新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第5節(jié)　三角恒等變換

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1、 第5節(jié)　三角恒等變換 課時訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細表】 知識點、方法 題號 三角函數(shù)式的化簡與求值 1、4 給值求值問題 3、5、6、10、13、14 給值求角問題 7、8、10 綜合問題 2、9、11、12、15 A組 一、選擇題 1.計算sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值為(　B　) (A)-22 (B)22 (C)32 (D)1 解析:sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°= sin 68°cos 23°-cos 68°sin

2、 23°= sin(68°-23°)=sin 45°=22. 故選B. 2.(20xx惠州模擬)函數(shù)f(x)=1-2sin2x是(　D　) (A)最小正周期為2π的奇函數(shù) (B)最小正周期為2π的偶函數(shù) (C)最小正周期為π的奇函數(shù) (D)最小正周期為π的偶函數(shù) 解析:f(x)=1-2sin2x=cos 2x, ∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù),故選D. 3.(20xx淄博模擬)已知cos(α-π4)=24,則sin 2α等于(　D　) (A)24 (B)-24 (C)34 (D)-34 解析:法一　∵cos(α-π4)=24, ∴22cos α+22sin α=2

3、4, ∴cos α+sin α=12, ∴1+sin 2α=14, ∴sin 2α=-34. 故選D. 法二　sin 2α=cos(2α-π2) =2cos2(α-π4)-1 =2×(24)2-1 =-34. 故選D. 4.化簡sin235°-12cos10°cos80°等于(　C　) (A)-2 (B)-12 (C)-1 (D)1 解析:sin235°-12cos10°cos80°=1-cos 70°2-12cos10°sin10°=-12cos 70°12sin 20°=-1. 故選C. 5.當(dāng)-π2≤x≤π2時,函數(shù)f(x)=sin x+3cos x的(　D　

4、) (A)最大值是1,最小值是-1 (B)最大值是1,最小值是-12 (C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1 解析:f(x)=2sin(x+π3), ∵-π2≤x≤π2, ∴-π6≤x+π3≤5π6, ∴-1≤2sin(x+π3)≤2. 故選D. 二、填空題 6.(高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角,若tan(θ+π4)=12,則sin θ+cos θ=　　　　.? 解析:因為θ為第二象限角, 所以π2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 因此34π+2kπ<θ+π4<54π+2kπ,k∈Z, 又tan(θ+π4)=12, 從而sin(θ

5、+π4)<0. 所以sin(θ+π4)=-55, 所以sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)=-105. 答案:-105 7.sin α=35,cos β=35,其中α、β∈(0,π2),則α+β=　　　　.? 解析:∵sin α=35,cos β=35,α,β∈(0,π2), ∴cos α=45,sin β=45, ∴cos(α+β)=45×35-35×45=0. 又∵α+β∈(0,π), ∴α+β=π2. 答案:π2 8.設(shè)tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的兩根,0<α<π2,π<β<3π2,則α+β=　　　　.? 解析:∵tan α,tan

6、β是方程6x2-5x+1=0的兩根, ∴tan α+tan β=56,tan αtan β=16, ∴tan (α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1. ∵0<α<π2,π<β<3π2, ∴π<α+β<2π, ∴α+β=5π4. 答案:5π4 9.已知角α、β的頂點在坐標(biāo)原點,始邊與x軸的正半軸重合,α、β∈(0,π),角β的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)是-13,角α+β的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)是45,則cos α=　　　　.? 解析:依題設(shè)得, cos β=-13,∵0<β<π, ∴π2<β<π,sin β=223, 又∵sin(α+β)=45>0,0<α<

7、π, ∴π2<α+β<π, cos(α+β)=-35. ∴cos α=cos[(α+β)-β]= cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β =-35×-13+45×223 =3+8215. 答案:3+8215 三、解答題 10.(20xx洛陽模擬)已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2. (1)求tan 2α的值; (2)求β. 解:(1)由cos α=17,0<α<π2,得 sin α=1-cos2α=1-172=437. ∴tan α=sinαcosα=437×71=43, 于是tan 2α=2tanα1-tan2α

8、= 2×431-(43)2=-8347. (2)由0<β<α<π2,得0<α-β<π2, ∵cos(α-β)=1314, ∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-13142=3314. 由β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)]= cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= 17×1314+437×3314=12, 所以β=π3. 11.(20xx廣東深圳第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=2sin(πx6+π3) (0≤x≤5),點A、B分別是函數(shù)y=f(x)圖象上的最高點和最低點. (1)求點A、B的坐標(biāo)以及OA→·OB→的值;

9、(2)設(shè)點A、B分別在角α、β的終邊上,求tan(α-2β)的值. 解:(1)∵0≤x≤5, ∴π3≤πx6+π3≤7π6, ∴-12≤sin(πx6+π3)≤1. 當(dāng)πx6+π3=π2,即x=1時, Sin(πx6+π3)=1,f(x)取得最大值2; 當(dāng)πx6+π3=7π6,即x=5時, Sin(πx6+π3)=-12,f(x)取得最小值-1. 因此,點A、B的坐標(biāo)分別是A(1,2)、B(5,-1). ∴OA→·OB→=1×5+2×(-1)=3. (2)∵點A(1,2)、B(5,-1)分別在角α、β的終邊上, ∴tan α=2,tan β=-15. ∵tan 2β=2

10、×(-15)1-(-15)?2=-512, ∴tan(α-2β)=2-(-512)1+2×(-512)=292. 12.(20xx惠州市高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=sin (ωx+) (ω>0,0≤≤π)為偶函數(shù),周期為2π. (1)求f(x)的解析式; (2)若α∈(-π3,π2),f(α+π3)=13,求sin(2α+2π3)的值. 解:(1)∵T=2π,則ω=2πT=1. ∴f(x)=sin (x+). ∵f(x)是偶函數(shù),∴=kπ+π2(k∈Z), 又0≤≤π,∴=π2.則f(x)=cos x. (2)f(α+π3)=cos(α+π3)=13, ∵α∈(-π

11、3,π2),∴α+π3∈(0,5π6). 則sin(α+π3)=223. ∴sin(2α+2π3)=2sin(α+π3)cos(α+π3)=429. B組 13.若cos α=-45,α是第三象限的角,則1+tanα21-tanα2等于(　A　) (A)-12 (B)12 (C)2 (D)-2 解析:因為α是第三象限的角, 且cos α=-45, 所以sin α=-35. 1+tanα21-tanα2=sinα2+cosα2cosα2-sinα2 =1+sinαcosα =1-35-45=-12. 故選A. 14.(20xx贛州模擬)已知sin(α+π6)+cos α

12、=453,則cos(π6-α)的值為(　A　) (A)45 (B)35 (C)32 (D)35 解析:∵sin(α+π6)+cos α=453, ∴32sin α+12cos α+cos α=453, 即3×(12sin α+32cos α)=453, ∴sin(α+π3)=45, ∴cos(π6-α)=sin[π2-(π6-α)]=sin(α+π3)=45, 故選A. 15.設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+cos x,f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),若f(x)=2f′(x),則sin2x-sin2xcos2x=　　　　.? 解析:f′(x)=cos x-sin x,由f(x)=2f′(x)得 sin x+cos x=2cos x-2sin x,∴cos x=3sin x, 于是sin2x-sin2xcos2x=sin2x-2sinxcosxcos2x =sin2x-6sin2x9sin2x=-59. 答案:-59