10米 C.10米 D.10米 答案:D 解析:在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,,BC==10. 在Rt△ABC中,tan 60°=, AB=BCtan 60°=10. 6.一個(gè)大型

4、噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是(　　) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m[來(lái)源:] 答案:A 解析:設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h, 根據(jù)余弦定理得(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0, 即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m. 二

5、、填空題 7.一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到達(dá)B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向,這時(shí)船與燈塔的距離為　　　　　km.? 答案:30 解析:如圖所示,依題意有AB=15×4=60(km),∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得,解得BM=30(km). 8.如圖,在坡角為15°的體育場(chǎng)看臺(tái)上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°,且座位A,B的距離為10米,則旗桿的高度為　　　　　米.? 答案:30

6、 解析:由題可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得,解得AN=20(米).在Rt△AMN中,MN=20sin 60°=30(米).故旗桿的高度為30米. 9.如圖,在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100米到達(dá)B后,又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對(duì)于地平面的坡角為θ,則cos θ=　　　　　.? 答案:-1 解析:在△ABC中,BC==50(), 在△BCD中,sin∠BDC=-1, 由圖知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1. 10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的頂

7、點(diǎn)A(-5,0)和C(5,0),頂點(diǎn)B在橢圓=1上,則=　　　　　.? 答案: 解析:由正弦定理知,其中a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),由題易知b=10,a+c=12, 所以. 11.如圖,一船在海上自西向東航行,在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角,前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當(dāng)α與β滿足條件　　　　　時(shí),該船沒有觸礁危險(xiǎn).? 答案:mcos αcos β>nsin(α-β) 解析:由題可知,在△ABM中,根據(jù)正弦定理得,解得BM=,要使該船沒有觸礁危險(xiǎn)需滿足BMsin(90°-β)=>n,所以當(dāng)α

8、與β的關(guān)系滿足mcos αcos β>nsin(α-β)時(shí),該船沒有觸礁危險(xiǎn). 三、解答題 12.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,求B,C兩點(diǎn)間的距離. 解:如圖所示,由已知條件可得∠CAB=30°,∠ABC=105°,即AB=40×=20(海里). 故∠BCA=45°. 又由正弦定理可得, 因此,BC==10(海里). 13.如圖所示,某海域內(nèi)一觀測(cè)站A,如圖所示,某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東50°且與

9、A相距80海里的位置B,經(jīng)過(guò)1小時(shí)又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東50°+θ,0°<θ<90°且與A相距60海里的位置C. (1)求該船的行駛速度; (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛,求船在行駛過(guò)程中離觀測(cè)站A的最近距離. 解:(1)如圖,AB=80海里,AC=60海里,∠BAC=θ,sin θ=. 由于0°<θ<90°, 所以cos θ=. 由余弦定理得BC==40(海里), 所以船的行駛速度為40海里/時(shí).[來(lái)源:] (2)在△ABC中,由正弦定理得, 所以sin B=, 過(guò)A作BC的垂線,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則AD的長(zhǎng)是船離觀測(cè)站的最近距離. 在Rt△A

10、BD中,AD=AB·sin B=80×=15(海里). 故船在行駛過(guò)程中離觀測(cè)站A的最近距離為15海里.[來(lái)源:] 14.如圖,攝影愛好者在某公園A處,發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱,測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°,已知攝影愛好者的身高約為米(將眼睛S距地面的距離SA按米處理). (1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB. (2)立柱的頂端有一長(zhǎng)為2米的彩桿MN,且MN繞其中點(diǎn)O在攝影愛好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻,攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN(設(shè)為θ)是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出∠MSN取最大值時(shí)cos θ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)

11、明理由. 解:(1)如圖,作SC⊥OB于C,依題意∠CSB=30°,∠ASB=60°. 又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3(米), 即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米. 在Rt△SCO中,SC=3米,∠CSO=30°,OC=SC·tan 30°=米, 又BC=SA=米,故OB=2米,即立柱的高度OB為2米. (2)存在.∵cos∠MOS=-cos∠NOS, ∴=-. 于是得SM2+SN2=26,從而cos θ=. 又∠MSN為銳角,故當(dāng)視角∠MSN取最大值時(shí),cos θ=. 四、選做題 1.如圖所示,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的

12、B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救,甲船立即前往營(yíng)救,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船,乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處營(yíng)救,則sin θ的值為(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:連接BC.在△ABC中,AC=10,AB=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos 120°=700,∴BC=10,再由正弦定理,得,∴sin∠ACB=.∴cos∠ACB=.[來(lái)源:] ∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=. 2.如圖,在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ,沿BE方向前進(jìn)30米至C處測(cè)得頂端A

13、的仰角為2θ,再繼續(xù)前進(jìn)10米至D處,測(cè)得頂端A的仰角為4θ,則θ的值為　　　　　.? 答案:15° 解析:由條件知△ADC中,∠ACD=2θ,∠ADC=180°-4θ, AC=BC=30,AD=CD=10, 則由正弦定理得,∴, ∴cos 2θ=.∵2θ為銳角,∴2θ=30°,∴θ=15°. 3.某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米后,望見塔在東北方向,若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30°,求塔高. 解:依題意畫出圖, 某人在C處,AB為塔高,他沿CD前進(jìn),CD=40米,此時(shí)∠DBF=45°, 從C到D沿途測(cè)塔的仰角,只有B到測(cè)試點(diǎn)的距離最短時(shí),仰角才最大,這是因?yàn)閠an∠AEB=,AB為定值,BE最小時(shí),仰角最大.要求出塔高AB,必須先求BE,而要求BE,需先求BD(或BC). 在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°. 由正弦定理,得, ∴BD==20. 在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°, BE=BDsin 15°=20=10(-1)(米). 在Rt△ABE中,∠AEB=30°, ∴AB=BEtan 30°=(3-)(米). ∴所求的塔高為(3-)米.