新編高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第五章】平面向量 學案24
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1、新編高考數(shù)學復習資料 學案24 正弦定理和余弦定理應用舉例 導學目標: 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. 自主梳理 1.仰角和俯角 與目標視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方時叫仰角,目標視線在水平視線下方時叫俯角.(如圖所示) 2.方位角 一般指北方向線順時針到目標方向線的水平角,如方位角45°,是指北偏東45°,即東北方向. 3.方向角:相對于某一正方向的水平角.(如圖所示) ①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向. ②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標
2、方向. ③南偏西等其他方向角類似. 4.坡角 坡面與水平面的夾角.(如圖所示) 5.坡比 坡面的鉛直高度與水平寬度之比,即i==tan α(i為坡比,α為坡角). 6.解題的基本思路 運用正、余弦定理處理實際測量中的距離、高度、角度等問題,實質(zhì)是數(shù)學知識在生活中的應用,要解決好,就要把握如何把實際問題數(shù)學化,也就是如何把握一個抽象、概括的問題,即建立數(shù)學模型. 自我檢測 1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β之間的關系是 ( ) A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2.(2011·承
3、德模擬)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的 ( ) A.北偏東10° B.北偏西10° C.南偏東10° D.南偏西10° 3.如圖所示,為了測量某障礙物兩側A、B間的距離,給定下列四組數(shù)據(jù),不能確定A、B間距離的是 ( ) A.α,a,b
4、 B.α,β,a C.a(chǎn),b,γ D.α,β,b 4.在200 m高的山頂上,測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°、60°,則塔高為________m. 5.(2010·全國Ⅱ)△ABC中,D為邊BC上的一點,BD=33,sin B=,cos∠ADC=,求AD. 探究點一 與距離有關的問題 例1 (2010·陜西)如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個觀測點,現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/時,該救援
5、船到達D點需要多長時間? 變式遷移1 某觀測站C在目標A的南偏西25°方向,從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路,在C處測得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去,走20千米到達D,此時測得CD為21千米,求此人在D處距A還有多少千米? 探究點二 測量高度問題 例2 如圖所示,測量河對岸的塔高AB時,可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,現(xiàn)測得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB. 變式遷移2 某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40米后,望見塔在東北方向
6、,若沿途測得塔的最大仰角為30°,求塔高. 探究點三 三角形中最值問題 例3 (2010·江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位:m),示意圖如圖所示,垂直放置的標桿BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1)該小組已測得一組α、β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,請據(jù)此算出H的值; (2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d(單位:m),使α與β之差較大,可以提高測量精度.若電視塔實際高度為125 m,試問d為多少時,α-β最大? 變式遷移3 (2011·宜昌模擬)如圖所示,已知
7、半圓的直徑AB=2,點C在AB的延長線上,BC=1,點P為半圓上的一個動點,以DC為邊作等邊△PCD,且點D與圓心O分別在PC的兩側,求四邊形OPDC面積的最大值. 1.解三角形的一般步驟 (1)分析題意,準確理解題意. 分清已知與所求,尤其要理解應用題中的有關名詞、術語,如坡度、仰角、俯角、方位角等. (2)根據(jù)題意畫出示意圖. (3)將需求解的問題歸結到一個或幾個三角形中,通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解.演算過程中,要算法簡練,計算正確,并作答. (4)檢驗解出的答案是否具有實際意義,對解進行取舍. 2.應用舉例中常見幾種題型 測量距離
8、問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角的余弦值為 ( ) A. B. C. D. 2.(2011·揭陽模擬)如圖,設A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側,在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計算出A、B兩點的距離為
9、 ( ) A.50 m B.50 m C.25 m D. m 3.△ABC的兩邊長分別為2,3,其夾角的余弦值為,則其外接圓的半徑為 ( ) A. B. C. D.9 4.(2011·滄州模擬)某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3 km,結果他離出發(fā)點恰好是 km,那么x的值為 ( ) A. B.2 C.或2 D.3 5.一船向正北航行,看見正西方向有相距10海里的兩個燈
10、塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60°方向,另一燈塔在船的南偏西75°方向,則這只船的速度是每小時 ( ) A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.一船以每小時15 km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為___
11、_____. 7.(2011·臺州模擬)某校運動會開幕式上舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示),旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌長度約為50秒,升旗手應以________米/秒的速度勻速升旗. 8.(2011·宜昌模擬)線段AB外有一點C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛,同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛,則運動開始________h后,兩車的距離最小. 三、解答題(共38分) 9.(12
12、分)(2009·遼寧)如圖,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°、30°,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°,AC=0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等,然后求B、D的距離(計算結果精確到0.01 km,≈1.414,≈2.449). 10.(12分)如圖所示,甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處,此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A2處時,乙船航行到甲船
13、的南偏西60°方向的B2處,此時兩船相距10海里.問乙船每小時航行多少海里? 11.(14分)(2009·福建)如圖, 某市擬在長為8 km的道路OP的一側修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點為S(3,2);賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運動員的安全,限定∠MNP=120°. (1)求A,ω的值和M,P兩點間的距離; (2)應如何設計,才能使折線段賽道MNP最長? 答案 自我檢測 1.B 2.B 3.A 4. 5.解 由cos∠
14、ADC=>0知B<, 由已知得cos B=,sin∠ADC=, 從而sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B =×-×=. 由正弦定理得,=, 所以AD===25. 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 這類實際應用題,實質(zhì)就是解三角形問題,一般都離不開正弦定理和余弦定理,在解題中,首先要正確地畫出符合題意的示意圖,然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解.注意:①基線的選取要恰當準確;②選取的三角形及正、余弦定理要恰當. 解 由題意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, ∴∠ADB=1
15、80°-(45°+30°)=105°. 在△DAB中,由正弦定理,得=, ∴DB== ==10(海里). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20(海里), 在△DBC中,由余弦定理,得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10×20× =900,∴CD=30(海里), ∴需要的時間t==1(小時). 故救援船到達D點需要1小時. 變式遷移1 解 如圖所示,易知∠CAD=25°+35°=60°,在△BCD中, cos B==, 所以sin B=. 在△ABC中,AC==24,
16、由BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A, 得AB2-24AB-385=0, 解得AB=35,AB=-11(舍), 所以AD=AB-BD=15. 故此人在D處距A還有15千米. 例2 解題導引 在測量高度時,要正確理解仰角、俯角的概念,畫出準確的示意圖,恰當?shù)剡x取相關的三角形和正、余弦定理逐步進行求解.注意綜合應用方程和平面幾何、立體幾何等知識. 解 在△BCD中,∠CBD=π-α-β. 由正弦定理得=, 所以BC==, 在Rt△ABC中, AB=BCtan∠ACB=. 變式遷移2 解 由題意可知,在△BCD中,CD=40, ∠BCD=30°,∠DBC
17、=135°, 由正弦定理得, =, ∴BD==20. 過B作BE⊥CD于E,顯然當人在E處時, 測得塔的仰角最大,有∠BEA=30°. 在Rt△BED中, 又∵∠BDE=180°-135°-30°=15°. ∴BE=DB·sin 15°=20×=10(-1). 在Rt△ABE中, AB=BE·tan 30°=(3-)(米). 故所求的塔高為(3-)米. 例3 解題導引 平面幾何圖形中研究或求有關長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題.而這些幾何問題通常是轉(zhuǎn)化到三角形中,利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題時,常先引入變量,如邊長、角度等,然后把要解
18、三角形的邊或角用所設變量表示出來,再利用正、余弦定理列出方程,解之.若研究最值,常使用函數(shù)思想. 解 (1)由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD, 得+=, 解得H===124(m). 因此,算出的電視塔的高度H是124 m. (2)由題設知d=AB,得tan α=. 由AB=AD-BD=-,得tan β=. 所以tan(α-β)= =≤, 當且僅當d=, 即d===55時, 上式取等號,所以當d=55時,tan(α-β)最大. 因為0<β<α<,則0<α-β<, 所以當d=55時,α-β最大. 變式遷移3 解 設∠POB=θ,四邊形面積為y, 則在△
19、POC中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ. ∴y=S△OPC+S△PCD=×1×2sin θ+(5-4cos θ) =2sin(θ-)+. ∴當θ-=,即θ=時,ymax=2+. 所以四邊形OPDC面積的最大值為2+. 課后練習區(qū) 1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.30 km 7.0.6 8. 解析 如圖所示:設t h后,汽車由A行駛到D,摩托車由B行駛到E,則AD=80t,BE=50t. 因為AB=200,所以BD=200-80t, 問題就是求DE最小時t的值. 由余弦定理得,DE2=BD2+BE
20、2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t =12900t2-42000t+40000. ∴當t=時,DE最?。? 9.解 在△ACD中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以CD=AC=0.1.………………………………………………………………………(2分) 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 所以△ABC≌△CBD, 所以BA=BD.……………………………………………………………………………(6分) 在△ABC中,=, 即AB==,…………………………………………………………(10分
21、) 所以BD=≈0.33(km). 故B、D的距離約為0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10.解 如圖,連接A1B2,由題意知, A1B1=20,A2B2=10, A1A2=×30=10(海里).…………………………………………………………(2分) 又∵∠B2A2A1=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2是等邊三角形, ∠B1A1B2=105°-60°=45°.……………………………………………………………(6分) 在△A1B2B1中,由余弦定理得 B1B=A1B+A1B-2A1B1·A1B2cos 45° =202
22、+(10)2-2×20×10×=200, ∴B1B2=10(海里).…………………………………………………………………(10分) 因此乙船的速度大小為 ×60=30(海里/小時).…………………………………………………………(12分) 11.解 方法一 (1)依題意,有A=2,=3, 又T=,∴ω=.∴y=2sinx.(3分) 當x=4時,y=2sin=3,∴M(4,3). 又P(8,0),∴MP==5.…………………………………………………………(5分) (2)如圖,連接MP,在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5. 設∠PMN=θ, 則0°<θ<60°. 由
23、正弦定理得==, ∴NP=sin θ,MN=sin(60°-θ),…………………………………………(8分) ∴NP+MN=sin θ+sin(60°-θ) ==sin(θ+60°).…………………………………………(12分) ∵0°<θ<60°,∴當θ=30°時,折線段賽道MNP最長. 即將∠PMN設計為30°時, 折線段賽道MNP最長.…………………………………………………………………(14分) 方法二 (1)同方法一. (2)連結MP.在△MNP中,∠MNP=120°.MP=5, 由余弦定理得,MN2+NP2-2MN·NP·cos∠MNP=MP2.………………………………(8分) 即MN2+NP2+MN·NP=25. 故(MN+NP)2-25=MN·NP≤2, ……………………………………………………………………………………………(10分) 從而(MN+NP)2≤25,即MN+NP≤. 當且僅當MN=NP時等號成立. 即設計為MN=NP時, 折線段賽道MNP最長.…………………………………………………………………(14分)
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