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高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合二項(xiàng)定理
考試內(nèi)容:
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有排列.排列數(shù)公式.
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有組合.組合數(shù)公式.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì).
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有二項(xiàng)式定理.二項(xiàng)展開式的性質(zhì).
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有考試要求:
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有(1)掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.
3、
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有(2)理解排列的意義,掌握排列數(shù)計(jì)算公式,并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有(3)理解組合的意義,掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì),并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有(4)掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì),并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問題.
§10. 排列組合二項(xiàng)定理 知識(shí)要點(diǎn)
一、兩個(gè)原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重復(fù)元素的排列.
從m個(gè)不同元素中,每次取出n個(gè)元素,元素可以重復(fù)出現(xiàn),按照一定的順序排成一排,那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè),所以從m個(gè)不同元素中,每次取出n個(gè)元素可重
4、復(fù)排列數(shù)m·m·… m = mn.. 例如:n件物品放入m個(gè)抽屜中,不限放法,共有多少種不同放法? (解:種)
二、排列.
1. ⑴對(duì)排列定義的理解.
定義:從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素,按照一定順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
⑵相同排列.
如果;兩個(gè)排列相同,不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同,而且排列的順序也必須完全相同.
⑶排列數(shù).
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列,稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù),用符號(hào)表示.
⑷排列數(shù)公式:
注意: 規(guī)定0!
5、 = 1
規(guī)定
2. 含有可重元素的排列問題.
對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是:設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1,a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk,且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于.
例如:已知數(shù)字3、2、2,求其排列個(gè)數(shù)又例如:數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)?其排列個(gè)數(shù).
三、組合.
1. ⑴組合:從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
⑵組合數(shù)公式:
⑶兩個(gè)公式:① ②
①從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素,因此從n個(gè)不同元素
6、中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的,因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.
(或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中,n個(gè)白球一個(gè)紅球,任取m個(gè)不同小球其不同選法,分二類,一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有)
②根據(jù)組合定義與加法原理得;在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí),對(duì)于某一元素,只存在取與不取兩種可能,如果取這一元素,則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素,所以有C,如果不取這一元素,則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素,所以共有C種,依分類原理有.
⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.
聯(lián)系:都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.
區(qū)別:前者是“排成
7、一排”,后者是“并成一組”,前者有順序關(guān)系,后者無順序關(guān)系.
⑸①幾個(gè)常用組合數(shù)公式
②常用的證明組合等式方法例.
i. 裂項(xiàng)求和法. 如:(利用)
ii. 導(dǎo)數(shù)法. iii. 數(shù)學(xué)歸納法. iv. 倒序求和法.
v. 遞推法(即用遞推)如:.
vi. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如:
證明:這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù),左邊為
,而右邊
四、排列、組合綜合.
1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型:
①直接法. ②排除法.
③捆綁法:在特定要求的條件下,將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮,待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”,例
8、如,一般地,n個(gè)不同元素排成一列,要求其中某個(gè)元素必相鄰的排列有個(gè).其中是一個(gè)“整體排列”,而則是“局部排列”.
又例如①有n個(gè)不同座位,A、B兩個(gè)不能相鄰,則有排列法種數(shù)為.
②有n件不同商品,若其中A、B排在一起有.
③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有.
注:①③區(qū)別在于①是確定的座位,有種;而③的商品地位相同,是從n件不同商品任取的2個(gè),有不確定性.
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中,此法主要解決“元素不相鄰問題”.
例如:n個(gè)元素全排列,其中m個(gè)元素互不相鄰,不同的排法種數(shù)為多少?(插空法),當(dāng)n – m+1≥m, 即m
9、≤時(shí)有意義.
⑤占位法:從元素的特殊性上講,對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列,然后再排其他一般元素;從位置的特殊性上講,對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.
⑥調(diào)序法:當(dāng)某些元素次序一定時(shí),可用此法.解題方法是:先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種,個(gè)元素的全排列有種,由于要求m個(gè)元素次序一定,因此只能取其中的某一種排法,可以利用除法起到去調(diào)序的作用,即若n個(gè)元素排成一列,其中m個(gè)元素次序一定,共有種排列方法.
例如:n個(gè)元素全排列,其中m個(gè)元素順序不變,共有多少種不同的排法?
解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m??;解法二
10、:(比例分配法).
⑦平均法:若把kn個(gè)不同元素平均分成k組,每組n個(gè),共有.
例如:從1,2,3,4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法?有(平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了)又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組,其中兩名種子選手必在一組的概率是多少?
()
注意:分組與插空綜合. 例如:n個(gè)元素全排列,其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變,共有多少種排法?有,當(dāng)n – m+1 ≥m, 即m≤時(shí)有意義.
⑧隔板法:常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.
例如:的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列,在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板,把球分成4個(gè)組.
11、每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然,故()是方程的一組解.反之,方程的任何一組解,對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式(如圖
所示)故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).
注意:若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù),即用中等于,有,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .
⑨定位問題:從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi),并且都排在某r個(gè)指定位置則有.
例如:從n個(gè)不同元素中,每次取出m個(gè)元素的排列,其中某個(gè)元素必須固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少種排法?
固定在某一位置上:;不在某一位置上:或(一
12、類是不取出特殊元素a,有,一類是取特殊元素a,有從m-1個(gè)位置取一個(gè)位置,然后再從n-1個(gè)元素中取m-1,這與用插空法解決是一樣的)
⑩指定元素排列組合問題.
i. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列(或組合),規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi) 。先C后A策略,排列;組合.
ii. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列(或組合),規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略,排列;組合.
iii 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列(或組合),規(guī)定每個(gè)排列(或組合)都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先C后A策略,排列;組合.
II. 排列組合常見解題策略:
①特殊元素優(yōu)
13、先安排策略;②合理分類與準(zhǔn)確分步策略;③排列、組合混合問題先選后排的策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素,后排列);④正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化策略;⑤相鄰問題插空處理策略;
⑥不相鄰問題插空處理策略;⑦定序問題除法處理策略;⑧分排問題直排處理的策略;⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略;⑩構(gòu)造模型的策略.
2. 組合問題中分組問題和分配問題.
①均勻不編號(hào)分組:將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組,假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等,不管是否分盡,其分法種數(shù)為(其中A為非均勻不編號(hào)分組中分法數(shù)).如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以.
例:10人分成三組,各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4,其分法種數(shù)為.若分成六組
14、,各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2,其分法種數(shù)為
②非均勻編號(hào)分組: n個(gè)不同元素分組,各組元素?cái)?shù)目均不相等,且考慮各組間的順序,其分法種數(shù)為
例:10人分成三組,各組人數(shù)分別為2、3、5,去參加不同的勞動(dòng),其安排方法為:種.
若從10人中選9人分成三組,人數(shù)分別為2、3、4,參加不同的勞動(dòng),則安排方法有種
③均勻編號(hào)分組:n個(gè)不同元素分成m組,其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序,其分法種數(shù)為.
例:10人分成三組,人數(shù)分別為2、4、4,參加三種不同勞動(dòng),分法種數(shù)為
④非均勻不編號(hào)分組:將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組,每組元素?cái)?shù)目均不相同,且不考慮各組間順序,不管是否分盡
15、,其分法種數(shù)為…
例:10人分成三組,每組人數(shù)分別為2、3、5,其分法種數(shù)為若從10人中選出6人分成三組,各組人數(shù)分別為1、2、3,其分法種數(shù)為.
五、二項(xiàng)式定理.
1. ⑴二項(xiàng)式定理:.
展開式具有以下特點(diǎn):
① 項(xiàng)數(shù):共有項(xiàng);
② 系數(shù):依次為組合數(shù)
③ 每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的,即為n次,展開式依a的降幕排列,b的升幕排列展開.
⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).
展開式中的第項(xiàng)為:.
⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).
①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等;
②二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.
I. 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間項(xiàng)是第項(xiàng),它的二項(xiàng)式系數(shù)最大;
II. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間項(xiàng)為兩項(xiàng),即第項(xiàng)和第項(xiàng),它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大.
③系數(shù)和:
附:一般來說為常數(shù))在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解. 當(dāng)時(shí),一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對(duì)值)的辦法來求解.
⑷如何來求展開式中含的系數(shù)呢?其中且把視為二項(xiàng)式,先找出含有的項(xiàng),另一方面在中含有的項(xiàng)為,故在中含的項(xiàng)為.其系數(shù)為.
2. 近似計(jì)算的處理方法.
當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí),常用近似公式,因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分很小,可以忽略不計(jì)。類似地,有但使用這兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件,以及對(duì)計(jì)算精確度的要求.