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1、
第6節(jié) 空間直角坐標系
課時訓練 練題感 提知能
【選題明細表】
知識點、方法
題號
空間中點的坐標
1、2、5、13
空間中點的對稱問題
3、6、7、9
空間兩點間距離公式及應用
4、8、10、11、12、13
A組
一、選擇題
1.點(2,0,3)在空間直角坐標系中的位置是( C )
(A)y軸上 (B)xOy平面上
(C)xOz平面上 (D)x軸上
解析:因為點(2,0,3)的縱坐標為0,橫坐標、豎坐標都不為0,所以點(2,0,3)在x軸、z軸所確定的平面上.故選C.
2
2、.點B是點A(1,2,3)在坐標平面yOz內(nèi)的射影,則B點的坐標是( B )
(A)(1,2,0) (B)(0,2,3) (C)(1,0,3) (D)(1,0,0)
解析:點在yOz平面的橫坐標為0,其他坐標與A點相同,所以B點坐標為(0,2,3).故選B.
3.已知空間一點A(-3,1,4),則點A關(guān)于原點對稱的點的坐標為( C )
(A)(1,-3,-4) (B)(-4,1,-3)
(C)(3,-1,-4) (D)(4,-1,3)
解析:關(guān)于原點對稱的點的坐標的特點是橫、縱、豎坐標全部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).故選C.
4.正方體不在同一表面上的兩個頂點為A(-1,2,-1),B(3
3、,-2,3),則正方體的體積為( C )
(A)8 (B)27 (C)64 (D)128
解析:由于A、B是正方體不在同一個平面上的兩個頂點,
所以A、B必為正方體一體對角線的兩頂點,
由于|AB|=(-1-3)2+(2+2)2+(-1-3)2=43,
故正方體的邊長為4,體積為43=64.故選C.
5.以棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則正方形AA1B1B的對角線交點的坐標為( B )
(A)0,12,12
(B)12,0,12
(C)12,12,0
(D)12,12,12
解析:連接A
4、B1和A1B交于點O.
據(jù)題意知AB1與A1B的交點即為AB1的中點.
由題意得A(0,0,0),B1(1,0,1),
∴AB1的中點坐標為12,0,12,
故選B.
二、填空題
6.在空間直角坐標系中,點M(2,1,-3)關(guān)于坐標原點的對稱點為M′,則M′在平面xOz上的射影M″的坐標是 .?
解析:點M(2,1,-3)關(guān)于原點的對稱點為M′(-2,-1,3),點M′在平面xOz上的射影M″的坐標是(-2,0,3).
答案:(-2,0,3)
7.已知點A(1,-2,1)關(guān)于平面xOy的對稱點為A1,則|AA1|= .?
解析:易知A1(1,-2,-1),
5、
所以|AA1|=(1-1)2+(-2+2)2+(1+1)2=2.
答案:2
8.已知點A(1,2,3),B(2,-1,4),點P在y軸上,且|PA|=|PB|,則點P的坐標為 .?
解析:設(shè)P(0,b,0),因為|PA|=|PB|,
所以(1-0)2+(2-b)2+(3-0)2
=(2-0)2+(-1-b)2+(4-0)2,
解得b=-76.
答案:（0,-76,0）
9.在空間直角坐標系中,點M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足為N,則N點關(guān)于原點的對稱點的坐標是 .?
解析:因為點M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足為N,
所以N(-2,
6、0,-3),
所以N點關(guān)于原點的對稱點的坐標是(2,0,3).
答案:(2,0,3)
三、解答題
10. 如圖所示,在長方體OABCO1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中點,作OD⊥AC于點D,求線段B1E的長度及頂點O1到點D的距離.
解:以O(shè)為坐標原點,以O(shè)A,OC,OO1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則O(0,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0),
∴|B1E|=(2-1)2+(3-3)2+(2-0)2=5.
設(shè)D(x,y,0),在Rt△AOC中,
|OA|=2,|OC|=3,|A
7、C|=13,
∴|OD|2=（2×313）2=3613,
∴|O1D|=|OD|2+|OO1|2=3613+4=228613.
11. 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,F是BD的中點,G在CD上,且|CG|=14|CD|,E為C1G的中點,求EF的長.
解:如圖所示,建立空間直角坐標系,
由題意得F12,12,0,C1(0,1,1),G0,34,0,
所以E0,78,12,
所以|EF|=12-02+12-782+0-122
=14+964+14
=418.
即EF的長為418.
B組
12.已知空間直角坐標系Oxyz中有一點A(-1,-1,2),
8、點B是平面xOy內(nèi)的直線x+y=1上的動點,則A、B兩點的最短距離是( B )
(A)6 (B)342 (C)3 (D)174
解析:法一 因為點B在平面xOy內(nèi)的直線x+y=1上,
故可設(shè)點B為(x,-x+1,0),
所以|AB|=(x+1)2+(-x+2)2+(0-2)2
=2x2-2x+9
=2x-122+172,
所以當x=12,即B12,12,0時,|AB|取得最小值342.
故選B.
法二 設(shè)點A在平面xOy內(nèi)的射影為A′(-1,-1,0),則A′、B的最短距離等于平面直角坐標系中A″(-1,-1)到直線x+y=1的距離d,則d=322
9、.又|A′A|=2,則|AB|min=4+184=342.故選B.
13.如圖所示,正四面體ABCD的棱長為1,E、F分別是棱AB、CD的中點.
(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系,寫出頂點A,B,C,D的坐標;
(2)求EF的長.
解:(1)設(shè)底面正三角形BCD的中心為O,連接AO,DO,延長DO交BC于點M,則AO⊥平面BCD,M是BC的中點,且DM⊥BC,過O作ON∥BC,交CD于點N,則ON⊥DM.
以O(shè)為坐標原點,OM,ON,OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則|OD|=23|DM|=23×32=33,
|OM|=13|DM|=36,
|OA|=|AD|2-|DO|2=1-39=63,
所以A（0,0,63）,B（36,-12,0）,
C（36,12,0）,D（-33,0,0）.
(2)由(1)及中點坐標公式得
E（312,-14,66）,F（-312,14,0）,
∴|EF|=(-36)?2+(12)?2+(-66)?2=22.
新編高三數(shù)學復習 第6節(jié) 空間直角坐標系
