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學案24 正弦定理和余弦定理應用舉例
導學目標： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
自主梳理
1．仰角和俯角
與目標視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示)
2．方位角
一般指北方向線順時針到目標方向線的水平角，如方位角45°，是指北偏東45°，即東北方向．
3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(如圖所示)
①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向．
②北偏西α°即由指北方向逆時
2、針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向．
③南偏西等其他方向角類似．
4．坡角
坡面與水平面的夾角．(如圖所示)
5．坡比
坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝＝tan α(i為坡比，α為坡角)．
6．解題的基本思路
運用正、余弦定理處理實際測量中的距離、高度、角度等問題，實質(zhì)是數(shù)學知識在生活中的應用，要解決好，就要把握如何把實際問題數(shù)學化，也就是如何把握一個抽象、概括的問題，即建立數(shù)學模型．
自我檢測
1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關系是 ( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
3、2．(2011·承德模擬)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的
( )
A．北偏東10° B．北偏西10°
C．南偏東10° D．南偏西10°
3．如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是 ( )
A．α
4、，a，b B．α，β，a
C．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b
4．在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°、60°，則塔高為________m.
5．(2010·全國Ⅱ)△ABC中，D為邊BC上的一點，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD.
探究點一 與距離有關的問題
例1 (2010·陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為3
5、0海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？
變式遷移1 某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？
探究點二 測量高度問題
例2 如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.
變式遷移2 某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40米后
6、，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高．
探究點三 三角形中最值問題
例3 (2010·江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，請據(jù)此算出H的值；
(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔實際高度為125 m，試問d為多少時，α－β最大？
變式遷移3 (2011·宜昌模
7、擬)如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值．
1．解三角形的一般步驟
(1)分析題意，準確理解題意．
分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、俯角、方位角等．
(2)根據(jù)題意畫出示意圖．
(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解．演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答．
(4)檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍．
2．應用舉例中常見幾
8、種題型
測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 ( )
A. B.
C. D.
2．(2011·揭陽模擬)如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為
9、 ( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
3．△ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為 ( )
A. B.
C. D．9
4．(2011·滄州模擬)某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為 ( )
A. B．2
C.或2 D．3
5．一船向正北航行，看見正西方向有相
10、距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是每小時 ( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
題號
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與
11、燈塔的距離為________．
7．(2011·臺州模擬)某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌長度約為50秒，升旗手應以________米/秒的速度勻速升旗．
8．(2011·宜昌模擬)線段AB外有一點C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始________h后，兩車的距離最?。?
三、解答題(共38
12、分)
9．(12分)(2009·遼寧)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°、30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．
10．(12分)如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處
13、時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時兩船相距10海里．問乙船每小時航行多少海里？
11．(14分)(2009·福建)如圖，
某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離；
(2)應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？
答案 自我檢測
1．B 2.B 3.A
4.
14、5．解 由cos∠ADC＝＞0知B＜，
由已知得cos B＝，sin∠ADC＝，
從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B
＝×－×＝.
由正弦定理得，＝，
所以AD＝＝＝25.
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 這類實際應用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當．
解 由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
15、
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴DB＝＝
＝＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×
＝900，∴CD＝30(海里)，
∴需要的時間t＝＝1(小時)．
故救援船到達D點需要1小時．
變式遷移1
解
如圖所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，
cos B＝＝，
所以sin B＝.
在△ABC中，
16、AC＝＝24，
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，
得AB2－24AB－385＝0，
解得AB＝35，AB＝－11(舍)，
所以AD＝AB－BD＝15.
故此人在D處距A還有15千米．
例2 解題導引 在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準確的示意圖，恰當?shù)剡x取相關的三角形和正、余弦定理逐步進行求解．注意綜合應用方程和平面幾何、立體幾何等知識．
解 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝，
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan∠ACB＝.
變式遷移2
解
由題意可知，在△BCD中，CD＝40，
∠BCD
17、＝30°，∠DBC＝135°，
由正弦定理得，
＝，
∴BD＝＝20.
過B作BE⊥CD于E，顯然當人在E處時，
測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.
在Rt△BED中，
又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.
∴BE＝DB·sin 15°＝20×＝10(－1)．
在Rt△ABE中，
AB＝BE·tan 30°＝(3－)(米)．
故所求的塔高為(3－)米．
例3 解題導引 平面幾何圖形中研究或求有關長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題．而這些幾何問題通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、
18、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函數(shù)思想．
解
(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，
得＋＝，
解得H＝＝＝124(m)．
因此，算出的電視塔的高度H是124 m.
(2)由題設知d＝AB，得tan α＝.
由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝.
所以tan(α－β)＝
＝≤，
當且僅當d＝，
即d＝＝＝55時，
上式取等號，所以當d＝55時，tan(α－β)最大．
因為0<β<α<，則0<α－β<，
所以當d＝55時，α－β最大．
變式遷移3 解 設∠POB＝θ，四邊形面
19、積為y，
則在△POC中，由余弦定理得
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos θ＝5－4cos θ.
∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋(5－4cos θ)
＝2sin(θ－)＋.
∴當θ－＝，即θ＝時，ymax＝2＋.
所以四邊形OPDC面積的最大值為2＋.
課后練習區(qū)
1．D 2.A 3.C 4.C 5.C
6．30 km 7.0.6
8.
解析
如圖所示：設t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.
因為AB＝200，所以BD＝200－80t，
問題就是求DE最小時t的值．
由余弦定理得，D
20、E2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos 60°
＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t
＝12900t2－42000t＋40000.
∴當t＝時，DE最?。?
9．解 在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
所以△ABC≌△CBD，
所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分)
在△ABC中，＝，
即AB＝＝，……………………………………………
21、……………(10分)
所以BD＝≈0.33(km)．
故B、D的距離約為0.33 km.……………………………………………………………(12分)
10．解
如圖，連接A1B2，由題意知，
A1B1＝20，A2B2＝10，
A1A2＝×30＝10(海里)．…………………………………………………………(2分)
又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等邊三角形，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分)
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos
22、45°
＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10(海里)．…………………………………………………………………(10分)
因此乙船的速度大小為
×60＝30(海里/小時)．…………………………………………………………(12分)
11．解
方法一 (1)依題意，有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.(3分)
當x＝4時，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．
又P(8,0)，∴MP＝＝5.…………………………………………………………(5分)
(2)如圖，連接MP，在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.
設∠PMN＝θ，
則0°<
23、θ<60°.
由正弦定理得＝＝，
∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)，…………………………………………(8分)
∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)
＝＝sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)
∵0°<θ<60°，∴當θ＝30°時，折線段賽道MNP最長．
即將∠PMN設計為30°時，
折線段賽道MNP最長．…………………………………………………………………(14分)
方法二 (1)同方法一．
(2)連結(jié)MP.在△MNP中，∠MNP＝120°.MP＝5，
由余弦定理得，MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2.………………………………(8分)
即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤2，
……………………………………………………………………………………………(10分)
從而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤.
當且僅當MN＝NP時等號成立．
即設計為MN＝NP時，
折線段賽道MNP最長．…………………………………………………………………(14分)
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高考理科導學案【第五章】平面向量 學案24
