《新版一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習:第六章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應用 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習:第六章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應用 Word版含解析(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
一、填空題
1.設等差數(shù)列{an}的公差d≠0,a1=4d,若ak是a1與a2k的等比中項,則k的值為________.
解析:由條件知an=a1+(n-1)d=4d+(n-1)d=(n+3)d,即an=(n+3)d(n∈N*).又a=a1·a2k,所以(k+3)2d2=4d·(2k+3)d,且d≠0,所以(k+3)2=4(2k+3),即k2-2k-3=0,解得k=3
3、或k=-1(舍去).
答案:3
2.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線,但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量為f(n)=n(n+1)(2n+1)噸,但如果年產(chǎn)量超過150噸,將會給環(huán)境造成危害.為保護環(huán)境,環(huán)保部門應給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是________.
解析:由已知可得第n年的產(chǎn)量an=f(n)-f(n-1)=3n2;當n=1時也適合.據(jù)題意令an≥150?n≥5,即數(shù)列從第8項開始超過1 50,即這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年.
答案:7
3.等差數(shù)列中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,則該數(shù)列前13項的和是______
4、__.
解析:∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10,
∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4,
∴S13===26.
答案:26
4.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個零點,則b10等于________.
解析:依題意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,兩式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列,a2,a4,a6,…也成等比數(shù)列,而a1=1,a2=2,所以a10=2×24=32,a11=1×25=32,又因為an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.
答案:
5、64
5.有限數(shù)列A:a1,a2,…,an,Sn為其前n項和,定義為A的“凱森和”,若有99項的數(shù)列a1,a2,…,a99的“凱森和”為1 000,則有100項的數(shù)列1,a1,a2,…,a99的“凱森和”為________.
解析:設a1,a2,…,a99的“凱森和”為
=1 000,
則1,a1,a2,…,a99的“凱森和”為,
而T1=1,T2=S1+1,T3=S2+1,…,T100=S99+1,
所以==991.
答案:991
6.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比是________.
解析:由題知a=a1·a17
6、,
即a=(a5-4d)·(a5+12d),
∴8a5d-48d2=0,
∵d≠0,∴a5=6d,
∴公比q====3.
答案:3
7.秋末冬初,流感盛行,特別是甲型H1N1流感.某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an},已知a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),則該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)共有________.
解析:由于an+2-an=1+(-1)n,所以a1=a3=…=a29=1,a2,a4,…,a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,所以a1+a2+…+a29+a30=15+15×2+×2=255.
答案:255
8.已知a,b∈
7、R+,A為a,b的等差中項,正數(shù)G為a,b的等比中項,則ab與AG的大小關(guān)系是________.
解析:依題意A=,G=,
∴AG-ab=·-ab
=(-)
=·≥0,
∴AG≥ab.
答案:AG≥ab
9.在直角坐標系中,O是坐標原點,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一象限的兩個點,若1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列,而1,y1,y2,8依次成等比數(shù)列,則△OP1P2的面積是________.
解析:根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì),可知x1=2,x2=3,y1=2,y2=4.
∴P1(2,2),P2(3,4).∴S△OP1P2=1.
答案:1
二、解答題
10.
8、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn和通項an滿足Sn=(1-an).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=nan,求證:b1+b2+…+bn<.
解析:(1)當n≥2時,
an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)
=-an+an-1,2an=-an+an-1,
由題意可知an-1≠0,
∴=,
所以{an}是公比為的等比數(shù)列.
S1=a1=(1-a1),a1=.
an=×()n-1=()n.
(2)證明:bn=n()n,
設Tn=1×()1+2×()2+3×()3+…+n×()n,①
∴Tn=1×()2+2×()3+3×()4+…+
9、n×()n+1,②
①-②,化簡得
∴Tn=-()n-n()n+1<.
11.從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某旅游縣區(qū)計劃投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設,并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),根據(jù)規(guī)劃,投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元,由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用,預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.
(1)設n年內(nèi)(為第一年)總投入為an萬元,旅游業(yè)總收入為bn萬元,寫出an,bn的表達式;
(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?
解析:(1)第1年投入為 800 萬元,
第2年投入為 800×(1-)萬元,…,
第n年投入為 800×(1-
10、)n-1萬元,
所以,n年內(nèi)的總投入為
an=800+800×(1-)+…+800×(1-)n-1
=4 000×[1-()n].
第1年旅游業(yè)收入為 400 萬元,
第2年旅游業(yè)收入為 400 ×(1+)萬元,…,
第n年旅游業(yè)收入為400 ×(1+)n-1萬元,
所以,n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)n-1
=1 600×[()n-1].
(2)設經(jīng)過n年,旅游業(yè)的總收入超過總投入,由此bn-an>0,
即1 600×[()n-1]-4 000×[1-()n]>0,
令x=()n,代入上式得 5x2-7x+2>0,
解此
11、不等式,得x<,或x>1(舍去),
即()n<,由此得n≥5.
答:至少經(jīng)過 5 年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.
12.若數(shù)列An:a1,a2,…,an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),則稱An為E數(shù)列.記S(An)=a1+a2+…+an.
(1)寫出一個E數(shù)列A5滿足a1=a3=0;
(2)若a1=12,n=2 000,證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2 011;
(3)在a1=4的E數(shù)列An中,求使得S(An)=0成立的n的最小值.
解析:(1)0,1,0,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列A5.(答案不唯一,0,-1,0,1,0;0,
12、±1,0,1,2;0,±1,0,-1,-2;0,±1,0,-1,0都是滿足條件的E數(shù)列A5)
(2)必要性:因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列,
所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1 999),
所以An是首項為12,公差為1的等差數(shù)列,
所以a2 000=12+(2 000-1)×1=2 011.
充分性:由于a2 000-a1 999≤1,
a1 999-a1 998≤1,
…,
a2-a1≤1,
所以a2 000-a1≤1 999,即a2 000≤a1+1 999,
又因為a1=12,a2 000=2 011,
所以a2 000=a1+1 999,
故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1 999),即An是遞增數(shù)列.
綜上,結(jié)論得證.
(3)對首項為4的E數(shù)列An,由于
a2≥a1-1=3,
a3≥a2-1≥2,
…,
a8≥a7-1≥-3,
…,
所以a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8).
所以對任意的首項為4的E數(shù)列An,若S(An)=0,則必有n≥9.
又a1=4的E數(shù)列A9:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4滿足S(A9)=0,所以n的最小值是9.