新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理 北師大版

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新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理 北師大版_第1頁
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1、 第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式. (對應(yīng)學(xué)生用書第49頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1; (2)商數(shù)關(guān)系:tan α=. 2.誘導(dǎo)公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α

2、 sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口訣 函數(shù)名不變,符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 記憶規(guī)律 奇變偶不變,符號看象限 [知識拓展] 1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用:(1)求值:負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了. (2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了. 2.“1”代換sin2α+cos2α=1. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (

3、1)若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1.(  ) (2)若α∈R,則tan α=恒成立.(  ) (3)sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.(  ) (4)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變,符號看象限”,其中的“奇、偶”是指的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍,“變與不變”指函數(shù)名稱是否變化.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改編)已知α是第二象限角,sin α=,則cos α等于(  ) A.-  B.-   C.   D. B [∵sin α=,α是第二象限角, ∴cos α=-=-.] 3.cos-sin=________.

4、  [cos-sin=cos+sin=cos+sin =cos +sin =+=.] 4.已知tan α=2,則的值為________.  [∵tan α=2, ∴===.] 5.已知sin=,α∈,則sin(π+α)=________. - [因?yàn)閟in=cos α=,α∈,所以sin α==,所以sin(π+α)=-sin α=-.] (對應(yīng)學(xué)生用書第50頁) 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用  (1)已知sin αcos α=,且<α<,則cos α-sin α的值為(  ) A.-  B. C.- D. (2)(20xx·全國卷Ⅲ)若tan α=,則co

5、s2α+2sin 2α=(  ) A. B. C.1 D. (1)B (2)A [(1)∵<α<, ∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0. 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=, ∴cos α-sin α=. (2)∵tan α=,則cos2α+2sin 2α====,故選A.] [規(guī)律方法] 同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化. (2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用:

6、對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個(gè)式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. [跟蹤訓(xùn)練] (1)若sin α=-,且α為第四象限角,則tan α的值等于(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:79140105】 A. B.- C. D.- (2)已知sin θ+cos θ=,θ∈,則sin θ-cos θ的值為(  ) A. B.- C. D.- (1)D (2)B [(1)法一:因?yàn)棣翞榈谒南?/p>

7、限的角,故cos α===, 所以tan α===-. 法二:因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?,且sin α=-,所以可在α的終邊上取一點(diǎn)P(12,-5),則tan α==-.故選D. (2)因?yàn)?sin θ+cos θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin θ·cos θ=1+2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=,則(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θ·cos θ=1-2sin θcos θ=.又因?yàn)棣取?,所以sin θ<cos θ, 即sin θ-cos θ<0, 所以sin θ-cos θ=-.] 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用  (1)化簡s

8、in(-1 071°)sin 99°+sin (-171°)·sin(-261°)的結(jié)果為(  ) A.1 B.-1 C.0 D.2 (2)已知A=+(k∈Z),則A的值構(gòu)成的集合是(  ) A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} (1)C (2)C [(1)原式=(-sin 1 071°)·sin 99°+sin 171°·sin 261° =-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)·sin(270°-9°)=sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°=0. (2)當(dāng)k為偶數(shù)

9、時(shí),A=+=2; k為奇數(shù)時(shí),A=-=-2.] [規(guī)律方法] 利用誘導(dǎo)公式的方法與步驟 (1)方法:利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系,尤其是角之間的互余、互補(bǔ)關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)墓?,向所求角和三角函?shù)進(jìn)行化歸. (2)步驟: 易錯(cuò)警示:利用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號問題. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·南昌一模)(1)若sin=,則cos=________. (2)計(jì)算:=________. (1) (2)-1 [cos=cos=sin=. (2)原式= == =-=-·=-1.] 同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用  (1)(

10、20xx·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=________. (2)(20xx·鄭州質(zhì)檢)已知cos=2sin,則的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號:79140106】 (1)- (2) [(1)由題意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==. tan=tan=- =-=-=-. (2)∵cos=2sin, ∴-sin α=-2cos α,則sin α=2cos α, 代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=. = ==cos2α-=.] [規(guī)律方法] 三角函數(shù)求值與化簡的常用方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=

11、進(jìn)行弦切互化. (2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化. (3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan等. (4)利用相關(guān)角的互補(bǔ)、互余等特殊關(guān)系可簡化解題步驟. [跟蹤訓(xùn)練] (1)已知sin α=,α是第二象限角,則tan(π-α)=________. (2)(20xx·湖北調(diào)考)已知tan=5,則=(  ) A. B.- C.± D.- (1) (2)B [(1)∵sin α=,α是第二象限角, ∴cos α=-, ∴tan α=-,故tan(π-α)=-tan α=. (2)∵tan===-=5,∴tan x=-,∴===-,故選B.]

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