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1、新編高考數(shù)學復習資料
第6講 正弦定理和余弦定理
基礎鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、填空題
1．(2013·鹽城模擬)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，則C＝________.
解析 由a2－c2＋b2＝ab，得cos C＝＝＝，所以C＝30°.
答案 30°
2．(2014·合肥模擬)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長為________．
解析 S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案
3．(2013·新課標全國Ⅱ卷改編)△A
2、BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為________．
解析 由正弦定理＝及已知條件得c＝2，
又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.
從而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
答案?。?
4．(2013·山東卷改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，則c＝________.
解析 由＝，得＝，所以＝，故cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，B＝，C＝，c＝＝＝2.
答案 2
5．(2013·陜西卷改編)設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C
3、＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為________三角形(填“直角”、“銳角”或“鈍角”)．
解析 由正弦定理及已知條件可知sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2 A，即sin(B＋C)＝sin2 A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A，所以sin2 A＝sin A，又0＜A＜π，sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝.
答案 直角
6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________．
解析 由題意知，sin B＋cos B＝，所以sin＝，所以B＝，根據(jù)正弦定理
4、可知＝，可得＝，所以sin A＝，又a＜b，故A＝.
答案
7．(2014·惠州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為________．
解析 由余弦定理，得＝cos B，結(jié)合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.
答案 或
8．(2013·煙臺一模)設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，則sin B等于________．
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝得sin C＝.由正弦定理＝，得sin
5、 B＝＝×＝(或者因為c＝2，所以b＝c＝2，即三角形為等腰三角形，所以sin B＝sin C＝)．
答案
二、解答題
9．(2014·揚州質(zhì)檢)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且a＝c＋bcos C.
(1)求角B的大??；
(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．
解 (1)由正弦定理，得sin A＝sin C＋sin Bcos C，
又因為A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)，
可得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin C＋sin Bcos C，
即cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因為S△ABC＝，
6、所以acsin＝，所以ac＝4，
由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac，
所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5.
10．(2013·深圳二模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7.
(1)求角C的大?。?
(2)求sin的值．
解 (1)由余弦定理，得cos C＝＝＝－.∵0＜C＜π，∴C＝.
(2)由正弦定理＝，得
sin B＝＝＝，
∵C＝，∴B為銳角，
∴cos B＝＝＝.
∴sin＝sin Bcos ＋cos Bsin
＝×＋×＝.
能力提升題組
(建議用時：25分鐘)
一、填空題
1．(
7、2014·溫嶺中學模擬)在銳角△ABC中，若BC＝2，sin A＝，則·的最大值為________．
解析 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×＝4，由基本不等式可得4≥bc，即bc≤3，又∵sin A＝，∴cos A＝，所以·＝bccos A＝bc≤1.
答案 1
2．(2013·青島一中調(diào)研)在△ABC中，三邊長a，b，c滿足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形狀為________三角形．(填“銳角”、“鈍角”或“直角”)．
解析 由題意可知c＞a，c＞b，即角C最大，
所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2＜ca2＋cb2，即
c3＜ca2＋cb2，所以c2＜a2＋b2.根據(jù)余
8、弦定理，得cos C＝＞0，所以0＜C＜，即三角形為銳角三角形．
答案 銳角
3．在△ABC中，B＝60°，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________ .
解析 由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有
9、最大值2.
答案 2
二、解答題
4．(2013·長沙模擬)在△ABC中，邊a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcos C＝(3a－c)cos B.
(1)求cos B；
(2)若·＝4，b＝4，求邊a，c的值．
解 (1)由正弦定理和bcos C＝(3a－c)cos B，
得sin Bcos C＝(3sin A－sin C)cos B，
化簡，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B，
即sin(B＋C)＝3sin Acos B，
故sin A＝3sin Acos B，所以cos B＝.
(2)因為·＝4，所以·＝||·||·
cos B＝4，所以||·||＝12，即ac＝12.①
又因為cos B＝＝，整理得，a2＋c2＝40.②
聯(lián)立①②解得或
新編高考數(shù)學文科一輪總復習 46
