新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法、分析法、反證法學案 理 北師大版

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1、 第五節(jié)　綜合法、分析法、反證法 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程和特點． (對應(yīng)學生用書第101頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．綜合法、分析法 內(nèi)容 綜合法 分析法 定義 從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．我們把這樣的思維方法稱為綜合法 從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定

2、義、公理、定理等．我們把這樣的思維方法稱為分析法 實質(zhì) 由因?qū)Ч? 執(zhí)果索因 框圖表示 →→…→ →→…→ 文字語言 因為……所以……或由……得…… 要證……只需證……即證…… 2.反證法 (1)反證法的定義：在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下，經(jīng)過推理，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法． (2)反證法的證題步驟： ①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進行推理，導出矛盾；③否定假設(shè)，肯定結(jié)論． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，

3、錯誤的打“×”) (1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　　) (2)用反證法證明結(jié)論“a＞b”時，應(yīng)假設(shè)“a＜b”．(　　) (3)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾．(　　) (4)在解決問題時，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．用分析法證明時出現(xiàn)：欲使①A＞B，只需②C＜D，這里①是②的(　　) A．充分條件　　　 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　[由題意可知②?①，故①是②的必要條件．] 3．用反證法證明命題：“已知

4、a，b為實數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實根”，故選A.] 4．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則a＋，b＋，c＋三個數(shù)(　　) A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2 D　[∵＋＋ ＝＋＋≥6， 當且僅當a＝b＝c時取等號， ∴三個數(shù)中至少有一個不小于2.]

5、 5．(教材改編)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為__________三角形． 等邊　[由題意2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c， ∴A＝C，∴A＝B＝C＝， ∴△ABC為等邊三角形．] (對應(yīng)學生用書第102頁) 綜合法 　(20xx·江蘇高考)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋

6、1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”． (1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”； (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列． [證明]　(1)因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則 an＝a1＋(n－1)d， 從而，當n≥4時， an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d ＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差數(shù)列{an}是“P(

7、3)數(shù)列”． (2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此， 當n≥3時，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 當n≥4時，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④ 將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′. 在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′， 在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5

8、＝4a3，所以a1＝a3－2d′， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列． [規(guī)律方法]　用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，常與分析法結(jié)合使用，用分析法探路，綜合法書寫.綜合法的適用范圍： (1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、求證無條件的等式或不等式； (2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型. [跟蹤訓練]　設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1. 證明：(1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. 【導學號：79140209】 [證明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 得a2＋b2＋c2≥ab

9、＋bc＋ca， 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. (2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1. 分析法 　已知函數(shù)f(x)＝3x－2x，求證：對于任意的x1，x2∈R，均有≥f. [規(guī)律方法]　1.分析法的適用范圍 當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，?？紤]用分析法

10、. 2.利用分析法證明問題的思路與書寫格式 分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“欲證—只需證—已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性. [跟蹤訓練]　已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c. 求證：＋＝. [證明]　要證＋＝， 即證＋＝3，也就是＋＝1， 只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 故B＝60°， 由余弦定

11、理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成立． 反證法 　設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立． [證明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則由a2＋a<2及a>0，得0

12、規(guī)律方法]　用反證法證明問題的步驟 (1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論) (2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾.(推導矛盾) (3)立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤.既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立.(命題成立) [跟蹤訓練]　等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列. 【導學號：79140210】 [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋， 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr. 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， 所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0， 因為p，q，r∈N＋，所以 所以＝pr，(p－r)2＝0， 所以p＝r，與p≠r矛盾， 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．