新編高三數(shù)學(xué) 第31練 三角函數(shù)綜合練

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1、 第31練 三角函數(shù)綜合練 訓(xùn)練目標(biāo) (1)三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的應(yīng)用;(2)三角函數(shù)與解三角形的綜合. 訓(xùn)練題型 (1)討論函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的圖象、性質(zhì);(2)三角變換和三角函數(shù)的結(jié)合;(3)三角函數(shù)與解三角形. 解題策略 (1)討論三角函數(shù)的性質(zhì),可先進行三角變換,化成y=Asin(ωx+φ)+k的形式或復(fù)合函數(shù);(2)解題中貫穿整體代換、數(shù)形結(jié)合思想;(3)三角函數(shù)和解三角形的綜合問題,一定要結(jié)合正弦、余弦定理,利用三角形中的邊角關(guān)系. 一、選擇題 1.若tan α=2tan ,則等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4

2、 2.已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α等于(  ) A. B. C.- D.- 3.已知A,B,C,D,E是函數(shù)y=sin(ωx+φ)一個周期內(nèi)的圖象上的五個點,如圖,A,B為y軸上的點,C為圖象上的最低點,E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心,B與D關(guān)于點E對稱,在x軸上的投影為,則ω,φ的值為(  ) A.ω=2,φ= B.ω=2,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ= 4.在△ABC中,已知2acos B=c,sin AsinB(2-cosC)=sin2+,則△ABC為(  ) A.等邊三角形 B.等腰直角三角形 C.銳角非等邊三角形 D.鈍角三角形

3、 5.(20xx·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),x=-為f(x)的零點,x=為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在上單調(diào),則ω的最大值為(  ) A.11 B.9 C.7 D.5 二、填空題 6.已知扇形的周長為4 cm,當(dāng)它的半徑為________ cm和圓心角為________弧度時,扇形面積最大,這個最大面積是________ cm2. 7.當(dāng)x∈時,函數(shù)y=3-sin x-2cos2x的最小值是________,最大值是________. 8.若cosα=,cos(α+β)=-,α∈,α+β∈,則β=________. 9.如圖,某氣象儀器

4、研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C處進行該儀器的垂直彈射,觀測點A,B兩地相距100 m,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚 s.在A地測得該儀器至最高點H時的仰角為30°,則該儀器的垂直彈射高度CH=________ m.(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s) 三、解答題 10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin A-sin C(cosB+sin B)=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,且△ABC的面積為,求a,b的值. 答案精析 1.C [==

5、 ====3.] 2.C [∵sin α+2cos α=, ∴sin2α+4sin α·cosα+4cos2α=. 用降冪公式化簡得4sin 2α=-3cos 2α, ∴tan 2α==-.故選C.] 3.A [因為A,B與D關(guān)于點E對稱,在x軸上的投影為, 所以T=4×=π,所以ω=2. 因為A,所以0=sin, 所以-+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z. 又因為0<φ<,所以φ=.故選A.] 4.B [由正弦定理,得2sin AcosB=sin C. 在△ABC中,A+B+C=π,∴sin C=sin(A+B), ∴2sin AcosB=sin Aco

6、sB+cosAsinB, 整理得sin AcosB=cosAsinB, ∴tan A=tan B. 又∵A,B∈(0,π),∴A=B. ∵sin AsinB(2-cosC)=sin2+, ∴sin AsinB=sin2+, ∴sin AsinB=, ∴sin AsinB=. ∵A=B,∴sin A=sin B=. ∵A,B∈(0,π),∴A=B=. ∵A+B+C=π,∴C=, ∴△ABC是等腰直角三角形.] 5.B [因為x=-為f(x)的零點,x=為f(x)的圖象的對稱軸,所以-=+kT, 即=T=·,所以ω=4k+1(k∈N*),又因為f(x)在上單調(diào), 所以-

7、=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值為9,故選B.] 6.1 2 1 解析 設(shè)扇形的圓心角為α,半徑為r cm,則2r+|α|r=4,∴|α|=-2, ∴S扇形=|α|·r2=2r-r2=-(r-1)2+1,∴當(dāng)r=1時,(S扇形)max=1,此時|α|=2. 7. 2 解析 ∵x∈,∴sin x∈. 又∵y=3-sin x-2cos2x=3-sin x- 2(1-sin2x)=22+, ∴當(dāng)sin x=時,ymin=; 當(dāng)sin x=-或sin x=1時,ymax=2. 8. 解析 ∵cosα=,α∈, ∴sin α=. 又∵cos(α+β)=-,α+β∈, ∴s

8、in(α+β)=, ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sin α=. 又∵α∈,α+β∈, ∴β∈(0,π),∴β=. 9.140 解析 由題意,設(shè)AC=x m,則BC=x-×340=(x-40) m.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°,∠ACH=90°,所以CH=AC·tan∠CAH=140(m). 故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m. 10.解 (1)由題意得,∵A+B+C=π, ∴sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C), ∴sin BcosC+sin CcosB-sin CcosB-sin BsinC=0, 即sin B(cosC-sin C)=0, ∵0

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