《新版高考數(shù)學文二輪專題復習習題:第1部分 專題六 解析幾何 163 Word版含答案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新版高考數(shù)學文二輪專題復習習題:第1部分 專題六 解析幾何 163 Word版含答案(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
限時規(guī)范訓練十六 圓錐曲線的綜合問題
限時60分鐘,實際用時________
分值60分,實際得分________
解答題(本題共5小題,每小題12分,共60分)
1.(20xx·高考全國卷Ⅱ)設O為坐標原點,動點M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足=.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設點Q在直線x=-3上,且·=1,證明:過點P且垂
3、直于OQ的直線l過C的左焦點F.
解:(1)設P(x,y),M(x0,y0),
則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).
由=得x0=x,y0=y(tǒng).
因為M(x0,y0)在C上,所以+=1.
因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.
(2)由題意知F(-1,0).設Q=(-3,t),P(m,n),
則=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).
由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以·=0,即⊥.
又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ
4、的直線l過C的左焦點F.
2.(20xx·黑龍江哈爾濱模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點分別為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),點P在橢圓C上,滿足|PF1|=7|PF2|,tan∠F1PF2=4.
(1)求橢圓C的方程.
(2)已知點A(1,0),試探究是否存在直線l:y=kx+m與橢圓C交于D,E兩點,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
解:(1)由|PF1|=7|PF2|,PF1+PF2=2a得PF1=,PF2=,由cos2∠F1PF2===,又由余弦定理得cos∠F1PF2==,所以a=2,
故所求C的方程為+y2=1.
(2)
5、假設存在直線l滿足題設,設D(x1,y1),E(x2,y2),將y=kx+m代入+y2=1并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16(m2-4k2-1)>0,得4k2+1>m2①,又x1+x2=
-設D,E中點為M(x0,y0),M,kAM·k=-1,得m=-②,將②代入①得4k2+1>2,化簡得20k4+k2-1>0?(4k2+1)(5k2-1)>0,解得k>或k<-,所以存在直線l,使得|AD|=|AE|,此時k的取值范圍為∪.
3.(20xx·高考全國卷Ⅰ)設A,B為曲線C:y=上兩點,A與B的橫坐標之和為4.
6、(1)求直線AB的斜率;
(2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
解:(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直線AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y′=.
設M(x3,y3),由題設知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
設直線AB的方程為y=x+m,
故線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
當Δ=16(m+1)>0,即m>-1時,x1,2=2±2.
從而|AB|=|x1-x2|=4.
由
7、題設知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
4.已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,F(xiàn)2的坐標滿足圓Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圓心Q滿足|QF1|+|QF2|=2a.
(1)求橢圓C1的方程.
(2)過點P(0,1)的直線l1交橢圓C1于A,B兩點,過P與l1垂直的直線l2交圓Q于C,D兩點,M為線段CD中點,求△MAB面積的取值范圍.
解:(1)方程(x-)2+(y-1)2=1為圓,此圓與x軸相切,切點為F2(,0),所以c=,即a2-b2=2,且F2(,0),F(xiàn)1(-,0),|QF1|==
8、=3,
又|QF1|+|QF2|=3+1=2a.
所以a=2,b2=a2-c2=2,所以橢圓C1的方程為+=1.
(2)當l1平行x軸時,l2與圓Q無公共點,從而△MAB不存在;
所以設l1:x=t(y-1),則l2:tx+y-1=0.
由消去x得(t2+2)y2-2t2y+t2-4=0,則|AB|=|y1-y2|=.
又圓心Q(,1)到l2的距離d1=<1得t2<1.
又MP⊥AB,QM⊥CD,所以M到AB的距離即Q到AB的距離,設為d2,即d2==.
所以△MAB面積S=|AB|·d2=,
令u=∈[2,),則S=f(u)==∈.
所以△MAB面積的取值范圍為.
5.
9、(20xx·山東濰坊模擬)如圖,點O為坐標原點,點F為拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點,且拋物線C1上點P處的切線與圓C2:x2+y2=1相切于點Q.
(1)當直線PQ的方程為x-y-=0時,求拋物線C1的方程;
(2)當正數(shù)p變化時,記S1,S2分別為△FPQ,△FOQ的面積,求的最小值.
解:(1)設點P,由x2=2py(p>0)得,y=,求導得y′=.
因為直線PQ的斜率為1,所以=1且x0--=0,
解得p=2,
所以拋物線C1的方程為x2=4y.
(2)因為點P處的切線方程為:y-=(x-x0),
即2x0x-2py-x=0,
根據(jù)切線又與圓相切,得=1,
化簡得x=4x+4p2,
由4p2=x-4x>0,得|x0|>2.
由方程組
解得Q,
所以|PQ|=|xP-xQ|
==
=×=(x-2).
點F到切線PQ的距離是d==
==,
所以S1=|PQ|·d=(x-2),
S2=|OF||xQ|=,
所以===
=++3≥2+3,
當且僅當=時取“=”號,
即x=4+2,此時,p=,
所以的最小值為3+2.