新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第2章 第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) Word版含解析

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1、 第五節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) [考綱傳真]　1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn).3.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 1．有理指數(shù)冪 (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 ①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)

2、； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 圖像 a＞1 0＜a＜1 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質(zhì) 過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1 當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1 當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；當(dāng)x＜0時(shí)，y＞1 是R上的增函數(shù) 是R上的減函數(shù) 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)(－1)＝(－1)＝.(　　) (2)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(　　) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n.(　　) (4)函數(shù)y＝ax2＋1(a＞

3、1)的值域是(0，＋∞)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．化簡(jiǎn)[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為(　　) A．－9　 B．7 C．－10 D．9 B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]　 3．函數(shù)y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的圖像可能是(　　) A　　 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　　D C　[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函數(shù)圖像必過(guò)定點(diǎn)(1,0)，符合條件的只有選項(xiàng)C. 法二：當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a個(gè)單位，且過(guò)(1,0)，A，B，D都不合適； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝ax－a是由y＝ax向下

4、平移a個(gè)單位，因?yàn)?＜a＜1，故排除選項(xiàng)D.] 4．(教材改編)已知0.2m＜0.2n，則m________n(填“＞”或“＜”). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962052】 ＞　[設(shè)f(x)＝0.2x，f(x)為減函數(shù)， 由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n.] 5．指數(shù)函數(shù)y＝(2－a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962053】 (1,2)　[由題意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.] 指數(shù)冪的運(yùn)算 　化簡(jiǎn)求值： [解]　(1) ＝1＋×－＝1＋－＝. 6分 (2) 12分 [規(guī)律方法]　1.指數(shù)冪的運(yùn)算，首先將根式

5、、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意： (1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加； (2)運(yùn)算的先后順序． 2．當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)． 3．運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)． [變式訓(xùn)練1]　化簡(jiǎn)求值： 指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 (1)(20xx·鄭州模擬)定義運(yùn)算ab＝則函數(shù)f(x)＝12x的圖像是(　　) (2)若曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍． (1)A　[(1)因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，2x≤1； 當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞1. 則f(x)＝12x＝故選A.]

6、 (2)曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)， 8分 則b的取值范圍是(0,1). 12分 [規(guī)律方法]　指數(shù)函數(shù)圖像的畫法(判斷)及應(yīng)用 (1)畫(判斷)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，. (2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖像． (3)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解. [變式訓(xùn)練2]　(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像如圖2-5-1，其中a，b為常

7、數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) 圖2-5-1 A．a(chǎn)＞1，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)方程 2x＝2－x的解的個(gè)數(shù)是________． (1)D　(2)1　[(1)由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上遞減，所以0＜a＜1，函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像是在y＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b＜0. (2)方程的解可看作函數(shù)y＝2x和y＝2－x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖像(如圖)． 由圖像得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解．] 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 ?角度1

8、　比較指數(shù)式的大小 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，則(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962054】 A．b＜a＜c　　　 B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (2)(20xx·浙江高考)已知函數(shù)f(x)滿足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.(　　) A．若f(a)≤|b|，則a≤b B．若f(a)≤2b，則a≤b C．若f(a)≥|b|，則a≥b D．若f(a)≥2b，則a≥b (1)A　(2)B　[(1)a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5. ∵y＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3，∴c＞a＞b. (2)∵f(x)≥|x|

9、，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，則|a|≤|b|，A項(xiàng)錯(cuò)誤．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，無(wú)法推出a≥b，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，則2b≥2a，故b≥a，B項(xiàng)正確．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，無(wú)法推出a≥b，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B.] ?角度2　解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式 　(20xx·江蘇高考)不等式2x2－x＜4的解集為_(kāi)_____． {x|－1＜x＜2}　[∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22， ∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.] ?角度3　探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì) 　已知函數(shù)f(x)＝. (1)若

10、a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [解]　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7， 則g(x)在區(qū)間(－∞，－2)上遞增， 2分 在區(qū)間[－2，＋∞)上遞減，又函數(shù)y＝x在R上是減函數(shù)， 因此f(x)的遞增區(qū)間是[－2，＋∞)，遞減區(qū)間是(－∞，－2). 4分 (2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，則有解得a＝1. 8分 (3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域?yàn)镽，則必有a＝0. 12分 [規(guī)

11、律方法]　1.比較指數(shù)式的大小的方法：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。? 2．解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式可先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解． 3．探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致． 易錯(cuò)警示：在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論． [思想與方法] 1．根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算． 2．判斷指數(shù)函數(shù)圖像上底數(shù)大小的問(wèn)題，可以先通過(guò)令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較． [易錯(cuò)與防范] 1．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論． 2．對(duì)與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，并且一定要注意函數(shù)的定義域． 3．對(duì)可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍．