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1、
課時提升作業(yè)(三十)
一、選擇題
1.已知數(shù)列11×2,12×3,13×4,…,1n(n+1),…,下面各數(shù)中是此數(shù)列中的項的是 ( )
(A)135 (B)142 (C)148 (D)154
2.由a1=1,an+1=an3an+1,給出的數(shù)列{an}的第34項為 ( )
(A)34103 (B)100
(C)1100 (D)1104
3.(20xx·南昌模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2-2n+1,則a3= ( )
(A)-1 (B)-2 (C)-4 (D)-8
4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2
2、-3n+1,則a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10的值為 ( )
(A)150 (B)161 (C)160 (D)171
5.(20xx·西安模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N+),則a3a5的值是
( )
(A)1516 (B)158 (C)34 (D)38
6.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),則an= ( )
(A)2+lnn (B)2+(n-1)lnn
(C)2+nlnn (D)1+n+lnn
7.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n,第k項滿足
3、50,y>0),已知數(shù)列{an}滿足:an=F(n,2)F(2,n)(n∈N+),若對任意正整數(shù)n,都有an≥ak(k∈N+)成立,則ak的值為 ( )
(A)89 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空題
9.數(shù)列-12,34,-78,1516,…的一個通項公式可以是 .
10.數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N+),則數(shù)列{an}的通項公式是 .
11.(20xx·贛州模擬)已知
4、數(shù)列{an}滿足a1=12,an-1-an=anan-1n(n-1)(n≥2),則該數(shù)列的通項公式an= .
12.(能力挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列{an}滿足:a1=m(m為正整數(shù)),an+1=an2,當(dāng)an為偶數(shù)時,3an+1,當(dāng)an為奇數(shù)時.若a6=1,則m所有可能的值為 .
三、解答題
13.已知數(shù)列{an}滿足前n項和Sn=n2+1,數(shù)列{bn}滿足bn=2an+1,且前n項和為Tn,設(shè)cn=T2n+1-Tn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.
(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性.
14.(能力挑戰(zhàn)題)解答下列各題:
(1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=can+
5、cn+1(2n+1)(n∈N+),其中實數(shù)c≠0.求{an}的通項公式.
(2)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=3an+2n+1(n∈N+),求{an}的通項公式.
15.(20xx·廣東高考)設(shè)數(shù)列{an}前n項和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N+.
(1)求a1的值.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
答案解析
1.【解析】選B.∵42=6×7,故選B.
2.【解析】選C.把遞推式取倒數(shù)得1an+1=1an+3,
所以1a34=1a1+3×(34-1)=100,
所以a34=1100.
3.【解析】選D.a3=S3-S2
6、=-14-(-6)=-8.
4.【解析】選B.S10-S3=(2×102-3×10+1)-(2×32-3×3+1)=161.
5.【解析】選C.當(dāng)n=2時,a2·a1=a1+(-1)2,∴a2=2.
當(dāng)n=3時,a3a2=a2+(-1)3,∴a3=12.
當(dāng)n=4時,a4a3=a3+(-1)4,∴a4=3.
當(dāng)n=5時,a5a4=a4+(-1)5,∴a5=23,∴a3a5=34.
6.【思路點撥】根據(jù)遞推式采用“疊加”方法求解.
【解析】選A.∵an+1=an+ln(1+1n)=an+lnn+1n=an+ln(n+1)-lnn,
∴a2=a1+ln2,a3=a2+ln3-ln2
7、,…,an=an-1+lnn-ln(n-1),
將上面n-1個式子左右兩邊分別相加得an=a1+ln2+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+[lnn-ln(n-1)]=a1+lnn=2+lnn.
7.【解析】選B.an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2,
即an=-8,n=1,-10+2n,n≥2.
∵n=1時也適合an=2n-10,∴an=2n-10.
∵5
8、1,只有當(dāng)n=1,2時,2n2<(n+1)2,當(dāng)n≥3時,2n2>(n+1)2,即當(dāng)n≥3時,an+1>an,故數(shù)列{an}中的最小項是a1,a2,a3中的較小者,a1=2,a2=1,a3=89,故ak的值為89.
9.【解析】正負(fù)相間使用(-1)n,觀察可知第n項的分母是2n,分子比分母的值少1,故an=(-1)n2n-12n.
答案：an=(-1)n2n-12n
10.【思路點撥】根據(jù)an和Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)換an+1=2Sn+1(n≥1)為an+1與an的關(guān)系或者Sn+1與Sn的關(guān)系.
【解析】方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an
9、=2an,an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,
∴a2=3a1,故{an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,
∴an=3n-1.
方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,
an+1=2Sn+1,
所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,
把這個關(guān)系化為Sn+1+12=3(Sn+12),
即得數(shù)列{Sn+12}為首項是S1+12=32,
公比是3的等比數(shù)列,故Sn+12=32×3n-1=12×3n,
故Sn=12×3n-12.
所以,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-1,
由n=1時a1=1也適合這個公式,知所求的數(shù)列{an}的通項公式是
10、an=3n-1.
答案：an=3n-1
【方法技巧】an和Sn關(guān)系的應(yīng)用技巧
在根據(jù)數(shù)列的通項an與前n項和的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式時,要考慮兩個方面,一個是根據(jù)Sn+1-Sn=an+1把數(shù)列中的和轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項之間的關(guān)系;一個是根據(jù)an+1=Sn+1-Sn把數(shù)列中的通項轉(zhuǎn)化為前n項和的關(guān)系,先求Sn再求an.
11.【解析】由遞推公式變形,得
1an-1an-1=1n(n-1)=1n-1-1n,
則1a2-1a1=1-12,1a3-1a2=12-13,…,
1an-1an-1=1n-1-1n,
各式相加得1an-1a1=1-1n,
即1an=3n-1n,
∴an=n3n
11、-1.
答案：n3n-1
12.【解析】根據(jù)遞推式以及a1=m(m為正整數(shù))可知數(shù)列{an}中的項都是正整數(shù).
a6=1,若a6=a52,則a5=2,若a6=3a5+1,則a5=0,故只能是a5=2.
若a5=a42,則a4=4,若a5=3a4+1,則a4=13,故只能是a4=4.
若a4=a32,則a3=8,若a4=3a3+1,則a3=1.
(1)當(dāng)a3=8時,若a3=a22,則a2=16,若a3=3a2+1,則a2=73,故只能是a2=16,若a2=a12,則a1=32,若a2=3a1+1,則a1=5.
(2)當(dāng)a3=1時,若a3=a22,則a2=2,若a3=3a2+1,則
12、a2=0,故只能是a2=2.
若a2=a12,則a1=4,若a2=3a1+1,則a1=13,故只能是a1=4.
綜上所述:a1的值,即m的值只能是4或5或32.
答案：4或5或32
【變式備選】已知數(shù)列{an}中,a1=12,an+1=1-1an(n≥2),則a16= .
【解析】由題可知a2=1-1a1=-1,a3=1-1a2=2,a4=1-1a3=12,∴此數(shù)列為循環(huán)數(shù)列,a1=a4=a7=a10=a13=a16=12.
答案：12
13.【解析】(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).
∴bn=1n,n≥2,n∈N+,23,n=1.
(2)∵cn=
13、bn+1+bn+2+…+b2n+1
=1n+1+1n+2+…+12n+1,
∴cn+1-cn=12n+2+12n+3-1n+1
=-n-1(2n+2)(2n+3)(n+1)<0,
∴{cn}是遞減數(shù)列.
14.【解析】(1)由原式得an+1cn+1=ancn+(2n+1).令bn=ancn,
則b1=1c,bn+1=bn+(2n+1),
因此對n≥2有bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1c=n2-1+1c,
因此an=(n2-1)cn+cn-1,n≥2.
又當(dāng)n=1時上式成立.
因此an=(n
14、2-1)cn+cn-1,n∈N+.
(2)兩端同除以2n+1得,an+12n+1=32·an2n+1,
即an+12n+1+2=32(an2n+2),
即數(shù)列{an2n+2}是首項為a121+2=52,公比為32的等比數(shù)列,
故an2n+2=52×(32)n-1,即an=5×3n-1-2n+1.
15.【解析】(1)當(dāng)n=1時,T1=2S1-1.
因為T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,求得a1=1.
(2)當(dāng)n≥2時,Sn=Tn-Tn-1
=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]
=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1?、?
所以Sn+1=2Sn+2n+1 ②,
②-①得an+1=2an+2,
所以an+1+2=2(an+2),
即an+1+2an+2=2(n≥2),
求得a1+2=3,a2+2=6,則a2+2a1+2=2.
所以{an+2}是以3為首項,2為公比的等比數(shù)列,
所以an+2=3·2n-1,
所以an=3·2n-1-2,n∈N+.
新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五章 第一節(jié)
