《新版高考數學一輪復習學案訓練課件: 第3章 三角函數、解三角形 第3節(jié) 三角函數的圖像與性質學案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新版高考數學一輪復習學案訓練課件: 第3章 三角函數、解三角形 第3節(jié) 三角函數的圖像與性質學案 理 北師大版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
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2、 1
第三節(jié) 三角函數的圖像與性質
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數的周期性.2.理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等),理解正切函數在區(qū)間內的單調性.
(對應學生用書第51頁)
[基礎知識填充]
1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
正弦
3、函數y=sin x,x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
余弦函數y=cos x,x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像與性質
函數
y=sin x
y=cos x
y=tan x
圖像
定義域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
單調性
遞增區(qū)間:,k∈Z,遞減區(qū)間:,k∈Z
遞增區(qū)間:
[2kπ-π,2kπ],
k∈Z,
遞減區(qū)間:
[2kπ,2kπ+π],
k∈Z
遞增區(qū)間
,
k∈Z
奇
4、偶性
奇函數
偶函數
奇函數
對稱性
對稱中心(kπ,0),k∈Z
對稱中心,k∈Z
對稱中心,k∈Z
對稱軸x=kπ+(k∈Z)
對稱軸x=kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
[知識拓展] 1.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),則
(1)f(x)為偶函數的充要條件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)為奇函數的充要條件是φ=kπ(k∈Z).
2.f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0).
(1)f(x)為奇函數的充要條件:φ=kπ+,k∈Z.
(2)f(x)為偶函數的充要條件:φ=kπ,k∈Z.
[基本能力自測]
5、1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)常數函數f(x)=a是周期函數,它沒有最小正周期.( )
(2)函數y=sin x的圖像關于點(kπ,0)(k∈Z)中心對稱.( )
(3)正切函數y=tan x在定義域內是增函數.( )
(4)已知y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值為k+1.( )
(5)y=sin |x|是偶函數.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.(20xx·全國卷Ⅱ)函數f(x)=sin的最小正周期為( )
A.4π B.2π
C.π D.
C [函
6、數f(x)=sin的最小正周期T==π.故選C.]
3.函數y=tan 2x的定義域是( )
A.
B.
C.
D.
D [由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
所以y=tan 2x的定義域為.]
4.函數y=sin,x∈[-2π,2π]的單調遞增區(qū)間是( )
A. B.和
C. D.
C [令z=x+,函數y=sin z的單調遞增區(qū)間為(k∈Z),由2kπ-≤x+≤2kπ+得4kπ-≤x≤4kπ+,而x∈[-2π,2π],故其單調遞增區(qū)間是,故選C.]
5.(教材改編)函數f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為________.
- [由已知x∈,得2
7、x-∈,
所以sin∈,故函數f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為-.]
(對應學生用書第52頁)
三角函數的定義域與值域
(1)(20xx·全國卷Ⅱ)函數f(x)=cos 2x+6cos的最大值為( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)函數y=lg sin x+的定義域為________.
(1)B (2) [(1)∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x
=1-2sin2x+6sin x=-2+,
又sin x∈[-1,1],∴當sin x=1時,f(x)取得最大值5.故選B.
(2)要使函數有意義,則有
8、即
解得(k∈Z),
∴2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.
∴函數的定義域為
.]
[規(guī)律方法] 1.三角函數定義域的求法
求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組),常借助三角函數線或三角函數圖像來求解.
2.求三角函數最值或值域的常用方法
(1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.
(2)化一法:把所給三角函數化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函數單調性寫出函數的值域.
(3)換元法:把sin x,cos x,sin xcos x或sin x±cos x換成t,轉化為二次函數求解.
[跟蹤訓練] (1)已知函數y=2cos x的定義域為,
9、值域為[a,b],則b-a的值是( )
A.2 B.3 C.+2 D.2-
(2)函數y=sin x-cos x+sin x cos x,x∈[0,π]的值域為________.
(1)B (2)[-1,1] [(1)∵x∈,∴cos x∈,∴y=2cos x的值域為[-2,1],
∴b-a=3.
(2)設t=sin x-cos x,
則t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
即sin xcos x=,且-1≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
當t=1時,ymax=1;
當t=-1時,ymin=-1.
∴函數的值域為[-1,1]
10、.]
三角函數的單調性
(1)函數f(x)=sin的單調減區(qū)間為________.
【導學號:79140111】
(2)若函數f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,則ω=________.
(1)(k∈Z) (2) [(1)由已知函數為y=-sin,欲求函數的單調減區(qū)間,只需求y=sin的單調增區(qū)間即可.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函數的單調減區(qū)間為(k∈Z).
(2)∵f(x)=sin ωx(ω>0)過原點,
∴當0≤ωx≤,即0≤x≤時,y=sin ωx是增函數;
當≤ω
11、x≤,即≤x≤時,y=sin ωx是減函數.
由f(x)=sin ωx(ω>0)在上單調遞增,
在上單調遞減知,=,∴ω=.]
[規(guī)律方法] 1.求三角函數單調區(qū)間的兩種方法
(1)代換法:求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調區(qū)間時,要視“ωx+φ”為一個整體,通過解不等式求解.若ω<0,應先用誘導公式化x的系數為正數,以防止把單調性弄錯.
(2)圖像法:畫出三角函數的圖像,利用圖像求它的單調區(qū)間.
2.已知三角函數的單調區(qū)間求參數.先求出函數的單調區(qū)間,然后利用集合間的關系求解.
[跟蹤訓練] (1)函數y=|tan x|在上的單調減區(qū)間為________.
【導
12、學號:79140112】
(2)已知函數f(x)=sin+cos 2x,則f(x)的一個單調遞減區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
(1)和 (2)A [(1)如圖,觀察圖像可知,y=|tan x|在上的單調減區(qū)間為和.
(2)由題意得f(x)=sin+cos 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x=sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,得函數y=f(x)的一個單調遞減區(qū)間為,故選A.]
三角函數的奇偶性、周期性、對稱性
◎角度1 三角函數的奇偶性與周期性
(1)在函數:①y=cos|2x|;②
13、y=|cos x|;③y=cos2x+;④y=tan中,最小正周期為π的所有函數為( )
A.②④ B.①③④
C.①②③ D.①③
(2)函數y=1-2sin2是( )
A.最小正周期為π的奇函數
B.最小正周期為π的偶函數
C.最小正周期為的奇函數
D.最小正周期為的偶函數
(1)C (2)A [(1)①y=cos|2x|=cos 2x,T=π.
②由圖像知,函數的周期T=π.
③T=π.
④T=.
綜上可知,最小正周期為π的所有函數為①②③.
(2)y=1-2sin2=cos 2=-sin 2x,所以f(x)是最小正周期為π的奇函數.]
◎角度2 三角函數
14、的對稱性
(1)(20xx·東北三省四市模擬(一))已知函數f(x)=2sin(ω>0)的周期為π,則下列選項正確的是( )
A.函數f(x)的圖像關于點對稱
B.函數f(x)的圖像關于點對稱
C.函數f(x)的圖像關于直線x=對稱
D.函數f(x)的圖像關于直線x=-對稱
(2)已知ω>0,0<φ<π,直線x=和x=是函數f(x)=sin(ωx+φ)圖像的兩條相鄰的對稱軸,則φ=( )
A. B.
C. D.
(1)B (2)A [(1)因為ω==2,所以f(x)=2sin.由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),當k=0時,x=-,所以函數f(x)的圖
15、像關于點對稱,故選B.
(2)由題意得=2,∴ω=1,
∴f(x)=sin(x+φ),∴+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故選A.]
[規(guī)律方法] 1.函數f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性與對稱性
(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)為偶函數,則當x=0時,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)為奇函數,則當x=0時,f(x)=0.
(2)對于函數y=Asin(ωx+φ),其對稱軸一定經過圖像的最高點或最低點,對稱中心一定是函數的零點,因此在判斷直線x=x0或點(x0,0)是否是函數的對稱軸或對稱中心時,可通過檢驗f(x0
16、)的值進行判斷.
2.求三角函數周期的方法:
(1)利用周期函數的定義.
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,y=tan(ωx+φ)的最小正周期為.
(3)借助函數的圖像.
[跟蹤訓練] (1)(20xx·全國卷Ⅲ)設函數f(x)=cos,則下列結論錯誤的是( )
A.f(x)的一個周期為-2π
B.y=f(x)的圖像關于直線x=對稱
C.f(x+π)的一個零點為x=
D.f(x)在單調遞減
(2)如果函數y=3cos(2x+φ)的圖像關于點中心對稱,那么|φ|的最小值為( )
A. B.
C. D.
(1)D
17、 (2) A [(1)A項,因為f(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個周期為-2π,A項正確.
B項,因為f(x)=cos圖像的對稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖像關于直線x=對稱,B項正確.
C項,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,當k=1時,x=,所以f(x+π)的一個零點為x=,C項正確.
D項,因為f(x)=cos的遞減區(qū)間為(k∈Z),遞增區(qū)間為(k∈Z),所以是減區(qū)間,是增區(qū)間,D項錯誤.
故選D.
(2)由題意得3cos
=3cos=3cos=0,
所以+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ-(k∈Z),
取k=0,得|φ|的最小值為.故選A.]