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1、
第8練 函數(shù)的奇偶性和周期性
訓練目標
(1)函數(shù)奇偶性的概念;(2)函數(shù)周期性.
訓練題型
(1)判定函數(shù)的奇偶性;(2)函數(shù)奇偶性的應用(求函數(shù)值,求參數(shù));(3)函數(shù)周期性的應用.
解題策略
(1)判斷函數(shù)的奇偶性首先要考慮函數(shù)定義域是否關于原點對稱;(2)根據(jù)奇偶性求參數(shù),可先用特殊值法求出參數(shù),然后驗證;(3)理解并應用關于周期函數(shù)的重要結論:如f(x)滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期T=2|a|.
一、選擇題
1.(20xx·江西贛州于都實驗中學大考三)若奇函數(shù)f(x)=3sin x+c的定義域是[a,b],
則a+b+c等于(
2、)
A.3 B.-3
C.0 D.無法計算
2.設f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù),如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(-2,1]上的圖象,則f(2 014)+f(2 015)等于( )
A.3 B.2
C.1 D.0
3.函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù),當x∈[0,2]時,f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為( )
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
4.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ex,則g(x)等于( )
A.ex-
3、e-x B.(ex+e-x)
C.(e-x-ex) D.(ex-e-x)
5.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且當x∈(-1,0)時,f(x)=2x+,則f(log220)等于( )
A.-1 B .
C.1 D.-
6.(20xx·開封二模)已知函數(shù)f(x)定義在R上,對任意實數(shù)x有f(x+4)=-f(x)+2,若函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱,f(-1)=2,則f(2 015)等于( )
A.-2+2 B.2+2
C.2-2 D.2
7.已知函數(shù)f(x)=則該函數(shù)是( )
A.偶函數(shù)且單調遞增 B.偶函數(shù)
4、且單調遞減
C.奇函數(shù)且單調遞增 D.奇函數(shù)且單調遞減
8.對任意實數(shù)a、b,定義兩種運算:a?b=,a?b=,則函數(shù)f(x)=( )
A.是奇函數(shù),但不是偶函數(shù)
B.是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)
C.既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)
二、填空題
9.(20xx·課標全國Ⅰ)若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則a=________.
10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,f(x+2)=對任意x∈R恒成立,則f(2 015)=________.
11.若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則實數(shù)a的值為________.
12.(20xx·山東乳山
5、一中月考)定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且在
[-1,0]上是增函數(shù),下面是關于f(x)的判斷:
①f(x)的圖象關于點P對稱;②f(x)的圖象關于直線x=1對稱;③f(x)在[0,1]上是增函數(shù);④f(2)=f(0).
其中正確的是________.(把你認為正確的判斷序號都填上)
答案精析
1.C [因為函數(shù)f(x)=3sin x+c的定義域是[a,b],并且是奇函數(shù),所以f(0)=0,
即3sin 0+c=0,得c=0,而奇函數(shù)的定義域關于原點對稱,所以a+b=0,
所以a+b+c=0.故選C.]
2.A [因為f(x)是定
6、義在R上的周期為3的周期函數(shù),所以f(2 014)+f(2 015)=f(671×3+1)+f(672×3-1)=f(1)+f(-1),而由圖象可知f(1)=1,f(-1)=2,所以f(2 014)+f(2 015)=1+2=3.]
3.C [f(x)的圖象如圖.
當x∈(-1,0)時,xf(x)>0;
當x∈(0,1)時,xf(x)<0;
當x∈(1,3)時,xf(x)>0.
所以x∈(-1,0)∪(1,3).]
4.D [由f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),
得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
因為f(x)+g(x)=ex,
所以f(-x)+g(-x)
7、=e-x,
即f(x)-g(x)=e-x,
所以g(x)=(ex-e-x).故選D.]
5.A [因為f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
當x∈(0,1)時,-x∈(-1,0),
則f(x)=-f(-x)=-2-x-.
因為f(x-2)=f(x+2),
所以f(x)=f(x+4),
所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).
而4
8、=8×251+7,因此f(2 015)=f(7)=f(-1)=2,故選D.]
7.C [當x>0時,f(x)=1-2-x,這時-x<0,所以f(-x)=2-x-1,
于是f(-x)=-f(x);
當x<0時,f(x)=2x-1,這時-x>0,
所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).
又f(0)=0,故函數(shù)f(x)是一個奇函數(shù).
又因為當x>0時,f(x)=1-2-x單調遞增,
當x<0時,f(x)=2x-1也單調遞增,
所以f(x)單調遞增.故選C.]
8.A [由題意可得
f(x)==,
則
??-2≤x≤2且x≠0.
即此函數(shù)的定義域為[-2,
9、0)∪(0,2].
所以-4≤x-2<-2或-2
10、1.
11.-2
解析 因為f(x)是奇函數(shù),
所以f(0)=0,
當x>0時,-x<0,
由f(-x)=-f(x),
得-(-x)2+a(-x)=-(x2-2x),
則a=-2;
當x<0時,-x>0,
由f(-x)=-f(x),
得(-x)2-2(-x)=-(-x2+ax),
得x2+2x=x2-ax,則a=-2.
所以a=-2.
12.①②④
解析 根據(jù)題意有f=-f,結合偶函數(shù)的條件,可知f=-f,所以函數(shù)圖象關于點對稱,故①正確;式子還可以變形為f(x+2)=f(x)=f(-x),故②正確;根據(jù)對稱性,可知函數(shù)在[0,1]上是減函數(shù),故③錯;由②可知f(2)=f(0),故④正確.所以答案為①②④.