11、解析 (x－)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cx6－r(－1)r·()r·x－2r＝Cx6－3r(－1)r·()r.
令6－3r＝0，得r＝2.
故C()2＝60，解得a＝4.
5．－
解析 n為正偶數(shù)，且第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故展開(kāi)式共7項(xiàng)，
n＝6，第4項(xiàng)系數(shù)為C3＝－.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr是(a＋b)n的展開(kāi)式的第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念，二項(xiàng)式系數(shù)是指C，r＝0,1,2，…，n，與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分．
(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，一般是根據(jù)通項(xiàng)公式所得到
12、的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這種類(lèi)型的問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解．若求二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，則其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)的方式一致．
解 (1)通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝Cxrx－
＝Crx，
因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r＝5時(shí)，有＝0，
即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，
∴所求的系數(shù)為C2＝.
(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得
令＝k (k∈Z)，則10－2r＝3k，
即r＝5－k，∵r∈N，∴k應(yīng)為偶數(shù)．
∴k可取2,0，－2，即r可取2
13、,5,8.
所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為
C2x2，C5，C8x－2.
變式遷移1 6
解析 展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝C·x20－r·(y)r
＝C·x20－r·yr·3.
由0≤r≤20，∈Z得r＝0,4,8,12,16,20.
所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有6項(xiàng)．
例2 解題導(dǎo)引 (1)在有關(guān)組合數(shù)的求和問(wèn)題中，經(jīng)常用到形如C＝C＝C，C＝C，kC＝nC等式子的變形技巧；
(2)利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式．求余數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)明確被除式f(x)、除式g(x)[g(x)≠0]、商式q(x)與余式的關(guān)系及余式的范圍．
(1)證明 方法
14、一 設(shè)S＝C＋2C＋3C＋…＋(n－1)·C＋nC， ①
∴S＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋2C＋C
＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋2C＋C， ②
①＋②得2S＝n(C＋C＋C＋…＋C＋C)＝n·2n.
∴S＝n·2n－1.原式得證．
方法二 ∵C＝·
＝＝C，∴kC＝nC.
∴左邊＝nC＋nC＋…＋nC
＝n(C＋C＋…＋C)
＝n·2n－1＝右邊．
(2)解 S＝C＋C＋…＋C＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1
＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1
＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2
＝9(C×98－C×97＋…＋C－
15、1)＋7，
顯然上式括號(hào)內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)．
故S被9除的余數(shù)為7.
變式遷移2 解 (1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n.
令x＝1得C＋C＋…＋C＋C＝22n；
再令x＝－1得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0.
兩式相加，再用C＝1，
得C＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1.
例3 解題導(dǎo)引 (1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)：如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)[第項(xiàng)]的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)[第項(xiàng)與第項(xiàng)]的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；
(2)求展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法．設(shè)展開(kāi)式各
16、項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用
解出r來(lái)，即得系數(shù)最大的項(xiàng)．
解 (1)令x＝1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為
f(1)＝(1＋3)n＝4n，
又展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.
由題意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5為奇數(shù)，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們分別是
T3＝C3(3x2)2＝90x6，
T4＝C2(3x2)3＝270x.
(2)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝C3r·x(5＋2r)．
假設(shè)Tr＋
17、1項(xiàng)系數(shù)最大，則有
∴
∴∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5＝405x.
變式遷移3 11,12,13
(1)解析 分三種情況：①若僅T7系數(shù)最大，則共有13項(xiàng)，n＝12；②若T7與T6系數(shù)相等且最大，則共有12項(xiàng)，n＝11；③若T7與T8系數(shù)相等且最大，則共有14項(xiàng)，n＝13，所以n的值可能等于11,12,13.
(2)解 (ⅰ)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，當(dāng)n＝7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.
∴T4的系數(shù)為C423＝，
T5的系數(shù)為C324＝70，
當(dāng)n＝14時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大的項(xiàng)是
18、T8.
∴T8的系數(shù)為C727＝3 432.
(ⅱ)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．
設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴∴9.4≤k≤10.4.
∴k＝10.
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)11，
T11＝12C410x10＝16 896x10.
課后練習(xí)區(qū)
1．5 2.－2 3.7 4.21
5．－121
解析 (1－x)5中x3的系數(shù)為－C＝－10，(1－x)6中x3的系數(shù)為－C＝－20，(1－x)7中x3的系數(shù)為－C＝－35，(1－x)8中x3的系數(shù)為－C＝－56.所以原式中x3的系數(shù)為－10－
19、20－35－56＝－121.
6．17
解析 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cx18－r(－)r＝(－1)r()rCx18－.
令18－＝15，解得r＝2.
∴含x15的項(xiàng)的系數(shù)為(－1)2()2C＝17.
7．－
解析 Tr＋1＝Cx6－rr·x－r
＝rC·x6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3.
∴常數(shù)項(xiàng)為T(mén)3＋1＝3C＝－.
8．4 351
解析 10＝10
＝C(1＋x)10＋C(1＋x)9＋C(1＋x)8＋C(1＋x)7＋C(1＋x)6＋…，
從第五項(xiàng)C(1＋x)6起，后面各項(xiàng)不再出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，前四項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)分別是C×C，C×C，C×C，C×C.
故原三項(xiàng)展
20、開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為
CC＋CC＋CC＋CC＝4 351.
9．解 (1)①令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. (3分)
②令x＝－1得，
a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，
兩式相加，得a0＋a2＋a4＝136. (6分)
③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，
得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝16－1＝15. (9分)
(2)證明 ∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9
＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8
21、n－9
＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C·8＋C·1)－8n－9
(12分)
＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋9·8n＋9－8n－9
＝9×82×(8n－2＋C·8n－3＋…＋C)＋64n
＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]，
顯然括號(hào)內(nèi)是正整數(shù)，
∴原式能被64整除． (14分)
10．證明 因?yàn)閚
＝C＋C·＋C·2＋C·3＋…＋C·n＝1＋1＋·＋·＋…＋·…. (4分)
所以2≤n
<2＋＋＋…＋ (7分)
<2＋＋＋…＋
＝2＋＋＋…＋
＝3－<3， (10分)
僅當(dāng)n＝1時(shí)，n＝2； (12分)
22、
當(dāng)n≥2時(shí)，2
新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第11章學(xué)案2
