新編高三數(shù)學(xué) 第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí)

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1、 第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用 訓(xùn)練目標(biāo) (1)函數(shù)模型應(yīng)用；(2)審題及建模能力培養(yǎng)． 訓(xùn)練題型 函數(shù)應(yīng)用題． 解題策略 (1)抓住變量間的關(guān)系，準(zhǔn)確建立函數(shù)模型；(2)常見函數(shù)模型：一次函數(shù)、二次函數(shù)模型；指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型；y＝ax＋型函數(shù)模型. 1.為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為： y＝x2－200x＋80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的

2、化工產(chǎn)品價(jià)值為100元． 該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？ 2．某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸． (1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 3．(20xx·濰坊檢測(cè))在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無(wú)債務(wù))致富，企業(yè)甲將

3、經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)．在甲提供的資料中：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；②該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示；③每月需各種開支2 000元． (1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額； (2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？ 4.某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國(guó)內(nèi)和國(guó)外上市銷售，并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷

4、進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完．公司對(duì)銷售及銷售利潤(rùn)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國(guó)外和國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖③是每件樣品的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系． (1)分別寫出國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量f(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系及國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量g(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系； (2)國(guó)外和國(guó)內(nèi)的日銷售利潤(rùn)之和有沒(méi)有可能恰好等于6 300萬(wàn)元？若有，請(qǐng)說(shuō)明是上市后的第幾天；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由． 5．(20xx·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，

5、記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型． (1)求a，b的值； (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. ①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域； ②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．  答案精析 1．解　設(shè)該單位每月獲利為S元， 則S＝100x－

6、y＝100x－ ＝－x2＋300x－80 000 ＝－(x－300)2－35 000， 因?yàn)?00≤x≤600， 所以當(dāng)x＝400時(shí)，S有最大值－40 000. 故該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40 000元，才能不虧損． 2．解　(1)每噸平均成本為(萬(wàn)元)． 則＝＋－48≥2 －48＝32，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時(shí)取等號(hào)． ∴當(dāng)年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸產(chǎn)品的平均成本最低為32萬(wàn)元． (2)設(shè)當(dāng)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元， 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在

7、[0,210]上是增函數(shù)， ∴當(dāng)x＝210時(shí)，R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴當(dāng)年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1 660萬(wàn)元． 3．解　設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng)， 則由題設(shè)得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，① 由銷量圖易得Q＝ 代入①式得 L＝ (1)當(dāng)14≤P≤20時(shí)，Lmax＝450元，此時(shí)P＝19.5元； 當(dāng)20

8、20年后脫貧． 4．解　(1)圖①是兩條線段，由一次函數(shù)及待定系數(shù)法， 得f(t)＝ 圖②是一個(gè)二次函數(shù)的部分圖象， 故g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)． (2)每件樣品的銷售利潤(rùn)h(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為h(t)＝ 故國(guó)外和國(guó)內(nèi)的日銷售利潤(rùn)之和F(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為 F(t)＝ 當(dāng)0≤t≤20時(shí)，F(xiàn)(t)＝3t＝－t3＋24t2， ∴F′(t)＝－t2＋48t＝t≥0， ∴F(t)在[0,20]上是增函數(shù)， ∴F(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)＝6 000<6 300. 當(dāng)20

9、t＋2 100＝0， 解得t＝(舍去)或t＝30. 當(dāng)300，g(t)是增函數(shù)． 從而，當(dāng)t＝10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值， 所以g(t)min＝300，此時(shí)f(t)min＝15. 答　當(dāng)t＝10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米．