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1、
課時(shí)提升作業(yè)(十四)
一、選擇題
1.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn),則( )
(A)a<-1 (B)a>-1
(C)a>-1e (D)a<-1e
2.(20xx·榆林模擬)函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是( )
(A)(-∞,0)
(B)(0,+∞)
(C)(-∞,-3)和(1,+∞)
(D)(-3,1)
3.(20xx·銅川模擬)對(duì)任意的x∈R,函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是( )
(A)0≤a≤21
2、 (B)a=0或a=7
(C)a<0或a>21 (D)a=0或a=21
4.(20xx·九江模擬)已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且滿足以下條件:
①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);
②g(x)≠0;
③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x).
若f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=52,則a等于( )
(A)12 (B)2 (C)54 (D)2或12
5.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖像畫在同一個(gè)直角坐
3、標(biāo)系中,不可能正確的是( )
6.(20xx·撫州模擬)函數(shù)y=f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線為l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像如圖所示,且a
4、2+cosx的遞增區(qū)間是 .
8.若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則常數(shù)c的值為 .
9.對(duì)于函數(shù)f(x)=-2cosx(x∈[0,π])與函數(shù)g(x)=12x2+lnx有下列命題:
①函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=π2對(duì)稱;
②函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
③函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)圖像上存在平行的切線;
④若函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)在點(diǎn)Q處的切線,則直線PQ的斜率為12-π.
其中正確的命題是 .(將所有正確命題的序號(hào)都填上)
三、解答題
10.(20xx·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=a3x3-a+12x2+x+
5、b,其中a,b∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=5x-4,求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
11.(20xx·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-3x+lnx(a>0).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線平行于x軸,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[12,2]上的最值.
(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
12.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
(2)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.
(3
6、)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函數(shù)g(x)在[1,e]上的最小值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
答案解析
1.【解析】選A.由y′=(ex+ax)′=ex+a=0,得ex=-a,
即x=ln(-a)>0?-a>1?a<-1.
2.【解析】選D.y′=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3)>0?x2+2x-3<0?-3
7、存在極值點(diǎn).
4.【解析】選A.由①②得f(x)g(x)=ax,又[f(x)g(x)]′=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2,
由③知[f(x)g(x)]′<0,故y=ax是減函數(shù),因此0
8、
(1)導(dǎo)數(shù)與增長(zhǎng)速度
①一個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度快,就是說,在自變量的變化相同時(shí),函數(shù)值的增長(zhǎng)大,即平均變化率大,導(dǎo)數(shù)也就大;②一個(gè)函數(shù)減小的速度快,那么在自變量的變化相同時(shí),函數(shù)值的減小大,即平均變化率大,導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值也就大.
(2)導(dǎo)數(shù)與圖像
一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,說明函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快,這時(shí),函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖像就較“平緩”.
6.【思路點(diǎn)撥】y=g(x)是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線,故g′(x)=
f′(x0),據(jù)此判斷F′(x0)是否為0,再進(jìn)一步判斷在x=x0兩側(cè)F′(x)的符號(hào)
9、.
【解析】選B.F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0),
∴F′(x0)=f′(x0)-f′(x0)=0,又當(dāng)xx0時(shí),函數(shù)F(x)是增加的.
7.【解析】f′(x)=(2+cosx)cosx-sinx (-sinx)(2+cosx)2=2cosx+1(2+cosx)2>0,即cosx>-12,結(jié)合三角函數(shù)圖像知,2kπ-2π3
10、:(2kπ-2π3,2kπ+2π3)(k∈Z)
8.【解析】∵x=2是f(x)的極大值點(diǎn),
f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,
∴f′(x)=3x2-4cx+c2,
∴f′(2)=3×4-8c+c2=0,
解得c=2或c=6,當(dāng)c=2時(shí),在x=2處不能取極大值,∴c=6.
答案:6
【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)由f′(2)=0求出c后,不驗(yàn)證是否能夠取到極大值這一條件,導(dǎo)致產(chǎn)生增根.
9.【解析】畫出函數(shù)f(x)=-2cosx,x∈[0,π]的圖像可知①錯(cuò);函數(shù)g(x)=12x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+1x≥2,所以函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù),
11、畫圖知②正確;因?yàn)閒′(x)=2sinx≤2,又因?yàn)間′(x)=x+1x≥2,所以函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)圖像上存在平行的切線,③正確;同時(shí)要使函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)在點(diǎn)Q處的切線只有f′(x)=g′(x)=2,這時(shí)P(π2,0),Q(1,12),所以kPQ=12-π,④也正確.
答案:②③④
10.【解析】(1)f′(x)=ax2-(a+1)x+1.
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(2)=5,于是a=3.
由切點(diǎn)P(2,f(2))在直線y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.
所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3-2x2+x+4.
(2)f′(x)=ax2-
12、(a+1)x+1=a(x-1a)(x-1).
當(dāng)01,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)及(1a,+∞)上是增加的,在區(qū)間(1,1a)上是減少的;
當(dāng)a=1時(shí),1a=1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是增加的;
當(dāng)a>1時(shí),1a<1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1a)及(1,+∞)上是增加的,在區(qū)間(1a,1)上是減少的.
11.【解析】(1)∵f(x)=ax2-3x+lnx,
∴f′(x)=2ax-3+1x,
又f′(1)=0,∴2a-2=0,∴a=1,
∴f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+1x.
令f′(x)=0,即2x-3+1x=0,
13、解得x=12或x=1.
列表如下:
x
12
(12,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
-
0
+
f(x)
-54-ln2
減
-2
增
-2+ln2
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)min=-2;
∵f(2)-f(12)=-2+ln2+54+ln2=ln4-34>1-34>0,
∴當(dāng)x=2時(shí),f(x)max=-2+ln2.
(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=2ax-3+1x=2ax2-3x+1x,令Δ=9-8a.
當(dāng)a≥98時(shí),Δ≤0,f′(x)≥0,
函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增加的,
當(dāng)00,
14、方程2ax2-3x+1=0有兩個(gè)不相等的正根x1,x2,不妨設(shè)x10,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)<0,這時(shí),函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).
綜上,a的取值范圍是[98,+∞).
12.【思路點(diǎn)撥】(1)先判斷f(x)的增減性,再求極值點(diǎn).
(2)設(shè)出切點(diǎn),表示出切線方程,利用直線過點(diǎn)(0,-1),求出切點(diǎn)即可得出切線方程.(3)先求出極值點(diǎn),再根據(jù)該點(diǎn)是否在[1,e]上分類討論.
【解析】(1)f′(x)=lnx+1,x>0.而f′(x)>0,即lnx+1>0,得x>1e.f′(x)<0,即lnx+1<0,得0<
15、x<1e,
所以f(x)在(0,1e)上是減少的,在(1e,+∞)上是增加的.
所以x=1e是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),極大值點(diǎn)不存在.
(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=x0lnx0,切線的斜率為lnx0+1,
所以切線l的方程為y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).
又切線l過點(diǎn)(0,-1),
所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).
解得x0=1,y0=0.
所以直線l的方程為y=x-1.
(3)g(x)=xlnx-a(x-1),則g′(x)=lnx+1-a.
g′(x)<0,即lnx+1-a<0,得00,得
16、x>ea-1,所以g(x)在(0,ea-1)上是減少的,在(ea-1,+∞)上是增加的.
①當(dāng)ea-1≤1即a≤1時(shí),g(x)在[1,e]上是增加的,
所以g(x)在[1,e]上的最小值為g(1)=0.
②當(dāng)1
17、值為a-ea-1;
當(dāng)a≥2時(shí),g(x)的最小值為a+e-ae.
【變式備選】設(shè)f(x)=-13x3+12x2+2ax.
(1)若f(x)在(23,+∞)上存在遞增區(qū)間,求a的取值范圍.
(2)當(dāng)00?a>-19.
(2)已知0<
18、a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-163,而f′(x)=-x2+x+2a的圖像開口向下,且對(duì)稱軸為x=12,∴f′(1)=-1+1+2a=2a>0,
f′(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
則必有一點(diǎn)x0∈[1,4]使得f′(x0)=0,此時(shí)函數(shù)f(x)在[1,x0]上是增加的,在[x0,4]上是減少的,
f(1)=-13+12+2a=16+2a>0,
∴f(4)=-13×64+12×16+8a=-403+8a,
∴-403+8a=-163,得a=1,
此時(shí),由f′(x0)=-x02+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),
所以函數(shù)f(x)max=f(2)=103.
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