新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五解析幾何:第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題課時(shí)規(guī)范練文

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第第 3 3 講講圓錐曲線的綜合問(wèn)題圓錐曲線的綜合問(wèn)題一、選擇題1已知F1,F(xiàn)2是橢圓x24y21 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng),則PF1PF2的最大值是()A2B1C2D4解析:設(shè)P(x,y),依題意得點(diǎn)F1( 3,0),F(xiàn)2( 3,0),PF1PF2( 3x)( 3x)y2x2y2334x22,因?yàn)?x2,所以234x221,因此PF1PF2的最大值是1.答案:B2(2017沈陽(yáng)二模)若點(diǎn)P為拋物線y2x2上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),則|PF|的最小值為()A2B.12C.14D.18解析:根據(jù)題意,點(diǎn)P在拋物線y2x2上,設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,則有|PF|d,拋物線

2、的方程為y2x2,即x212y,其準(zhǔn)線方程為y18,所以當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí),d有最小值18,即|PF|min18.答案:D3(2017北京西城區(qū)調(diào)研)過(guò)拋物線y24 3x的焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C:x22y21的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(x1,y1), (x2,y2), 若x1x20, 則k的取值范圍是()(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410132)A.12,12B.,12 12,C.22,22D.,22 22,解析:易知雙曲線兩漸近線y22x,當(dāng)k22或k22時(shí),l與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn),滿足x1x20.答案:D4 (2017全國(guó)卷改編)橢圓C:x23y2m1 的焦點(diǎn)在x軸上, 點(diǎn)A,B是長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn),若曲線C上

3、存在點(diǎn)M滿足AMB120,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(3,)B1,3)C(0, 3)D(0,1解析: 依題意, 當(dāng) 0m3 時(shí), 焦距在x軸上, 要在曲線C上存在點(diǎn)M滿足AMB120,則abtan 60,即3m 3.解得 0m1.答案:D5在直線y2 上任取一點(diǎn)Q,過(guò)Q作拋物線x24y的切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB恒過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(0,1)B(0,2)C(2,0)D(1,0)解析:設(shè)Q(t,2),A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程變?yōu)閥14x2,則y12x,則在點(diǎn)A處的切線方程為yy112x1(xx1),化簡(jiǎn)得y12x1xy1,同理,在點(diǎn)B處的切線方程為y12x2xy2

4、,又點(diǎn)Q(t,2)的坐標(biāo)適合這兩個(gè)方程,代入得212x1ty1,212x2ty2,這說(shuō)明A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程212xty,則直線AB的方程為y212tx,直線AB恒過(guò)點(diǎn)(0,2)答案:B二、填空題6設(shè)雙曲線C:x2a2y2b21(a0,b0)的一條漸近線與拋物線y2x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,若x01,則雙曲線C的離心率e的取值范圍是_解析:雙曲線C:x2a2y2b21 的一條漸近線為ybax,聯(lián)立y2x,ybax消去y,得b2a2x2x.由x01,知b2a21,b2a2.所以e2c2a2a2b2a22,因此 1e 2.答案:(1, 2)7已知拋物線C:x28y的焦點(diǎn)為

5、F,動(dòng)點(diǎn)Q在C上,圓Q的半徑為 1,過(guò)點(diǎn)F的直線與圓Q切于點(diǎn)P,則FPFQ的最小值為_解析:如圖,F(xiàn)PFQ|FP|2|FQ|21.由拋物線的定義知:|FQ|d(d為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離),易知,拋物線的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短,所以|FQ|min2,所以FPFQ的最小值為 3.答案:38(2017濟(jì)南模擬)已知拋物線y24x,過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作x軸,y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|BD|的最小值為_解析:不妨設(shè)A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)(y20)則|AC|BD|x2y1y224y1.又y1y2p24.所以|AC|BD|y2244y2(y20)

6、利用導(dǎo)數(shù)易知yy2244y2在(,2)上遞減,在(2,0)上遞增所以當(dāng)y22 時(shí),|AC|BD|的最小值為 3.答案:3三、解答題9(2017西安調(diào)研)已知橢圓E:x2a2y2b21(ab0)的離心率為32,點(diǎn)P1,32 在橢圓E上(1)求橢圓E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率為k的直線l交橢圓E于點(diǎn)Q(xQ,yQ)(點(diǎn)Q異于點(diǎn)P),若 0 xQ1,求直線l斜率k的取值范圍解:(1)由題意得ca32,1a234b21,a2b2c2,解得a2,b1,c 3,故橢圓E的方程為x24y21.(2)設(shè)直線l的方程為y32k(x1),代入方程x24y21,消去y,得(14k2)x2(4 3k8k2)x(4k2

7、4 3k1)0,所以xQ14k24 3k114k2.因?yàn)?0 xQ1,所以 04k24 3k114k21,即4k24 3k114k20,4k24 3k114k21.解得36k322或k322,經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意所以直線l斜率k的取值范圍是36k322或k322.10(2017新鄉(xiāng)三模)已知拋物線C:x22py(p0)的焦點(diǎn)為F,直線 2xy20 交拋物線C于A,B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(導(dǎo)學(xué)號(hào)55410133)(1)D是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E(1,3),若直線AB過(guò)焦點(diǎn)F,求|DF|DE|的最小值;(2)是否存在實(shí)數(shù)p,使|2QAQB|2QAQB|?若存在,

8、求出p的值;若不存在,說(shuō)明理由解:(1)因?yàn)橹本€ 2xy20 與y軸的交點(diǎn)為(0,2),所以F(0,2),則拋物線C的方程為x28y,準(zhǔn)線l:y2.設(shè)過(guò)D作DGl于G,則|DF|DE|DG|DE|,當(dāng)E,D,G三點(diǎn)共線時(shí),|DF|DE|取最小值為 235.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)p,滿足條件等式成立聯(lián)立x22py與 2xy20,消去y,得x24px4p0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x24p,x1x24p,所以Q(2p,2p)因?yàn)閨2QAQB|2QAQB|,所以QAQB,則QAQB0.因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0.(x12p)(x22p)(2x122p)(2

9、x222p)0,5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40,把x1x24p,x1x24p代入得 4p23p10,解得p14或p1(舍去)因此存在實(shí)數(shù)p14,使得|2QAQB|2QAQB|成立11(2017唐山一模)已知橢圓C:x2a2y2b21(ab0)的離心率為22,點(diǎn)Qb,ab在橢圓上,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)已知點(diǎn)P,M,N為橢圓C上的三點(diǎn),若四邊形OPMN為平行四邊形,證明四邊形OPMN的面積S為定值,并求該定值解:(1)因?yàn)闄E圓x2a2y2b21(ab0)的離心率為22,所以e2c2a2a2b2a212,得a22b2,又點(diǎn)Qb,ab在橢圓C上,所以b2a2a2b4

10、1,聯(lián)立、得a28,且b24.所以橢圓C的方程為x28y241.(2)當(dāng)直線PN的斜率k不存在時(shí),PN的方程為x 2或x 2,從而有|PN|2 3,S12|PN|OM|122 32 22 6;當(dāng)直線PN的斜率k存在時(shí),設(shè)直線PN的方程為ykxm(m0),P(x1,y1),N(x2,y2);將PN的方程代入C整理得(12k2)x24kmx2m280,所以x1x24km12k2,x1x22m2812k2,y1y2k(x1x2)2m2m12k2.由OMOPON,得M4km12k2,2m12k2.將M點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C方程得m212k2.又點(diǎn)O到直線PN的距離為d|m|1k2,|PN| 1k2|x1x2

11、|,Sd|PN|m|x1x2| 12k2|x1x2| 16k28m2322 6.綜上可知,平行四邊形OPMN的面積S為定值 2 6.典例(本小題滿分 12 分)設(shè)圓x2y22x150 的圓心為A, 直線l過(guò)點(diǎn)B(1, 0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍規(guī)范解答:(1)因?yàn)閨AD|AC|,EBAC,所以EBDACDADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|.

12、又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216,從而圓心A(1,0),|AD|4.所以|EA|EB|4.(2 分)又因?yàn)锽(1,0),所以|AB|2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為x24y231(y0)(4 分)(2)解:當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為yk(x1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2)由yk(x1) ,x24y231得(4k23)x28k2x4k2120,則x1x28k24k23,x1x24k2124k23,所以|MN| 1k2|x1x2|12(k21)4k23.(6 分)過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m:y1k(x1),點(diǎn)A到直線m的距離為2k21,所以|PQ|2422k21

13、244k23k21.(8 分)故四邊形MPNQ的面積S12|MN|PQ|12114k23.(9 分)可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8 3)(10 分)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x1,|MN|3,|PQ|8,故四邊形MPNQ的面積為 12.綜上可知,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8 3)(12 分)1正確使用圓錐曲線的定義:牢記圓錐曲線的定義,能根據(jù)圓錐曲線定義判斷曲線類型,如本題第(1)問(wèn)就涉及橢圓的定義2注意分類討論:當(dāng)用點(diǎn)斜式表示直線方程時(shí),應(yīng)分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解,易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況,導(dǎo)致扣分,如本題第(2)問(wèn)中的得分 10 分

14、,導(dǎo)致失 2 分.3寫全得分關(guān)鍵:在解析幾何類解答題中,直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程,根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積、弦長(zhǎng)、目標(biāo)函數(shù)等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn),在解答時(shí)一定要寫清楚解題程序第一步:利用條件與幾何性質(zhì),求|EA|EB|4.第二步:由定義,求點(diǎn)E的軌跡方程x24y231(y0)第三步:聯(lián)立方程,用斜率k表示|MN|.第四步:用k表示出|PQ|,并得出四邊形的面積第五步:結(jié)合函數(shù)性質(zhì),求出當(dāng)k存在時(shí)S的取值范圍第六步:求出斜率不存在時(shí)面積S的值,正確得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練(2017郴州三模)已知拋物線E:y28x,圓M:(x2)2y24,點(diǎn)N為拋物線E上的動(dòng)

15、點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410057)(1)求曲線C的方程;(2)點(diǎn)Q(x0,y0)(x05)是曲線C上的點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)Q作圓M的兩條切線, 分別與x軸交于A,B兩點(diǎn),求QAB的面積的最小值解:(1)設(shè)P(x,y),則點(diǎn)N(2x,2y)在拋物線E:y28x上,所以 4y216x,所以曲線C的方程為y24x;(2)設(shè)切線方程為yy0k(xx0)令y0,得xx0y0k.圓心(2,0)到切線的距離d|2ky0kx0|k212,整理得(x204x0)k2(4y02x0y0)ky2040.設(shè)兩條切線的斜率分別為k1,k2,則k1k22x0y04y0 x204x0,k1k2y204x204x0.所以QAB面積S12|x0y0k1x0y0k2|y02x20 x01.設(shè)tx014,),則f(t)2t1t2在4,)上單調(diào)遞增,所以f(t)252,即QAB面積的最小值為252.

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