新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.3 拋 物 線 課時提升作業(yè)十五 2.3.1 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 課時提升作業(yè)(十五) 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2014·安徽高考)拋物線y=14x2的準(zhǔn)線方程是　(　　) A.y=-1　　 B.y=-2　 　C.x=-1　　 D.x=-2 【解題指南】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式即可得出. 【解析】選A.由y=14x2得x2=4y,所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·陜西高考)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為　　　　. 【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1. 答案:x=-1 2.(2015·陜西高考)已知拋物

2、線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為　(　　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 【解題指南】利用拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),求得p2=1,即可求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),所以p2=1,所以該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0). 3.(2015·長沙高二檢測)過點(diǎn)F(0,3)且和直線y+3=0相切的動圓圓心的軌跡方程為　(　　) A.y2=12x B.y2=-12x C.x2=12y D.x2=-12

3、y 【解析】選C.由題意知動圓圓心到點(diǎn)F(0,3)的距離等于到定直線y=-3的距離,故動圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn),直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線.故動圓圓心的軌跡方程為x2=12y. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知動點(diǎn)P(x,y)滿足(x-1)2+(y-2)2=|3x+4y-10|5,則P點(diǎn)的軌跡是(　　) A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線 【解析】選D.由題意知,動點(diǎn)P到定點(diǎn)(1,2)和定直線3x+4y-10=0的距離相等,又點(diǎn)(1,2)不在直線3x+4y-10=0上,所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線. 4.拋物線x2=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為　(　　) A.

4、2 B.3 C.4 D.5 【解析】選D.拋物線的準(zhǔn)線為y=-1,所以點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為5,又因?yàn)辄c(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離相等,所以距離為5. 【一題多解】選D.因?yàn)閥=4,所以x2=4·y=16, 所以x=±4,所以取A(4,4),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1), 所以所求距離為42+(4-1)2=25=5. 5.(2015·山師附中高二檢測)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個動點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為　(　　) A.172 B.2 C.5 D.92 【解析】選A.如圖,由拋物線定義知|PA|+|P

5、Q|=|PA|+|PF|,則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF|的最小值,則當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時,|PA|+|PF|取得最小值. 又A(0,2),F12,0, 所以(|PA|+|PF|)min=|AF| =0-122+(2-0)2=172. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.對于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是　　　　. 【解析】設(shè)Qt24,t,由|PQ|≥|a|得t24-a2+t2≥a2,t2(t2+16-8a)≥0,t2+16-8a≥0,故t2≥8a-16恒成立,則8a-16≤0,a≤2,故a的取值范圍是

6、(-∞,2]. 答案:(-∞,2] 7.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是　　　　. 【解析】由拋物線的方程得p2=42=2,再根據(jù)拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6. 答案:6 8.若點(diǎn)P到F(3,0)的距離比它到直線x+4=0的距離小1,則動點(diǎn)P的軌跡方程為　　　　. 【解題指南】可以考慮運(yùn)用直接法,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),列等式或考慮拋物線的定義. 【解析】由題意知點(diǎn)P到F(3,0)的距離比它到直線x=-4的距離小1,則應(yīng)有P到(3,0)的距離與它到直線x=-3的距離相等.故P的軌跡為拋物線且以F(3,0)為焦點(diǎn),所以p2=3,p=6,故拋物

7、線方程為y2=12x. 答案:y2=12x 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離是5. (1)求拋物線方程和m的值. (2)求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程. 【解析】(1)設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0), 則焦點(diǎn)坐標(biāo)F-p2,0,準(zhǔn)線方程x=p2. 由拋物線定義知,點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5, 即點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于5, 則3+p2=5,所以p=4,所以拋物線方程為y2=-8x, 又點(diǎn)M(-3,m)在拋物線上, 所以m2=24,所以m=±26, 所以所求拋物線方程為y2=-8x,m=±26. (2)

8、因?yàn)閜=4,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0), 準(zhǔn)線方程是x=2. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·福建高考)如圖,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10),分別將線段OA和AB十等分,分點(diǎn)分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,連接OBi,過Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9). 求證:點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求拋物線E的方程. 【解析】依題意,過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i, 因?yàn)锽i(10,i),所以直線OBi的方程為y=i10x, 設(shè)Pi坐標(biāo)

9、為(x,y),由x=i,y=i10x得: y=110x2,即x2=10y, 所以Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y. 10.(2015·長春高二檢測)如圖所示,一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成,為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,其對稱軸所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),求該拋物線的方程. (2)若行車道總寬度AB為7米,請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米(精確到0.1米)? 【解析】如圖所示 (1)依

10、題意,設(shè)該拋物線的方程為x2=-2py(p>0),因?yàn)辄c(diǎn)C(5,-5)在拋物線上,可解得p=52,所以該拋物線的方程為x2=-5y. (2)設(shè)車輛高h(yuǎn)米,則|DB|=h+0.5, 故D(3.5,h-6.5), 代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以車輛通過隧道的限制高度為4.0米. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為　(　　) A.34 B.1 C.54 D.74 【解析】選C.根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理,得線段AB

11、的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為12(|AF|+|BF|)-14=32-14=54. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)恰好與橢圓x29+y25=1的一個焦點(diǎn)重合,則p=　(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】選C.橢圓中a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4,所以c=2, 所以F1(-2,0),F2(2,0),拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)F-p2,0與F1重合,所以-p2=-2,所以p=4. 2.(2015·浙江高考)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BC

12、F與△ACF的面積之比是(　　) A.|BF|-1|AF|-1 B.|BF|2-1|AF|2-1 C.|BF|+1|AF|+1 D.|BF|2+1|AF|2+1 【解析】選A.S△BCFS△ACF=12BC·h12AC·h=|BC||AC|=|BM||AN|=xBxA =BF-1AF-1. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(2015·深圳高二檢測)設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為-3,那么|PF|=　　　　. 【解析】如圖所示, ∠AFE=60°, 又F(2,0),所以E(-

13、2,0), 所以AEEF=tan60°, 所以AE=43, 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,43), 所以|PF|=|PA|=6+2=8. 答案:8 4.(2014·湖南高考)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F兩點(diǎn),則ba=　　　　　　　　. 【解題指南】由正方形的邊長給出點(diǎn)C,F的坐標(biāo),代入拋物線方程求解. 【解析】由題意可得Ca2,-a, Fa2+b,b,則a2=pa,b2=2pa2+b,ba=2+1. 答案:2+1 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.設(shè)點(diǎn)P是曲線y2=4x上

14、的一個動點(diǎn). (1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值. (2)若B(3,2),點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),求|PB|+|PF|的最小值. 【解析】(1)如圖,易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線是x=-1,由拋物線的定義知:點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離,于是,問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小.顯然,連接AF交曲線于P點(diǎn),故最小值為22+12=5. (2) 如圖,自B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q,交拋物線于P1, 此時,|P1Q|=|P1F|, 那么|PB|+|PF|≥|P1B|

15、+|P1Q|=|BQ|=4, 即|PB|+|PF|的最小值為4. 6.(2015·蘇州高二檢測)如圖所示,花壇的水池中央有一噴泉,水管O′P=1m,水從噴頭P噴出后呈拋物線狀,先向上至最高點(diǎn)后落下.若最高點(diǎn)距水面2m,P距拋物線的對稱軸1m,則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計為多少米(精確到1m)? 【解析】如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0). 依題意有P′(1,-1)在此拋物線上, 代入拋物線方程,得p=12. 故得拋物線方程為x2=-y. 因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上,將B(x,-2)代入拋物線方程得x=2, 即|AB|=2,則|AB|+1=2+1, 因此所求水池的直徑為2(1+2)m,約為5m, 即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計為5m. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊